Загрузка

Уравнения

Сумма модулей корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{x - 1}{6 - 5x + x^2} = \frac{1}{2 - x} - 1$$ равна:

  1. $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$,

    так как $$D = 25 - 24 = 1$$, $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$, $$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$.

  2. ОДЗ: $$x \neq 2$$, $$x \neq 3$$.
  3. $$\frac{x - 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{-1 - x + 2}{x - 2}$$, $$\frac{x - 1}{x - 3} = 1 - x$$,

    $$x - 1 = -(x - 1)(x - 3)$$, $$(x - 1) + (x - 1)(x - 3) = 0$$,

    $$(x - 1)(x - 2) = 0$$,

    откуда $$x = 1$$ или $$x = 2 \notin$$ ОДЗ.

Выберите один из вариантов

Число, противоположное удвоенному произведению корней уравнения (или корню, если он единственный) $$\frac{x - 2}{|8 - 4x|} - x = 0$$, равно:

Запишем уравнение в виде: $$\frac{x - 2}{|x - 2|} = 4x$$.

  1. Если $$x > 2$$, то $$1 = 4x$$,

    откуда $$x = 0,25$$ – посторонний корень уравнения.

  2. Если $$x < 2$$, то $$-1 = 4x$$, откуда $$x = -0,25$$.

Тогда, $$-x = 0,25$$.

Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 3} = 1$$ равно:

ОДЗ: $$x \ge 3$$.

$$\left(\sqrt{x + 2}\right)^2 = \left(1 + \sqrt{x - 3}\right)^2$$,

$$x + 2 = 1 + 2\sqrt{x - 3} + x - 3$$,

$$\sqrt{x - 3} = 2$$, $$x - 3 = 4$$, $$x = 7$$.

Выберите один из вариантов

Число, обратное корню уравнения $$\frac{0,25}{64^{0,5x - 1}} = \frac{\sqrt{2^x}}{4^{3x}}$$, равно:

$$\frac{2^{-2}}{2^{6(0,5x- 1)}} = \frac{2^{0,5x}}{2^{6x}}$$, $$2^{-2 - 3x + 6} = 2^{0,5x - 6x}$$,

$$4 - 3x = -5,5x$$, откуда $$x = -1,6$$.

Тогда, $$(-1,6)^{-1} = \left(-\frac{8}{5}\right)^{-1} = -\frac{5}{8}$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$lgx^2 + lg(x + 1) = lg(x^3 + 3x - 2)$$ равно:

ОДЗ: $$x > -1$$ и $$x^3 + 3x - 2 > 0$$.

$$lg(x^3 + x^2) = lg(x^3 + 3x - 2)$$,

$$x^3 + x^2 = x^3 + 3x - 2$$,

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$,

откуда $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$.

Тогда, $$(1 + 2) : 2 = 1,5$$.

Выберите один из вариантов

Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $$cos^2x + 3sin(90^{\circ} - x) + 2 = 0$$ равна:

$$cos^2x + 3cosx + 2 = 0$$, откуда:

  1. $$cosx = -2$$, значит $$x \in \varnothing$$;
  2. $$cosx = -1$$, значит $$x = \pi + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$.

При $$n = -1$$ получим: $$x = -\pi$$.

При $$n = 0$$ получим: $$x = \pi$$.

Тогда, $$-\pi + \pi = 0$$.

Выберите один из вариантов

Сумма координат всех упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} (x + y)^2 + 6 = 5x + 5y, \\ (x - y)^2 + 6 = 5x - 5y, \end{array}\right.$$ равна:

Полагая $$x + y = a$$, а $$x - y = b$$, получим:

  1. $$a^2 - 5a + 6 = 0$$, откуда $$a_1 = 2$$, $$a_2 = 3$$;
  2. $$b^2 + 5b + 6 = 0$$, откуда $$b_1 = -2$$, $$b_2 = -3$$.

Решим системы уравнений:

  1. $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 2, \\ x - y = -2; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = 2, \\ x = 0; \end{array}\right.$$
  2. $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 2, \\ x - y = -3; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = 2,5, \\ x = -0,5; \end{array}\right.$$
  3. $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 3, \\ x - y = -2; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = 2,5, \\ x = 0,5; \end{array}\right.$$
  4. $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 3, \\ x - y = -3; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = 3, \\ x = 0. \end{array}\right.$$

Тогда, $$2 + 0 + 2,5 - 0,5 + 2,5 + 0,5 + 3 + 0 = 10$$.

Введите ответ в поле

Сумма модулей кубов корней уравнения $$\sqrt[3]{9 - \sqrt{x^2}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{x^2}} = 4$$ равна:

$$\left(\sqrt[3]{9 - |x|}\right)^3 = \left(4 - \sqrt[3]{7 + |x|}\right)^3$$,

$$9 - |x| = 64 - 3 \cdot16\sqrt[3]{7 + |x|} + 3 \cdot 4\left(\sqrt[3]{7 + |x|}\right)^2 - 7 - |x|$$,

$$\left(\sqrt[3]{7 + |x|}\right)^2- 4\sqrt[3]{7 + |x|} + 4 = 0$$.

Полагая $$\sqrt[3]{7 + |x|} = a$$, получим:

$$a^2 - 4a + 4 = 0$$, $$(a - 2)^2 = 0$$, откуда $$a = 2$$.

Решим уравнение:

$$\sqrt[3]{7 + |x|} = 2$$, $$7 + |x| = 8$$, $$|x| = 1$$, $$x = \pm 1$$.

Тогда, $$|1^3| + |-1^3| = 2$$.

Введите ответ в поле

Сумма корней уравнения $$(6 - x)^{x^2 - 3x} = (6 - x)^{10}$$ равна:

  1. Если $$6 - x > 0$$, то $$x^2 - 3x - 10 = 0$$,

    откуда $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 5$$.

  2. Если $$6 - x = 1$$, то $$x = 5$$.
  3. Если $$6 - x = 0$$, то выражение $$0^{\circ}$$ лишено смысла.

Тогда, $$-2 + 5 = 3$$.

Введите ответ в поле

Количество корней уравнения $$\frac{sin2x}{ctgx}= tgx$$, принадлежащих отрезку $$[-3\pi; 3\pi]$$, равно:

Имеем уравнение: $$\frac{2sinx \cdot cosx}{\frac{cosx}{sinx}} = 0$$.

ОДЗ: $$\frac{cosx}{sinx} \neq 0$$, откуда $$sinx \neq 0$$ и $$cosx \neq 0$$.

Следовательно, корней нет.

Введите ответ в поле