Загрузка

Уравнения

Если числа $$5 - \sqrt{3}$$ и $$5 + \sqrt{3}$$ – корни квадратного уравнения, то уравнение имеет вид:

  1. $$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{3}) + (5 + \sqrt{3}) = 10$$.
  2. $$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3}) = 25 - 3 = 22$$.
  3. Запишем искомое уравнение в виде:

    $$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$$,

    $$x^2 - 10x + 22 = 0$$.

Выберите один из вариантов

Произведение корней уравнения $$\sqrt[3]{5 - \sqrt{x^2 + 3}} = -2$$ равно:

$$5 - \sqrt{x^2 + 3} = -8$$, $$\sqrt{x^2 + 3} = 13$$,

$$x^2 + 3 = 169$$, $$x^2 = 166$$, $$x = \pm \sqrt{166}$$.

Тогда, $$-\sqrt{166} \cdot \sqrt{166} = -166$$.

Выберите один из вариантов

$$150\%$$ числа, которое является корнем уравнения $$0,2^x \cdot 5^{3-x} = 5\sqrt{5}$$, составляет:

  1. $$5^{-x} \cdot 5^{3 - x} = 5 \cdot 5^{0,5}$$, $$5^{3 - 2x} = 5^{1,5}$$,

    $$3 - 2x = 1,5$$, откуда $$x = 0,75$$.

  2. $$0,75 : 100 \cdot150 = 1,125$$.
Выберите один из вариантов

Произведение всех корней уравнения $$42 - 13|1 - x^2| + (x^2 - 1)^2 = 0$$ равно:

Запишем уравнение в виде:

$$|x^2 - 1|^2 - 13|x^2 - 1| + 42 = 0$$.

Получим уравнения:

  1. $$|x^2 - 1| = 6 \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 - 1 = 6, \\ x^2 - 1 = -6, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 = 7, \\ x^2 = -5, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x = \pm \sqrt{7}$$;
  2. $$|x^2 - 1| = 7 \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 - 1 = 7, \\ x^2 - 1 = -7, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 = 8, \\ x^2 = -6, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x = \pm \sqrt{8}$$.

Тогда, $$-\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot (-\sqrt{8}) \cdot \sqrt{8} = 56$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$13^{x + 1} + 13 \cdot 13^{1 - x} = 182$$ равно:

$$13 \cdot 13^x + \frac{13 \cdot 13}{13^x} = 182$$, $$13^x + \frac{13}{13^x} = 14$$.

Полагая $$13^x = a > 0$$, получим:

$$a^2 - 14a + 13 = 0$$,

откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 13$$.

Решим уравнения:

  1. $$13^x = 1$$, откуда $$x = 0$$;
  2. $$13^x = 13$$, откуда $$x = 1$$.

Тогда, $$(0 + 1) : 2 = 0,5$$.

Выберите один из вариантов

Число, обратное квадрату корня уравнения $$log_{0,5}x \cdot log_{0,25}x^2 \cdot log_{0,125}x^3 = log_{0,2}5^{-1}$$, равно:

ОДЗ: $$x > 0$$.

$$log_{0,5}x \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}log_{0,5}x \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}log_{0,5}x = log_{0,2}0,2$$,

$$(log_{0,5}x)^3 = 1$$, $$log_{0,5}x = 1$$, $$x = 0,5$$.

Тогда, $$(0,25)^{-1} = 4$$.

Выберите один из вариантов

Удвоенное произведение всех корней уравнения $$0,5x + \frac{x^2}{4} + \frac{3}{x} + \frac{9}{x^2} = 3$$ равно:

$$\left(\frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2}\right) + \left(\frac{x}{2} + \frac{3}{x}\right) = 3$$.

Полагая $$\frac{x}{2} + \frac{3}{x} = a$$, получим:

$$\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{x}\right)^2 = a^2$$, $$\frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{x} + \frac{9}{x^2} = a^2$$, $$\frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2} = a^2 - 3$$.

Тогда: $$a^2 + a - 6 = 0$$, откуда $$a_1 = -3$$, $$a_2 = 2$$.

Решим уравнения:

  1. $$\frac{x}{2} + \frac{3}{x} = -3$$, $$x^2 - 6x + 6 = 0$$,

    откуда $$x_1x_2 = 6$$, так как $$D = 36 - 24 = 12 > 0$$;

  2. $$\frac{x}{2} + \frac{3}{x} = 2$$, $$x^2 - 4x + 6 = 0$$,

    откуда $$x \in \varnothing$$, так как $$D = 16 - 24 = -8 < 0$$.

Тогда, $$2x_1x_2 = 12$$.

Введите ответ в поле

Произведение модулей корней уравнения $$(x + 7)\sqrt{x^2 - 12x + 39} = 2x + 14$$ равно:

ОДЗ: $$x^2 - 12x + 39 \ge 0$$.

$$(x + 7)(\sqrt{x^2 - 12x + 39} - 2) = 0$$.

Решим уравнения:

  1. $$x + 7 = 0$$, $$x = -7$$;
  2. $$\sqrt{x^2 - 12x + 39} = 2$$, $$x^2 - 12x + 35 = 0$$,

    откуда $$x_1 = 5$$, $$x_2 = 7$$.

Тогда, $$-7 \cdot 5 \cdot 7 = -245$$.

Введите ответ в поле

Дважды удвоенная сумма квадратов корней уравнения $$log_{\sqrt{2}}^2x + log_{\sqrt{2}x}\frac{\sqrt{2}}{x} = 1$$ равна:

ОДЗ: $$x > 0$$, $$x \ne 0,5\sqrt{2}$$.

$$log_{\sqrt{2}}^2x + log_{\sqrt{2}x}\sqrt{2} - log_{\sqrt{2}x}x = 1$$,

$$log_{\sqrt{2}}^2x + \frac{1}{log_{\sqrt{2}}\sqrt{2}x} - \frac{1}{log_{x}\sqrt{2}x} = 1$$,

$$log_{\sqrt{2}}^2x + \frac{1}{1 + log_{\sqrt{2}}x} - \frac{1}{log_{x}\sqrt{2} + 1} = 1$$.

Полагая $$log_{\sqrt{2}}x = a$$, получим:

$$a^2 + \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}} = 1$$, $$\frac{1}{1 + a} - \frac{a}{a + 1} = 1 - a^2$$,

$$\frac{1 - a}{1 + a} = (1 - a)(1 + a)$$, $$(1 - a)(1 - (1 + a)^2) = 0$$,

откуда $$1 - a = 0$$ или $$(1 + a)^2 = 1$$.

Получим: $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 0$$, $$x_3 = -2$$.

Тогда: $$x_1 = \sqrt{2}$$, $$x_2 = 1$$, $$x_3 = 0,5$$.

$$4 \cdot (2 + 1 + 0,25) = 13$$.

Введите ответ в поле

Количество корней уравнения $$2arctg^2x - 5arctgx + 2 = 0$$ равно:

Полагая $$arctgx = a$$, получим:

$$2a^2 - 5a + 2 = 0$$, откуда $$a_1 = \frac{1}{2}$$, $$a_2 = 2$$.

Так как $$|arctgx| \le \frac{\pi}{2} \approx 1,57$$, то $$arctgx = \frac{1}{2}$$.

Уравнение имеет один корень.

Введите ответ в поле