Загрузка

Тождественные преобразования выражений

В результате упрощения выражения $$\frac{{x}^{2}+3+4x}{2x+{x}^{2}-3}$$ получим:

Применим формулу:
$$a{x}^{2}+bx+c=a\left(x-{x}_{1} \right)\left(x-{x}_{2} \right)$$,
где $${x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, $$D={b}^{2}-4ac$$.

  1. $$D=16-12=4$$, $${x}_{1}=\frac{-4-2}{2}=-3$$, $${x}_{2}=\frac{-4+2}{2}=-1$$.
    $${x}^{2}+4x+3=\left(x+3 \right)\left(x+1 \right)$$.
  2. $$D=4+12=16$$, $${x}_{1}=\frac{-2-4}{2}=-3$$, $${x}_{2}=\frac{-2+4}{2}=1$$.
    $${x}^{2}+2x-3=\left(x+3 \right)\left(x-1 \right)$$
  3. $$\frac{{x}^{2}+3+4x}{2x+{x}^{2}-3}=\frac{\left(x+3 \right)\left(x+1 \right)}{\left(x+3 \right)\left(x-1 \right)}=\frac{x+1}{x-1}$$.

Выберите один из вариантов

В результате преобразования выражения $$\frac{{\left(4a \right)}^{0,5}{\left(-0,1 \right)}^{-1}}{{\left(-2{\left(-2{a}^{2} \right)}^{-1} \right)}^{1,5}}$$ получим:

$$\frac{2{a}^{0,5}\cdot \left(-10 \right)}{{\left(-2{\left(-2 \right)}^{-1}\cdot {a}^{-2} \right)}^{1,5}}=\frac{-20{a}^{0,5}}{1\cdot {a}^{-3}}=-20{a}^{3}\sqrt{a}=-20\sqrt{{a}^{7}}$$.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения суммы $${a}^{x-2}+2{a}^{x}+\sqrt{{a}^{2x+4}}$$ получим:

$${a}^{x-2}+2{a}^{x}+{a}^{x+2}={a}^{x-2}\left(1+2{a}^{2}+{a}^{4} \right)={a}^{x-2}{\left(1+{a}^{2} \right)}^{2}$$.

Выберите один из вариантов

Укажите выражения, не лишенные смысла:

  1. $${\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{3}$$;
  2. $${\log }_{\cos \pi }\pi $$;
  3. $${\log }_{0,2}{0,2}^{-x}$$;
  4. $${\log }_{{10}^{-1}}\left(7+{a}^{2} \right)$$;
  5. $${\log }_{{\left(\sqrt{5}-1 \right)}^{0}}\left(\sqrt{5}-1 \right)$$.

Не имеют смысла выражения
$${\log }_{\cos \pi }\pi $$ и $${\log }_{{\left(\sqrt{5}-1 \right)}^{0}}\left(\sqrt{5}-1 \right)$$,
так как $$\cos \pi =-1<0$$ и $${\left(\sqrt{5}-1 \right)}^{0}=1$$.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $${2}^{{\log }_{2}5}+{4}^{{\log }_{2}5}-{2}^{2{\log }_{4}5}$$ равно:

$${2}^{{\log }_{2}5}+{2}^{2{\log }_{2}5}-{2}^{{\log }_{2}5}=5+{2}^{{\log }_{2}25}-5=25$$.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$\frac{tg{435}^{\circ}+ctg\left(-{375}^{\circ} \right)+tg{720}^{\circ}}{sin{10}^{\circ}cos{110}^{\circ}}$$ равно:

$$\frac{tg\left({435}^{\circ}-{360}^{\circ}\right)+ctg\left(-{375}^{\circ}+{360}^{\circ} \right)+tg\left({720}^{\circ}-{720}^{\circ}\right)}{sin{10}^{\circ}cos{110}^{\circ}}=$$
$$=\frac{tg{75}^{\circ}+ctg\left(-{15}^{\circ} \right)+tg{0}^{\circ}}{sin{10}^{\circ}cos{110}^{\circ}}=\frac{tg\left({90}^{\circ}-{15}^{\circ}\right)-ctg{15}^{\circ}+0}{sin{10}^{\circ}cos{110}^{\circ}}=$$
$$=\frac{ctg{15}^{\circ}-ctg{15}^{\circ}}{sin{10}^{\circ}cos{110}^{\circ}}=\frac{0}{sin{10}^{\circ}cos{110}^{\circ}}=0$$.

Выберите один из вариантов

В результате сокращения дроби $$\frac{{\left(2a-10 \right)}^{3}+{\left(3a-15 \right)}^{2}-{\left(5-a\right)}^{4}}{\left(0,1{a}^{2}-a+2,5 \right)\left(4-a \right)\left(1,4-0,1a \right)}$$ получим:

$$\frac{8{\left(a-5 \right)}^{3}+9{\left(a-5\right)}^{2}-{\left(a-5\right)}^{4}}{0,1\left({a}^{2}-10a+25 \right)\left(4-a \right)\cdot 0,1\left(14-a \right)}=$$
$$=\frac{100{\left(a-5 \right)}^{2}\left(8a-40+9-{a}^{2}+10a-25 \right)}{{\left(a-5 \right)}^{2}\left(4-a \right)\left(14-a \right)}=$$
$$=\frac{100{\left(-{a}^{2}+18a-56 \right)}}{\left(4-a \right)\left(14-a \right)}=-100$$.

Введите ответ в поле

Значение выражения $$\sqrt[3]{{\left({x}^{\frac{1}{3}}-{y}^{\frac{1}{3}} \right)}^{3}}:{\left({x}^{\frac{2}{3}}+{\left(xy \right)}^{\frac{1}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}} \right)}^{-1}-\sqrt[4]{{\left({x}^{2}-2xy+{y}^{2} \right)}^{2}}$$ при $$y-x={0,1}^{-1}$$ равно:

$$\left({x}^{\frac{1}{3}}-{y}^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left({x}^{\frac{2}{3}}+{\left( xy\right)}^{\frac{1}{3}} +{y}^{\frac{2}{3}}\right)-\sqrt[4]{{\left(x-y \right)}^{4}}=$$
$$=\left(x-y \right)-\left|x-y \right|=-10-10=-20$$.

Введите ответ в поле

Если $${\log }_{b}a=-3$$, то значение выражения $$-5\left({\log }_{{a}^{2}b}\frac{b}{a}:{\log }_{{b}^{2}a}\frac{a}{b} \right)$$ равно:

  1. $${\log }_{{a}^{2}b}\frac{b}{a}={\log }_{{a}^{2}b}b-{\log }_{{a}^{2}b}a=\frac{1}{{\log }_{b}{a}^{2}b}-\frac{1}{{\log }_{a}{a}^{2}b}=$$
    $$=\frac{1}{{\log }_{b}{a}^{2}+{\log }_{b}b}-\frac{1}{{\log }_{a}{a}^{2}+{\log }_{a}b}=$$
    $$=\frac{1}{2\cdot \left(-3 \right)+1}-\frac{1}{2-\frac{1}{3}}=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}=-\frac{4}{5}$$.
  2. $${\log }_{{b}^{2}a}\frac{a}{b}={\log }_{{b}^{2}a}a-{\log }_{{b}^{2}a}b=\frac{1}{{\log }_{a}{b}^{2}a}-\frac{1}{{\log }_{b}{b}^{2}a}=$$
    $$=\frac{1}{{\log }_{a}{b}^{2}+{\log }_{a}a}-\frac{1}{{\log }_{b}{b}^{2}+{\log }_{b}a}=$$
    $$=\frac{1}{-\frac{2}{3}+1}-\frac{1}{2-3}=3+1=4$$.
  3. $$-5\left(-\frac{4}{5}:4 \right)=-5\cdot \left(-\frac{1}{5} \right)=1$$.
Введите ответ в поле

Результат вычисления выражения $${\left(\cos {24}^{\circ}+\cos {48}^{\circ}-\cos {84}^{\circ}-\cos {12}^{\circ} \right)}^{-3}$$ равен:

$${\left(\cos {24}^{\circ}-\cos {12}^{\circ}+\cos {48}^{\circ}-\cos {84}^{\circ} \right)}^{-3}=$$
$$=-2\sin {18}^{\circ}\sin {6}^{\circ}+2\sin {66}^{\circ}\sin {18}^{\circ}=$$
$$=2\sin {18}^{\circ}\left( \sin {66}^{\circ}-\sin {6}^{\circ}\right)=2\sin {18}^{\circ}\cdot 2\sin {30}^{\circ}\cos {36}^{\circ}=$$
$$=2\sin {18}^{\circ}\cdot \cos {36}^{\circ}=\frac{2\sin {18}^{\circ} \cos {18}^{\circ}\cdot\cos {36}^{\circ} }{\cos {18}^{\circ}}=$$
$$=\frac{2\sin {36}^{\circ} \cos {36}^{\circ}}{2\cos {18}^{\circ}}=\frac{\sin {72}^{\circ} }{2\cos {18}^{\circ}}=\frac{\sin \left( {90}^{\circ}-{18}^{\circ}\right)}{2\cos {18}^{\circ}}=\frac{\cos {18}^{\circ} }{2\cos {18}^{\circ}}=\frac{1}{2}$$.
Тогда, $${\left(\frac{1}{2} \right)}^{-3}=8$$.

Введите ответ в поле