Загрузка

Уравнения

Произведение модулей всех действительных корней уравнения $$|3x - 2| = 6 - x$$ равно:

  1. ОДЗ: $$6 - x \ge 0$$, откуда $$x \le 6$$.
  2. $$\left[\begin{array}{l} 3x - 2 = 6 - x, \\ 3x - 2 = -6 + x; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = -2. \end{array}\right.$$
  3. $$|2| \cdot |-2| = 4$$.
Выберите один из вариантов

Если $$(x_0; y_0)$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 2x - 3y = 1, \\ 3x + 2y = 5, \end{array}\right.$$ то сумма чисел $$x_0$$ и $$y_0$$ равна:

$$\left\{\begin{array}{l} 4x - 6y = 2, \\ 9x + 6y = 15; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} 2x - 3y = 1, \\ 13x = 17; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = \frac{7}{13}, \\ x = \frac{17}{13}. \end{array}\right.$$

$$\frac{17}{13} + \frac{7}{13} = \frac{24}{13}$$.

Выберите один из вариантов

Сумма модулей корней уравнения $$\sqrt[3]{x + 7} + \sqrt[3]{28 - x} = 5$$ равна:

$$\left(\sqrt[3]{x + 7}\right)^3 = \left(5 - \sqrt[3]{28 - x}\right)^3$$,

$$x + 7 = 125 - 3 \cdot 25\sqrt[3]{28 - x} + 3 \cdot 5\left(\sqrt[3]{28 - x}\right)^2 - 28 + x$$,

$$\left(\sqrt[3]{28 - x}\right)^2 - 5\sqrt[3]{28 - x} + 6 = 0$$.

Полагая $$\sqrt[3]{28 - x} = a$$, получим:

$$a^2 - 5a + 6 = 0$$, откуда $$a_1 = 2$$, $$a_2 = 3$$.

Решим уравнения:

  1. $$\sqrt[3]{28 - x} = 2$$, $$28 - x = 8$$, $$x = 20$$;
  2. $$\sqrt[3]{28 - x} = 3$$, $$28 - x = 27$$, $$x = 1$$.

Тогда, $$20 + 1 = 21$$.

Выберите один из вариантов

Сумма целых чисел, между которыми заключен корень уравнения $$3^x - 3^{x + 1} + 3^{x - 2} = -17$$, равна:

$$3^{x - 2}(3^{x - x + 2} - 3^{x + 1 - x + 2} + 1) = -17$$,

$$3^{x - 2}(3^2 - 3^3 + 1) = -17$$, $$3^{x - 2}(-17) = -17$$,

$$3^{x - 2} = 1$$, $$x - 2 = 0$$, $$x = 2$$.

Тогда, $$1 + 3 = 4$$.

Выберите один из вариантов

Полусумма корней уравнения $$log_2^2x - 6log_2x + 5 = 0$$ равна:

ОДЗ: $$x > 0$$.

Полагая $$log_2x = a$$, получим:

$$a^2 - 6a + 5 = 0$$,

откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 5$$.

Решим уравнения:

  1. $$log_2x = 1$$, откуда $$x = 2$$;
  2. $$log_2x = 5$$, откуда $$x = 32$$.

Тогда, $$(2 + 32) : 2 = 17$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое модулей корней уравнения $$4sin^22x - cos4x = 2$$, принадлежащих промежутку $$[-0,5\pi; 0,5\pi]$$, равно:

  1. $$2(1 - cos4x)) - cos4x = 2$$, $$cos4x = 0$$,

    откуда $$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$, где $$n \in Z$$.

  2. Отбор корней:

    если $$n = -2$$, то $$x = -\frac{3\pi}{8}$$; если $$n = -1$$, то $$x = -\frac{\pi}{8}$$;

    если $$n = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{8}$$; если $$n = 1$$, то $$x = \frac{3\pi}{8}$$.

  3. $$\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}\right) : 4 = \frac{\pi}{4}$$.
Выберите один из вариантов

Разность меньшего и большего корней уравнения $$(2x + 15)^2 + \sqrt{25(2x + 15)^2} = 50$$ равна:

$$|2x + 15|^2 + 5|2x + 15| - 50 = 0$$, откуда $$D = 225$$,

$$|2x + 15| = \frac{-5 - 15}{2} = -10 < 0$$ или $$|2x + 15| = \frac{-5 + 15}{2} = 5$$.

Решим уравнения:

  1. $$2x + 15 = 5$$, откуда $$x = -5$$;
  2. $$2x + 15 = -5$$, откуда $$x = -10$$.

Тогда, $$-10 + 5 = -5$$.

Введите ответ в поле

Произведение квадратов различных корней уравнения $$\sqrt{x - 2} - \sqrt[3]{x - 2} = 0$$ равно:

ОДЗ: $$x \ge 2$$.

$$\sqrt[6]{(x - 2)^3} - \sqrt[6]{(x - 2)^2} = 0$$,

$$\sqrt[6]{(x - 2)^2}\left(\sqrt[6]{x - 2} - 1\right) = 0$$.

Получим уравнения:

  1. $$x - 2 = 0$$, откуда $$x = 2$$;
  2. $$\sqrt[6]{x - 2} = 1$$, откуда $$x = 3$$.

Тогда, $$2^2 \cdot 3^2 = 36$$.

Введите ответ в поле

Сумма координат упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 5^{2x} + 5^{2y} = 6, \\ 5^{x + y} = \sqrt{5}, \end{array}\right.$$ равна:

  1. $$5^{x + y} = 5^{0,5}$$, $$x + y = 0,5$$, откуда $$y = 0,5 - x$$.
  2. $$5^{2x} + 5^{1 - 2x} = 6$$, $$5^{2x} + \frac{5}{5^{2x}} = 6$$, $$5^{4x} - 6 \cdot 5^{2x} + 5 = 0$$,

    откуда $$5^{2x} = 1$$ или $$5^{2x} = 5$$.

    Тогда: $$x_1 = 0$$, $$y_1 = 0,5$$; $$x_2 = 0,5$$, $$y_2 = 0$$.

  3. $$0 + 0,5 + 0,5 + 0 = 1$$.
Введите ответ в поле

Среднее арифметическое квадратов корней уравнения $$\sqrt{4 - x^2}(3sin2\pi x + 8sin\pi x) = ctg90^{\circ}$$ равно:

ОДЗ: $$|x| \le 2$$.

$$\sqrt{4 - x^2}(6sin\pi x \cdot cos\pi x + 8 sin\pi x) = 0$$,

$$\sqrt{4 - x^2} \cdot sin\pi x(3cos\pi x + 4) = 0$$, откуда:

  1. $$4 - x^2 = 0$$, $$x = \pm 2$$;
  2. $$sin\pi x = 0$$, $$\pi x = \pi n$$, $$x = n$$, где $$n \in Z$$;
  3. $$3cos\pi x + 4 = 0$$, $$cos\pi x = -\frac{4}{3}$$, $$x \in \varnothing$$.

Тогда, $$\left((-2)^2 + (-1)^2 + 0 +1^2 + 2^2\right) : 5 = 2$$.

Введите ответ в поле