Загрузка

Уравнения

Если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни уравнения $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$, то значение выражения $$\frac{(x_1x_2)^{-1}}{x_1 + x_2}$$ равно:

Так как $$D = 16 - 12 = 4 > 0$$, то

$$x_1 + x_2 = \frac{4}{3}$$, а $$x_1x_2 = \frac{1}{3}$$.

Тогда, $$\frac{(x_1x_2)^{-1}}{x_1 + x_2} = 3 \cdot \frac{3}{4} = 2,25$$.

Выберите один из вариантов

Если $$k$$ – количество корней уравнения $$|3 + x| \cdot |2 - x| = 3x + 2$$, а $$x_0$$ – наибольший из корней, то произведение чисел $$k$$ и $$x_0$$ равно:

Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:

$$x_1 = -3$$, $$x_2 = 2$$.

Решим уравнения на полученных промежутках (рис. 1).

Рис. 1
  1. Если $$x \in (-\infty; -3]$$, то получим:

    $$(-3 - x)(2 - x) = 3x + 2$$,

    $$x^2 - 2x - 8 = 0$$,

    откуда $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 4$$.

    Следовательно, на этом промежутке решений нет.

  2. Если $$x \in (-3; 2]$$, то получим:

    $$(3 + x)(2 - x) = 3x + 2$$,

    $$x^2 + 4x - 4 = 0$$,

    откуда $$x_1 = -2 + 2\sqrt{2}$$, $$x_2 = -2 - 2\sqrt{2}$$.

    Следовательно $$x = -2 - 2\sqrt{2}$$ – корень уравнения.

  3. Если $$x \in (2; +\infty)$$, то получим:

    $$(3 + x)(-2 + x) = 3x + 2$$,

    $$x^2 - 2x - 8 = 0$$,

    откуда $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 4$$.

    Следовательно, $$x = 4$$ – корень уравнения.

    Так как $$k = 2$$, а $$x_0 = 4$$, то $$kx_0 = 2 \cdot 4 = 8$$.

Выберите один из вариантов

Сумма квадратов корней уравнения $$\sqrt{7 - \sqrt[3]{x^2 - 10}} = 3$$ равна:

$$7 - \sqrt[3]{x^2 - 10} = 9$$, $$\sqrt[3]{x^2 - 10} = -2$$, $$x^2 - 10 = -8$$, $$x^2 = 2$$, $$x = \pm\sqrt{2}$$.

Тогда, $$2 + 2 = 4$$.

Выберите один из вариантов

Если корень уравнения $$3^{x - 1} \cdot 5^{x - 1} = 225^{\frac{1}{3}}$$ составляет $$\frac{2}{3}$$ некоторого числа, то это число равно:

  1. $$15^{x - 1} = 15^{\frac{2}{3}}$$, $$x - 1 = \frac{2}{3}$$, $$x = \frac{5}{3}$$.
  2. $$\frac{5}{3} : \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 2,5$$.
Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$ln5x = ln(x^2 - 14)$$ равно:

ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x^2 > 14$$.

$$5x = x^2 - 14$$, $$x^2 - 5x - 14 = 0$$,

откуда $$x_1 = -2 \notin$$ ОДЗ, $$x_2 = 7$$.

Выберите один из вариантов

Если $$(x; y)$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} x^{y - 2} = 4, \\ x^{2y - 3} = 64, \end{array}\right.$$ то произведение чисел $$x$$ и $$y$$ равно:

  1. Возведем первое уравнение в квадрат и разделим уравнения:

    $$\frac{x^{2y - 3}}{x^{2y - 4}} = \frac{64}{16}$$, откуда $$x = 4$$.

  2. $$4^{y - 2} = 4$$, откуда $$y = 3$$.
  3. $$x \cdot y = 12$$.
Введите ответ в поле

Модуль разности корней уравнения $$\sqrt[3]{x^2 - 3x + 2}\sqrt{x^2 - x - 2} = 0$$ равен:

ОДЗ: $$x^2 - x - 2 \ge 0$$.

Решим уравнения:

  1. $$x^2 - 3x + 2 = 0$$, откуда $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 1 \notin$$ ОДЗ;
  2. $$x^2 - x - 2 = 0$$, откуда $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -1$$.

Тогда, $$|2 + 1| = 3$$.

Введите ответ в поле

Количество упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} x + xy + y = 5, \\ x^2 + y^2 + x^2y^2 = 15, \end{array}\right.$$ равно:

Полагая $$x + y = a$$, а $$xy = b$$, получим:

$$x^2 + y^2 + 2xy = a$$, $$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$$.

Решим систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{l} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 - 2b = 15, \end{array}\right.$$

Так как $$a = 5 - b$$, то $$(5 - b)^2 + b^2 - 2b = 15$$,

$$b^2 - 6b + 5 = 0$$, откуда $$b_1 = 1$$, $$b_2 = 5$$.

Тогда: $$a_1 = 4$$, $$a_2 = 0$$.

Получим системы уравнений:

  1. $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 4, \\ xy = 1; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = 4 - x, \\ x^2 - 4x + 1 = 0; \end{array}\right.$$
  2. $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 0, \\ xy = 5; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = - x, \\ x^2 = -5. \end{array}\right.$$

Первая система имеет два решения, а вторая система решений не имеет.

Введите ответ в поле

Корень уравнения $$(\sqrt{6})^x + 2^x = 2 \cdot 3^x$$ равен:

$$6^{0,5x} + 4^{0,5x} - 2 \cdot 9^{0,5x} = 0$$,

$$\frac{6^{0,5x}}{4^{0,5x}} + \frac{4^{0,5x}}{4^{0,5x}} - \frac{2 \cdot 9^{0,5x}}{4^{0,5x}} = 0$$, $$\left(\frac{3}{2}\right)^{0,5x} + 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0$$.

Полагая $$\left(\frac{3}{2}\right)^{0,5x} = a > 0$$, получим:

$$2a^2 - a - 1 = 0$$,

откуда $$D = 9$$, $$a_1 = -0,5 < 0$$, $$a_2 = 1$$.

Тогда, $$\left(\frac{3}{2}\right)^{0,5x} = 1$$, откуда $$x = 0$$.

Введите ответ в поле

Сумма корней уравнения $$tg^3x + tg^2x - 3tgx = 3$$ (в градусах), принадлежащих промежутку $$(-0,5\pi; \pi)$$, равна:

$$tg^2x \cdot (tgx + 1) - 3 \cdot (tgx + 1) = 0$$,

$$(tgx + 1)(tg^2x - 3) = 0$$.

Решим уравнения:

  1. $$tgx = -1$$, $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$n \in Z$$;
  2. $$tgx = \sqrt{3}$$, $$x = \frac{\pi}{3} + \pi m$$, где $$m \in Z$$;
  3. $$tgx = -\sqrt{3}$$, $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$$, где $$k \in Z$$.

Тогда, $$-\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} +\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} = 210^{\circ}$$.

Введите ответ в поле