Загрузка

Уравнения

Если $$k$$ – количество корней уравнения $$|x^2 - 3x| + x^2 = 1$$, а $$x_0$$ – его положительный корень, то значение $$x_0^{-k}$$ равно:

  1. ОДЗ: $$1 - x^2 \ge 0$$, откуда $$-1 \le x \le 1$$.
  2. $$\left[\begin{array}{l} x^2 - 3x = 1 - x^2, \\ x^2 - 3x = -1 + x^2; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} 2x^2 - 3x - 1 = 0, \\ - 3x = -1; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, \\ x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} > 1, \\ x = \frac{1}{3}. \end{array}\right.$$
  3. Так как $$k = 2$$, а $$x_0 = \frac{1}{3}$$, то $$x_0^{-k} = 9$$.
Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое целых положительных чисел, которые не превосходят корень уравнения $$2 + \sqrt[4]{x + 8} = \sqrt{x + 8}$$, равно:

Полагая $$\sqrt[4]{x + 8} = a$$, получим:

$$a^2 - a - 2 = 0$$, откуда $$D = 1$$, $$a_1 = -1$$, $$a_2 = 2$$.

Решим уравнение:

$$\sqrt[4]{x + 8} = 2$$, $$x + 8 = 16$$, $$x = 8$$.

Тогда, $$(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) : 8 = 4,5$$.

Выберите один из вариантов

Корень уравнения $$10 \cdot 2^{x - 2} - 3 \cdot 5^x = 2^{x + 1} - 14 \cdot 5^{x - 1}$$ не меньше числа:

$$10 \cdot 2^{x - 2} - 2^{x + 1} = 3 \cdot 5^x - 14 \cdot 5^{x - 1}$$,

$$2^{x - 2} (10 - 2^3) = 5^{x - 2} (3 \cdot 5^2 - 14 \cdot 5)$$,

$$2^{x - 2} \cdot 2 = 5^{x - 2} \cdot 5$$, $$2^{x - 1} = 5^{x - 1}$$, $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x - 1} = 1$$,

$$(0,4)^{x - 1} = (0,4)^0$$, откуда $$x = 1$$.

Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$log_x2 = -2$$ равно:

ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x \neq 1$$.

$$2 = x^{-2}$$, $$\frac{1}{x^2} = 2$$, $$x^2 = 0,5$$,

откуда $$x_1 = \sqrt{0,5}$$, $$x_2 = -\sqrt{0,5} \notin$$ ОДЗ.

Выберите один из вариантов

Сумма корней уравнения $$tg\frac{x}{3} - ctg\frac{x}{3} = 0$$, принадлежащих промежутку $$(-\pi ; 4\pi]$$, равна:

  1. $$tg\frac{x}{3} = \frac{1}{tg\frac{x}{3}}$$, $$tg^2\frac{x}{3} = 1$$, откуда:
    1. $$tg\frac{x}{3} = 1$$, $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, $$x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$$, где $$n \in Z$$;
    2. $$tg\frac{x}{3} = -1$$, $$x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi m$$, где $$m \in Z$$.
  2. Отбор корней:

    если $$n = 0$$, то $$x = \frac{3\pi}{4}$$; если $$n = 1$$, то $$x = \frac{15\pi}{4}$$;

    если $$m = 0$$, то $$x = -\frac{3\pi}{4}$$; если $$m = 1$$, то $$x = \frac{9\pi}{4}$$.

  3. $$\frac{3\pi}{4} + \frac{15\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + \frac{9\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi$$.
Выберите один из вариантов

Число, обратное корню (или сумме корней, если корень не единственный) уравнения $$||3 - 2x| - 1| = 2|x|$$, равно:

Выполним преобразования:

$$(|3 - 2x| - 1)^2 = 4x^2$$,

$$(|3 - 2x| - 1 - 2x)(|3 - 2x | - 1 + 2x) = 0$$.

Решим уравнения:

  1. $$|3 - 2x| = 1 + 2x$$, где $$x \ge -0,5$$,

    $$\left[\begin{array}{l} 3 - 2x = 1 + 2x, \\ 3 - 2x = -1 - 2x, \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} x = 0,5, \\ 3 \neq -1. \end{array}\right.$$

  2. $$|3 - 2x| = 1 - 2x$$, где $$x \le -0,5$$,

    $$\left[\begin{array}{l} 3 - 2x = 1 - 2x, \\ 3 - 2x = -1 + 2x, \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} 3 \neq 1, \\ x = 1 > 0,5. \end{array}\right.$$

Тогда, $$0,5^{-1} = 2$$.

Введите ответ в поле

Количество целых корней уравнения $$2x^5 + 5x^4 - x^2 - 2 = 0$$ равно:

Целыми корнями уравнения могут быть только делители свободного члена: $$-2$$, $$-1$$, $$1$$, $$2$$.

Проверка:

$$-64 + 80 - 4 - 2 \neq 0$$,

$$-2 + 5 - 1 - 2 = 0$$,

$$2 + 5 - 1 - 2 \neq 0$$,

$$64 + 80 - 4 - 2 \neq 0$$.

Целый корень уравнения равен $$-1$$.

Введите ответ в поле

Количество решений системы уравнений $$\left\{\begin{array} \sqrt{x} + \sqrt{y + 1} = 1, \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y} = 1 \end{array}\right.$$ равно:

ОДЗ: $$x \ge 0$$, $$y \ge 0$$.

$$\left\{\begin{array} (\sqrt{x} + \sqrt{y + 1})^2 = 1, \\ (\sqrt{x + 1} + \sqrt{y})^2 = 1; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{1} x + y + 1 + 2\sqrt{x(y + 1)} = 1, \\ x + y + 1 + 2\sqrt{y(x + 1)} = 1. \end{array}\right.$$

Получим: $$\sqrt{x(y + 1)} = \sqrt{y(x + 1)}$$,

$$xy + x = xy + y$$, откуда $$x = y$$.

Подставим это значение в первое уравнение системы:

$$\sqrt{x} + \sqrt{x + 1} = 1$$,

$$(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1})^2 = 1$$,

$$x + 2\sqrt{x}\sqrt{x + 1} + x + 1 = 1$$,

$$\sqrt{x(x + 1)} = -x$$, где $$x \le 0$$.

Учитывая ОДЗ, получим: $$x = 0$$, $$y = 0$$.

Введите ответ в поле

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$log_{log_2x}25 = 2$$ равно:

ОДЗ: $$x > 0$$, $$log_2x > 0$$ и $$log_2x \neq 1$$.

$$25 = (log_2x)^2$$, откуда:

  1. $$log_2x = 5$$, тогда $$x = 32$$;
  2. $$log_2x = -5 \notin$$ ОДЗ.
Введите ответ в поле

Количество корней уравнения $$sinx - cosx = \sqrt{2}$$, принадлежащих отрезку $$[-2,5\pi ; 2,5\pi]$$, равно:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}sinx - \frac{1}{\sqrt{2}}cosx = 1$$,

$$cos\frac{\pi}{4} \cdot sinx - sin\frac{\pi}{4} \cdot cosx = 1$$,

$$sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$$, $$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$,

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$.

Тогда: $$x = -\frac{7\pi}{6}$$ и $$x = \frac{5\pi}{6}$$.

Введите ответ в поле