Загрузка

Уравнения

Все корни уравнения $$\frac{2x}{3} + \frac{7 - x}{6} = \frac{2x - 3}{4}$$ принадлежат множеству:


$$\frac{12 \cdot 2x}{3} + \frac{12 \cdot (7 - x)}{6} = \frac{12 \cdot (2x - 3)}{4}$$,

$$4 \cdot 2x + 2 \cdot (7 - x) = 3 \cdot (2x - 3)$$,

$$8x + 14 - 2x = 6x - 9$$,

$$0 = 23$$,

$$x \in \varnothing$$.

Выберите один из вариантов

Сумма модулей всех действительных корней уравнения $$10x^2 + 39|x| - 4 = 0$$ равна:

$$10|x|^2 + 39|x| - 4 = 0$$, откуда $$D = 41^2$$,

$$|x| = \frac{-39 - 41}{20} = -4 < 0$$ или $$|x| = \frac{-39 + 41}{20} = 0,1$$,

откуда $$x = \pm0,1$$.

Тогда, $$|-0,1| + |0,1| = 0,2$$.

Выберите один из вариантов

Произведение корней уравнения $$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{-5}{x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{5}}$$ равно:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{5}{x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{5}}$$, $$\frac{5}{x} = \frac{x}{5}$$, $$x^2 = 25$$, $$x = \pm5$$.

Тогда, $$-5 \cdot 5 = -25$$.

Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$log_x2x = 2$$ равно:

ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x \ne 1$$.

$$2x = x^2$$, $$x(x - 2) = 0$$,

откуда, $$x_1 = 0 \notin$$ ОДЗ, $$x_2 = 2$$.

Выберите один из вариантов

Разность наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $$sin3xsin5x = cos4xcos2x$$ равна:

$$\frac{1}{2}(cos2x - cos8x) = \frac{1}{2}(cos2x + cos6x)$$,

$$cos8x + cos6x = 0$$, $$2cos7x \cdot cosx = 0$$,

откуда:

  1. $$cos7x = 0$$, $$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$$, где $$n \in Z$$;
  2. $$cosx = 0$$, $$x = \frac{\pi}{2} + \pi m$$, где $$m \in Z$$.

Тогда, $$-\frac{\pi}{14} - \frac{\pi}{14} = -\frac{\pi}{7}$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения $$\frac{x^2 - x}{x^2 - x +1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1$$ равно:

Пусть $$x^2 - x = a$$.

Тогда: $$\frac{a}{a + 1} - \frac{a + 2}{a - 2} = 1$$,

$$\frac{a^2 - 2a - a^2 - 2a - a - 2}{(a + 1)(a - 2)} = 1$$,

$$-5a - 2 = a^2 - 2a + a - 2$$,

$$a^2 + 4a = 0$$, откуда $$a = 0$$ или $$a = -4$$.

Решим уравнения:

  1. $$x^2 - x = 0$$, откуда $$x = 0$$ или $$x = 1$$;
  2. $$x^2 - x + 4 = 0$$, откуда $$x \in \varnothing$$.

Тогда, $$(0 + 1) : 2 = 0,5$$.

Введите ответ в поле

Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{3x + 1}$$ равна:

ОДЗ: $$x > 1$$.

$$\sqrt{(3x + 1)(x - 1)} = x + 3$$,

$$(3x + 1)(x - 1) = (x + 3)^2$$,

$$3x^2 - 3x + x - 1 = x^2 + 6x + 9$$,

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$,

откуда $$x_1 = 5$$, $$x_2 = - 1 \notin$$ ОДЗ.

Введите ответ в поле

Произведение координат упорядоченных пар чисел, которые образуют множество решений системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1, \\ |x - 2y| = 3, \end{array}\right.$$ равно:

Решим две системы уравнений.

  1. $$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1, \\ x - 2y = 3; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1, \\ 3x - 6y = 9; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1, \\ 5y = -8; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} x = -0,2, \\ y = -1,6. \end{array}\right.$$
  2. $$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1, \\ x - 2y = -3; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1, \\ 3x - 6y = -9; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} 3x - y = 1, \\ 5y = 10; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} x = 1, \\ y = 2. \end{array}\right.$$

Тогда, $$-0,2 \cdot (-1,6) \cdot 1 \cdot 2 = 0,64$$.

Введите ответ в поле

Корень уравнения $$5 \cdot 7^{2 - x} = \sqrt{5^{2x - 2}}$$ равен:

$$5 \cdot 7^{2 - x} = 5^{x - 1}$$, $$\frac{5 \cdot 7^2}{7^x} = \frac{5^x}{5}$$, $$35^x = 35^2$$, $$x = 2$$.

Введите ответ в поле

Частное от деления большего и меньшего корней уравнения $$\sqrt{x}^{log_2x^2 - 2} = 0,25x^2$$ равно:

Преобразуем уравнение:

$$x^{log_2x-1} = 2^{-2} \cdot x^2$$.

Пусть $$log_2x = a$$, откуда $$x = 2^a$$.

Получим:

$$(2^a)^{a - 1} = 2^{-2} \cdot 2^{2a}$$, $$2^{a^2 - a} = 2^{-2 + 2a}$$,

$$a^2 - 3a + 2 = 0$$, откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 2$$.

Тогда: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 4$$; $$\frac{x_2}{x_1} = 2$$.

Введите ответ в поле