Загрузка

Уравнения

Количество целых неотрицательных корней уравнения $$|2x - 7| = 7 - 2x$$ равно:

  1. ОДЗ: $$7 - 2x \ge 0$$, откуда $$x \le 3,5$$.
  2. $$\left[\begin{array}{l} 2x - 7 = 7 - 2x, \\ 2x - 7 = -7 + 2x; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} x \in \varnothing, \\ x \in ОДЗ. \end{array}\right.$$
  3. Целые неотрицательные решения:

    $$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$.

Выберите один из вариантов

Если $$(x_0; y_0)$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} x + 2y = -0,5, \\ x^2 + 4y = -2, \end{array}\right.$$ то модуль разности чисел $$x_0$$ и $$y_0$$ равен:

  1. Умножим первое уравнение на число $$2$$:

    $$\left\{\begin{array}{l} 2x + 4y = -1, \\ x^2 + 4y = -2. \end{array}\right.$$

  2. Вычитая из второго уравнения системы, первое, получим:

    $$x^2 - 2x + 1 = 0$$, $$(x - 1)^2 = 0$$, $$x = 1$$.

  3. Тогда, $$2 + 4y = -1$$, $$2 + 4y = -0,75$$.
  4. $$|1 + 0,75| = 1,75$$.
Выберите один из вариантов

Если корень уравнения $$\left(\sqrt{10}\right)^{2x + 10} = 11^{x + 5}$$ составляет $$40\%$$ некоторого числа, то это число равно:

$$10^{x + 5} = 11^{x + 5}$$, $$\frac{10^{x + 5}}{11^{x + 5}} = 1$$, $$\left(\frac{10}{11}\right)^{x + 5} = \left(\frac{10}{11}\right)^0$$,

откуда $$x = -5$$.

Тогда, $$-5 : 40 \cdot 100 = -12,5$$.

Выберите один из вариантов

Сумма корней уравнений $$log_2x = -2$$ и $$log_2x^2 = -2$$ равна:

  1. $$log_2x = -2$$, откуда $$x = 2^{-2} = 0,25$$.
  2. $$log_2x^2 = -2$$, $$x^2 = 2^{-2} = 0,25$$, откуда $$x = \pm 0,5$$.
  3. $$0,25 - 0,5 + 0,5 = 0,25$$.
Выберите один из вариантов

Модуль разности корней уравнения $$2\sqrt[3]{3x - 2} - 3\sqrt[6]{3x - 2} + 1 = 0$$ равен:

Полагая $$\sqrt[6]{3x - 2} = a$$, получим:

$$2a^2 - 3a +1 = 0$$, откуда $$D = 1$$, $$a_1 = \frac{1}{2}$$, $$a_2 = 1$$.

Решим уравнения:

  1. $$\sqrt[6]{3x - 2} = \frac{1}{2}$$, $$3x - 2 = \frac{1}{64}$$, $$x = \frac{43}{64}$$;
  2. $$\sqrt[6]{3x - 2} = 1$$, $$3x - 2 = 1$$, $$x = 1$$.

Тогда, $$\left|\frac{43}{64} - 1\right| = \frac{21}{64}$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое корней уравнения $$cosx + 9sin\frac{3\pi + x}{2} = -5$$, принадлежащих интервалу $$(-3\pi ; 4\pi)$$, равно:

  1. $$cosx + 9sin(1,5\pi + 0,5x) = -5$$,

    $$cos^20,5x - sin^20,5x - 9cos0,5x = -5$$,

    $$2cos^20,5x - 9cos0,5x + 4 = 0$$.

    Полагая $$cos0,5x = a$$, получим:

    $$2a^2 - 9a + 4 = 0$$, откуда $$a_1 = 0,5$$, $$a_2 = 4 > 1$$.

    Тогда: $$cos0,5x = 0,5$$; $$0,5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$;

    $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$, где $$n \in Z$$.

  2. Отбор корней:

    если $$n = 0$$, то $$x_1 = \frac{2\pi}{3}$$, $$x_2 = -\frac{2\pi}{3}$$;

    если $$n = 1$$, то $$x = \frac{10\pi}{3}$$.

  3. $$\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{10\pi}{3}\right) : 3 = \frac{10\pi}{9}$$.
Выберите один из вариантов

Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{|x - x^2|}{x} = 2$$ равна:

ОДЗ: $$x > 0$$.

$$|1 - x| = 2$$, $$1 - x = \pm 2$$, откуда

$$x_1 = -1 \notin$$ ОДЗ или $$x_2 = 3$$.

Введите ответ в поле

Сумма всех корней уравнения $$\sqrt{x - 1} + \sqrt[3]{2 - x} = 1$$ равна:

ОДЗ: $$x \ge 1$$.

Пусть $$\sqrt{x - 1} = a$$, а $$\sqrt[3]{2 - x} = b$$.

Тогда: $$x - 1 = a^2$$, $$2 - x = b^2$$, $$a^2 + b^2 = 1$$.

Получим систему уравнений:

$$a + b = 1$$, $$a^2 + b^2 = 1$$.

Так как $$a = 1 - b$$, то $$(1 - b)^2 + b^3 = 1$$,

$$1 - 2b + b^2 + b^3 = 1$$, $$b^3 + b^2 - 2b = 0$$,

$$b(b^2 + b - 2) = 0$$, $$b(b + 2)(b - 1) = 0$$,

откуда $$b_1 = 0$$, $$b_2 = -2$$, $$b_3 = 1$$.

Решим уравнения:

  1. $$\sqrt[3]{2 - x} = 0$$, откуда $$x = 2$$;
  2. $$\sqrt[3]{2 - x} = -2$$, откуда $$x = 10$$;
  3. $$\sqrt[3]{2 - x} = 1$$, откуда $$x = 1$$.
    1. Тогда, $$2 + 10 + 1 = 13$$.

Введите ответ в поле

Произведение корней уравнения $$lg(x^2 - 5)^2 - lg(x + 5) = 1 + lg(x^2 - 5)$$ равно:

ОДЗ: $$x > -5$$ и $$x^2 > 5$$.

$$lg(x^2 - 5)^2 - lg(x + 5) - lg(x^2 - 5) = 1$$,

$$lg\frac{(x^2 - 5)^2}{(x + 5)(x^2 - 5)} = 1$$, $$\frac{x^2 - 5}{x + 5} = 10$$,

$$x^2 - 10x - 55 = 0$$,

откуда $$x_1 = 5 - 4\sqrt{5}$$, $$x_2 = 5 + 4\sqrt{5}$$.

Тогда, $$x_1x_2 = -55$$.

Введите ответ в поле

Сумма наибольшего и наименьшего корней уравнения $$sin2x + \sqrt{3}cos2x = 2$$ (в градусах), принадлежащих промежутку $$[-\pi; 2\pi]$$, равна:

$$\frac{1}{2}sin2x + \frac{\sqrt{3}}{2}cos2x = 1$$,

$$cos\frac{\pi}{3} \cdot sin2x + sin\frac{\pi}{3} \cdot cos2x = 1$$,

$$sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$$, $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$,

$$x = \frac{\pi}{12} + \pi n$$, где $$n \in Z$$.

Тогда, $$-\frac{11\pi}{12} + \frac{13\pi}{12} = \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}$$.

Введите ответ в поле