1. Множество натуральных чисел $$N$$ состоит из чисел, которые применяются при счете:
   $$n$$ $$\in$$$$\left \{ 1; 2; 3; 4; 5; ...\right \}$$.
2. Простые и составные числа.
   Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число $$1$$), называют простыми.
   Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.
   Например, числа $$4$$, $$6$$ и $$8$$ – составные, а числа $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$7$$, $$11$$, $$13$$, $$17$$, $$19$$, $$23$$ – простые.
3. Отрезок [$$a;b$$] – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам $$a\leq x\leq b$$. Если из отрезка [$$a;b$$] исключить точки $$a$$ и $$b$$, то получим интервал ($$a;b$$).
   Интервал ($$a;b$$) – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам $$a< x< b$$.
   Полуинтервалы [$$a;b$$) и ($$a;b$$] – множества всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам $$a\leq x< b$$ и $$a< x\leq b$$.
   Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками.

1. Запишем простые числа, принадлежащие интервалу $$(0;17)$$:
   $$2$$; $$3$$; $$5$$; $$7$$; $$11$$; $$13$$.
   Число $$17$$ – также простое, но оно не принадлежит этому интервалу. Значит, $$m=6$$.
2. Запишем составные числа, принадлежащие отрезку $$[17;20]$$:
   $$18$$, $$20$$. Значит, $$n=2$$.
3. Найдем частное от деления числа $$m$$ на число $$n$$:
   $$6:2=3$$.

1. Число $$1$$ не является ни простым и ни составным.
2. Числа $$2$$; $$3$$; $$5$$; $$7$$; $$11$$; $$13$$ простые, так как они делятся только сами на себя и на число $$1$$.
3. Числа $$18$$ и $$20$$ составные, так как их можно разложить на простые множители:
   $$18=2\cdot 3\cdot 3=2\cdot 3^{2}$$,
   $$20=2\cdot 2\cdot 5=2^{2}\cdot 5$$.

1. К неотрицательным числам относят все положительные числа и число нуль, а к неположительным – все отрицательные числа и число нуль.
2. Числа $$a$$ и $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$ называют взаимно обратными.
3. Произведение взаимно обратных чисел равно единице: $$a\cdot a^{-1}=1$$.
4. Неравенство $$\left | x \right |< a$$ равносильно двойному неравенству $$-a< x< a$$.
5. Неравенство $$\left | x \right |\geq a$$ равносильно совокупности неравенств $$x\leq -a$$ и $$x\geq a$$.

Неравенство $$\left | a \right |< 4$$ равносильно двойному неравенству:

Следовательно, $$m=4$$.

Найдем числа обратные к числам $$0$$, $$1$$, $$2$$ и $$3$$:

1) число $$0$$ обратного числа не имеет, так как выражение $$0^{-1}=\frac{1}{0}$$ лишено смысла;

2) обратным к числу $$1$$ является само число 1;

3) обратным к числу $$2$$ является число $$\frac{1}{2}$$;

4) обратным к числу $$3$$ является число $$\frac{1}{3}$$.

Неравенство $$\left | a \right |\geq 0,5$$ равносильно совокупности неравенств:

Ему удовлетворяют числа $$1$$ и $$\frac{1}{2}=0,5$$.

Следовательно, $$n=2$$.

Найдем разность квадратов чисел $$n$$ и $$m$$:

$$n^{2}-m^{2}=4-16=-12$$.

Различайте:
разность квадратов чисел $$a$$ и $$b$$:

1. Общим делителем нескольких чисел называют число, служащее делителем для каждого из них. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД). Чтобы найти НОД нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители и найти произведение только тех множителей, которые имеются в разложениях каждого из чисел.
   Например, числа $$2$$, $$3$$ и $$6$$ являются общими делителями чисел $$6$$ и $$30$$, а НОД $$(6;30)=6$$.

2. Общим кратным нескольких чисел называют число, служащее кратным для каждого из них. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК). Чтобы найти НОК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, найти произведение всех множителей, входящих в разложение одного из чисел, и недостающих множителей из разложений оставшихся чисел.
   Например, числа $$30$$, $$60$$, $$90$$ и $$120$$ кратны числам $$6$$ и $$30$$, а НОК $$(6;30)=30$$.

Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, за исключением числа $$1$$.

1. Чтобы найти середину отрезка, необходимо найти полусумму его концов. Так, серединой отрезка [$$a;b$$] является число $$\frac{a+b}{2}$$.
2. Чтобы найти длину отрезка, необходимо из координаты конца отрезка вычесть координату его начала:
   длина отрезка [$$a;b$$] равна $$b-a$$.

1. Найдем середины данных отрезков:
   $$\frac{-12+5}{2}=\frac{-7}{2}=-3,5$$,
   $$\frac{2+13}{2}=\frac{15}{2}=7,5$$.
   Тогда, $$k=-3,5+7,5=4$$.
2. Найдем длины данных отрезков:
   $$5-(-12)=5+12=17$$,
   $$13-2=11$$.
   Тогда, $$l=17+11=28$$.
3. Найдем произведение полученных чисел:
   $$4\cdot 28=112$$.
4. Противоположным числу $$112$$ является число $$-112$$.

Различайте: число $$-a$$, которое является противоположным числу $$a$$ и число $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$, которое является обратным к числу $$a$$.

1. Множество целых чисел $$Z$$ состоит из натуральных чисел, противоположных им чисел и числа нуль:
   $$m$$ $$\in$$ $$\left \{ ... ; –2; –1; 0; 1; 2; 3;... \right \}$$.
2. Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел необходимо сумму этих чисел разделить на их количество.
3. Чтобы найти среднее геометрическое $$n$$ положительных чисел, необходимо извлечь корень степени $$n$$ из произведения этих чисел.

1. Запишем все целые числа, принадлежащие данному промежутку:
   $$-1$$, $$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$.
   Найдем их среднее арифметическое:
   $$(-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9):11=4$$.
2. Запишем натуральные числа, принадлежащие этому промежутку:
   $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$.
   Найдем среднее геометрическое наименьшего и наибольшего из них:
   $$\sqrt{1\cdot 9}=3$$.
3. Найдем сумму модулей полученных чисел:
   $$\left | 4 \right |+\left | 3 \right |=4+3=7$$.

Среднее арифметическое двух положительных чисел $$a$$ и $$b$$ не меньше их среднего геометрического:
$$\frac{a+b}{2}$$ $$\geq \sqrt{ab}$$.

1. Числа $$a$$ и $$-a$$ называют противоположными.
2. Двойные неравенства можно заменять системами неравенств.
   Неравенство $$b\leq x\leq c$$ равносильно системе неравенств:
   $$\left\{\begin{matrix}x\geq b , \\ x\leq c .& \end{matrix}\right.$$
3. Совокупность неравенств $$x\leq c$$ и $$x\geq b$$ записывают так:
   $$\left [\begin{matrix} x\geq b,\\ x\leq c .\end{matrix}\right.$$

1. Запишем целые числа, удовлетворяющие системе неравенств $$\left\{\begin{matrix} a\leq 5 ,& \\ a> 1. & \end{matrix}\right.$$
   Это числа $$2$$, $$3$$, $$4$$ и $$5$$. Следовательно, $$m=4$$.
2. Запишем числа им противоположные: $$-2$$, $$-3$$, $$-4$$ и $$-5$$.
   Все эти числа удовлетворяют условию $$b\leq 1$$, а, значит, и совокупности неравенств $$\left [\begin{matrix} b>5,\\ b\leq 1 .\end{matrix}\right.$$
   Следовательно, $$n=4$$.
3. Найдем сумму квадратов чисел $$n$$ и $$m$$:
   $$n^{2}+m^{2}=16+16=32$$.

Различайте:

1. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр:
   $$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$.
   Четные цифры: $$0$$, $$2$$, $$4$$, $$6$$, $$8$$.
   Нечетные цифры: $$1$$, $$3$$, $$5$$, $$7$$, $$9$$.
2. Модулем (абсолютной величиной) числа $$a$$ называется число $$a$$, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если $$a$$ отрицательное:
   $$\left | a \right |=a$$, если $$a\geq 0$$,
   $$\left | a \right |=-a$$, если $$a< 0$$.
   Геометрический смысл модуля:
   модуль числа – это расстояние от начала отсчета до точки на координатной прямой, соответствующей этому числу.

1. Абсолютная величина отличного от нуля числа (по-другому модуль этого числа) – величина всегда положительная.
   Например, $$\left | 13 \right |=13$$ и $$\left | -13 \right |=13$$.
   Абсолютная величина числа нуль равна нулю: $$\left | 0 \right |=0$$.
2. Запомните также, что числа, запись которых оканчивается четной цифрой, называют четными числами. Числа, запись которых оканчивается нечетной цифрой, называют нечетными числами.

1. Рациональными числами называют числа вида $$\frac{m}{n}$$, где $$m$$ $$\in$$$$Z$$, а $$n$$ $$\in$$ $$N$$, то есть все числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби. Множество рациональных чисел обозначают $$Q$$.
2. Множество всех иррациональных чисел обозначают $$I$$. Множество иррациональных чисел состоит из бесконечных непериодических десятичных дробей.

1. Рассмотрим первое множество чисел.
   Числа $$-1$$; $$1,333$$… и $$\sqrt{25}$$ рациональные, так каждое из них можно представить в виде обыкновенной дроби:
   $$-1=\frac{-1}{1}$$;
   $$1,333...=1,(3)=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$;
   $$\sqrt{25}=5=\frac{5}{1}$$;
   Следовательно, $$m=3$$.
2. Рассмотрим второе множество чисел.
   Числа $$sin 0=0$$, $$tg \frac{\pi }{4}=1$$ и $$\frac{2}{3}$$ – рациональные,
   а числа $$cos 1$$ и $$lg 2$$ – иррациональные.
   Следовательно, $$n=2$$.
3. Найдем квадрат разности чисел $$n$$ и $$m$$:
   $$(2-3)^{2}=(-1)^{2}=1$$.

В виде обыкновенной дроби можно представить:

а) любое целое число;

б) любую конечную десятичную дробь;

в) любую периодическую десятичную дробь.

Следовательно, множество рациональных чисел состоит из всех целых чисел, всех конечных десятичных дробей и всех периодических десятичных дробей.

При округлении числа до какого-нибудь разряда поступают следующим образом:

1) все цифры, следующие за этим разрядом, заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то отбрасывают;

2) последнюю оставшуюся цифру не изменяют, если первая следующая за ней цифра $$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, или последнюю цифру увеличивают на единицу, если первая следующая за этим разрядом цифра $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$ или $$9$$.

1. Округлим число $$315,154$$ до сотен:
   $$315,154\approx 300,000=300$$.
2. Округлим число $$400,5883$$ до сотых:
   $$400,5883\approx 400,5900=400,59$$.
3. Найдем сумму полученных чисел и округлим ее до целых:
   $$300+400,59=700,59\approx 701$$.

Если отбрасываемая цифра стояла до запятой, то на ее месте пишут нуль.

1. Рассмотрим буквенную запись чисел в десятичной позиционной системе счисления.
   Так, например, если $$a$$ – цифра десятков, $$b$$ – цифра единиц некоторого двузначного числа, то запишем:
   $$\overline{ab}=10a+b$$.
   Аналогично запишем трехзначное число, у которого $$a$$ – цифра сотен, $$b$$ – цифра десятков, $$c$$ – цифра единиц:
   $$\overline{abc}=100a+10b+c$$.
2. Признаки делимости натуральных чисел на $$2$$, $$3$$, $$4$$:
   1) число делится на $$2$$, если его запись оканчивается четной цифрой: $$0$$, $$2$$, $$4$$, $$6$$, $$8$$;
   2) число делится на $$3$$, если сумма цифр числа делится на $$3$$;
   3) число делится на $$4$$, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на $$4$$.

1. Если число делится на $$4$$, то две последние цифры его записи образуют число, которое делится на $$4$$. Это числа: $$40$$, $$44$$ и $$48$$.
   Следовательно, числа $$156440$$, $$156444$$ и $$156448$$ делятся на $$4$$.
2. Число делится на $$6$$, если оно делится и на $$2$$, и на $$3$$.
Все эти числа делятся на $$2$$ (их запись оканчивается четной цифрой).
Число $$156440$$ не делится на $$3$$, так как сумма его цифр $$1+5+6+4+4+0=20$$ не делится на $$3$$.
Число $$156444$$ делится на $$3$$, так как сумма его цифр $$1+5+6+4+4+4=24$$ делится на $$3$$.
Число $$156448$$ не делится на $$3$$, так как сумма его цифр $$1+5+6+4+4+8=28$$ не делится на $$3$$.
3. Число $$156444$$ делится и на $$4$$, и на $$6$$, а сумма его цифр равна $$24$$.

1. При записи чисел в буквенной форме над числом ставится черта.
   Различайте:
   число $$\overline{3ab}= 300+10a+b$$ ($$3$$, $$a$$ и $$b$$ – цифры);
   произведение $$3ab=3\cdot a\cdot b$$ (буквы $$a$$, $$b$$ и число $$3$$ – множители).
2. Запомните и другие признаки делимости:
   Число делится на $$5$$, если его запись оканчивается цифрой $$0$$ или цифрой $$5$$.
   Число делится на $$8$$, если три последние цифры его записи образуют число, которое делится на $$8$$.
   Число делится на $$9$$, если сумма цифр числа делится на $$9$$.
   Число делится на $$10$$, если его запись оканчивается цифрой $$0$$.
   Число делится на $$11$$, если разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на $$11$$.
   Число делится на $$25$$, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на $$25$$.