Загрузка

Тождественные преобразования выражений

В результате упрощения дроби $$\frac{{\left(2x+3y \right)}^{2}+{\left(2x-3y \right)}^{2}}{{\left(2x+3y \right)}^{2}-{\left(2x-3y \right)}^{2}}$$ получим:

$$\frac{4{x}^{2}+12xy+9{y}^{2}+4{x}^{2}-12xy+9{y}^{2}}{4{x}^{2}+12xy+9{y}^{2}-4{x}^{2}+12xy-9{y}^{2}}=$$
$$=\frac{8{x}^{2}+18{y}^{2}}{24xy}=\frac{4{x}^{2}+9{y}^{2}}{12xy}$$.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $${\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} \right)}^{-1}$$ получим:

$${\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)}^{-1}=$$
$$={\left(\frac{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^{2}+{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^{2}}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}\right)}^{-1}=$$
$$={\left(\frac{a-2\sqrt{ab}+b+a+2\sqrt{ab}+b}{a-b} \right)}^{-1}=$$
$$={\left(\frac{2a+2b}{a-b} \right)}^{-1}=\left(a-b \right){\left(2a+2b \right)}^{-1}$$.

Выберите один из вариантов

Если $${2}^{x}=\sqrt{2}$$, то значение выражения $$2\cdot {16}^{x}-{2}^{4x}-{4}^{2x-2}$$ равно:

$$2\cdot {2}^{4x}-{2}^{4x}-{2}^{4x-4}={2}^{4x}-\frac{{2}^{4x}}{16}={\left(\sqrt{2} \right)}^{4}-\frac{{\left(\sqrt{2} \right)}^{4}}{16}=4-0,25=3,75$$.

Выберите один из вариантов

Укажите выражения, лишенные смысла:
$$1)$$ $${\log }_{2}5$$; $$2)$$ $${\log }_{2}\left(-5\right)$$; $$3)$$ $$ {\log }_{2}\left(\sqrt{2}-1\right)$$; $$4)$$ $${\log }_{2}\left(1-\sqrt{2}\right)$$; $$5)$$ $$ {\log }_{2}0$$.

Не имеют смысла выражения
$${\log }_{2}\left(-5\right)$$, $${\log }_{2}\left(1-\sqrt{2}\right)$$ и $${\log }_{2}0$$,
так как $$-5<0$$, $$1-\sqrt{2}<0$$ и число $$0$$ неположительное.

Выберите один из вариантов

В результате преобразования выражения $$\frac{\ln 125}{\ln 2}-\frac{\lg 5}{\lg 2}$$ получим:

$$\frac{\ln {5}^{3}}{\ln 2}-\frac{\lg 5}{\lg 2}=3{\log }_{2}5-{\log }_{2}5=2{\log }_{2}5$$.

Выберите один из вариантов

В результате преобразования выражения $$\frac{\cos \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{6}+\alpha \right)}{\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)\sin \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)}$$ получим:

  1. $$\cos \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{6}+\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\cos \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\frac{1}{2} \right)$$.
  2. $$\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)\sin \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha -\cos \frac{2\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\frac{1}{2} \right)$$.
Выберите один из вариантов

Если $${\left(\frac{a+1}{a-1} \right)}^{3}=8$$, то частное от деления алгебраических дробей $$\frac{{\left(a+1 \right)}^{3}}{{\left({a}^{2}-a+1\right)}^{-1}\left(a-1 \right)}$$ и $$\frac{{a}^{3}+1}{{\left({a}^{2}-1\right)}^{-1}\left(a-1 \right)\left(a+1 \right)}$$ равно:

$$\frac{{\left(a+1 \right)}^{3}}{{\left({a}^{2}-a+1\right)}^{-1}\left(a-1 \right)}\cdot \frac{{\left( {a}^{2}-1\right)}^{-1}\left(a+1 \right)}{{a}^{3}+1}=$$
$$=\frac{{\left(a+1 \right)}^{3}\left({a}^{2}-a+1 \right)\left(a+1 \right)}{\left(a-1 \right)\left({a}^{2}-1 \right)\left({a}^{3}+1 \right)}=$$
$$=\frac{\left(a+1 \right)\left({a}^{2}-a+1 \right){\left(a+1 \right)}^{2}\left(a+1 \right)}{\left(a-1 \right)\left(a-1 \right)\left(a+1 \right)\left({a}^{3}+1 \right)}=$$
$$=\frac{\left({a}^{3}+1 \right){\left(a+1 \right)}^{2}}{{\left(a-1 \right)}^{2}\left({a}^{3}+1 \right)}={\left(\frac{a+1}{a-1} \right)}^{2}={2}^{2}=4$$.

Введите ответ в поле

Значение выражения $$\left(2\sqrt{{x}^{4}-{\left(xa \right)}^{2}}+\frac{2{x}^{2}}{{\left(1-{a}^{2}{x}^{-2} \right)}^{-1}} \right):\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}$$ при $$x=0,25$$ равно:

$$\left(2x\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}+2{x}^{2}\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}} \right):\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}=$$
$$=\left(2x\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}+2x\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}\right):\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}=4x=4\cdot0,25=1$$.

Введите ответ в поле

Если $${\log }_{b}a=-6$$, то значение выражения $${\log }_{ab}{b}^{5}\left(5{\log }_{ab}a \right)$$ равно:

$$25{\log }_{ab}b\cdot {\log }_{ab}a=\frac{25}{{\log }_{b}ab\cdot{\log }_{a}ab }=$$
$$=\frac{25}{\left({\log }_{b}a+{\log }_{b}b\right)\cdot\left({\log }_{a}a+{\log }_{a}b\right)}=$$
$$=\frac{25}{\left(-6+1 \right)\cdot \left(1-\frac{1}{6} \right)}=\frac{25\cdot 6}{-5\cdot 5}=-6$$.

Введите ответ в поле

Значение выражения $$32\cos \frac{\pi }{15}\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}\sin \frac{\pi }{30}$$ равно:

$$\frac{16\cos \frac{\pi }{15}\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}\cdot \left(2\sin \frac{\pi }{30}\cos \frac{\pi }{30} \right)}{\cos \frac{\pi }{30}}=$$
$$=\frac{8\cdot \left(2\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{15} \right)\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}=$$
$$=\frac{4\cdot \left(2\sin \frac{2\pi }{15}\cos \frac{2\pi }{15} \right)\cos \frac{4\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}=\frac{2\cdot 2\sin \frac{4\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}=$$
$$=\frac{2\cdot 2\sin \frac{8\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}=\frac{2\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{30} \right)}{\cos \frac{\pi }{30}}=\frac{2\cdot \cos \frac{\pi }{30}}{\cos \frac{\pi }{30}}=2$$.

Введите ответ в поле