Загрузка

Уравнения

Среднее арифметическое корней уравнения $$81 = \left(\left(3^{2 + x}\right)^{x - 1}\right)^{-2}$$ равно:

$$3^4 = 3^{-2(2 + x)(x - 1)}$$, $$4 = -2(2 + x)(x - 1)$$,

$$x^2 + x = 0$$, откуда $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -1$$.

Тогда, $$(0 - 1) ^ 2 = -0,5$$.

Выберите один из вариантов

Произведение всех различных корней уравнения $$\left|5x - 2x^2 + 3\right| = |2x + 1|$$ равно:

$$(5x - 2x^2 + 3)^2 = (2x + 1)^2$$,

$$(2x^2 - 3x - 2)(2x^2 - 7x - 4) = 0$$.

Получим уравнения:

  1. $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$, откуда $$x_1 = -\frac{1}{2}$$, $$x_2 = 2$$;
  2. $$2x^2 - 7x - 4 = 0$$, откуда $$x_1 = -\frac{1}{2}$$, $$x_2 = 4$$.

Тогда, $$-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = -4$$.

Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$(16 - x^2)\sqrt{2 - x}$$ равно:

ОДЗ: $$x \le 2$$.

Решим уравнения:

  1. $$16 - x^2 = 0$$, откуда $$x_1 = -4$$, $$x_2 = 4 \notin$$ ОДЗ;
  2. $$\sqrt{2 - x} = 0$$, откуда $$x = 2$$.

Тогда, $$-4 \cdot 2 = -8$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$13^{x + 1} + 13 \cdot 13^{1 - x} = 182$$ равно:

$$13 \cdot 13^x + \frac{13 \cdot 13}{13^x} = 182$$, $$13^x + \frac{13}{13^x} = 14$$.

Полагая $$13^x = a > 0$$, получим:

$$a^2 - 14a + 13 = 0$$, откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 13$$.

Решим уравнения:

  1. $$13^x = 1$$, откуда $$x = 0$$;
  2. $$13^x = 13$$, откуда $$x = 1$$.

Тогда, $$(0 + 1) : 2 = 0,5$$.

Выберите один из вариантов

Если корень уравнения $$log_{x^2 - 1}\sqrt{7} = 0,5$$ составляет $$\frac{4}{5}$$ некоторого числа, то это число равно:

ОДЗ: $$x^3 - 1 > 0$$ и $$x^3 - 1 \neq 1$$.

$$\sqrt{7} = \sqrt{x^3 - 1}$$, $$x^3 - 1 = 7$$, $$x = 2$$.

Тогда, $$2 : \frac{4}{5} = 2,5$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое всех корней уравнения $$3sin^2x + 4cos^2x + \sqrt{3}sinxcosx = 3$$, не превосходящих по абсолютной величине число $$\pi$$, равно:

  1. $$3sin^2x + 4cos^2x + \sqrt{3}sinxcosx = 3cos^2x + 3sin^2x$$,

    $$cos^2x + \sqrt{3}sinxcosx = 0$$, $$cosx\left(cosx + \sqrt{3}sinx\right) = 0$$,

    откуда:

    1. $$cosx = 0$$, $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n \in Z$$;
    2. $$\sqrt{3}sinx = -cosx$$, $$tgx = \frac{-1}{\sqrt{3}}$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi m$$, $$m \in Z$$.
  2. Отбор корней:

    если $$n = -1$$, то $$x = -\frac{\pi}{2}$$; если $$n = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2}$$;

    если $$m = 0$$, то $$x = -\frac{\pi}{6}$$; если $$m = 1$$, то $$x = \frac{5\pi}{6}$$.

  3. $$\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right) : 4 = \frac{2\pi}{3}$$.

Выберите один из вариантов

Сумма всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$$ равна:

$$(x^3 - x^2) + (-4x + 4) = 0$$,

$$x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0$$,

$$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$$,

$$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$$,

откуда $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$, $$x_3 = -2$$.

Тогда, $$1 + 2 - 2 = 1$$.

Введите ответ в поле

Сумма модулей всех корней уравнения $$|x^2 - x - 6| = |2 + x| \cdot (x^2 - 6x + 9)$$ равна:

$$|(x - 3)(x + 2)| = |2 + x| \cdot |x - 3|^2$$,

$$|(x - 3)(x + 2)|(1 - |x - 3|) = 0$$.

Получим:

  1. $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -2$$;
  2. $$|x - 3| = 1$$, $$x - 3 = \pm1$$, $$x_3 = 4$$, $$x_4 = 2$$.

Тогда, $$3 + 2 + 4 + 2 = 11$$.

Введите ответ в поле

Удвоенный квадрат произведения корней уравнения $$log_2x - 0,5log_x2 = 1$$ равен:

ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x \neq 1$$.

Полагая $$log_2x = a$$, получим:

$$a - \frac{1}{2a} = 1$$, $$2a^2 - 2a - 1 = 0$$,

откуда $$a_1 = 1 - \sqrt{3}$$, $$a_2 = 1 + \sqrt{3}$$.

Решим уравнения:

  1. $$log_2x = 1 - \sqrt{3}$$, откуда $$x = 2^{1 - \sqrt{3}}$$;
  2. $$log_2x = 1 + \sqrt{3}$$, откуда $$x = 2^{1 + \sqrt{3}}$$.

Тогда, $$2 \cdot \left(2^{1 - \sqrt{3}} \cdot 2^{1 + \sqrt{3}}\right)^2 = 2 \cdot \left(2^2\right)^2 = 32$$.

Введите ответ в поле

Количество корней уравнения $$sin\left(900^{\circ} - \frac{x}{4}\right) + 2cos\left(480^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$, принадлежащих отрезку $$[-12\pi ; 27\pi]$$, равно:

$$sin\left(180^{\circ} - \frac{x}{4}\right) + 2cos\left(90^{\circ} + 30^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$,

$$sin\frac{x}{4} - 2sin\left(30^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$,

$$sin\frac{x}{4} + 2sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 3$$.

Получим систему уравнений:

  1. $$sin\frac{x}{4} = 1$$, $$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, $$x = 2\pi + 8\pi n$$,

    $$x = 2\pi(1 + 4\pi n)$$, где $$n \in Z$$;

  2. $$sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 1$$, $$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$$,

    $$x = 2\pi + 6\pi m$$, $$x = 2\pi(1 + 3\pi m)$$, где $$m \in Z$$.

Система имеет решения при $$4n = 3m$$.

Следовательно, на заданном отрезке получим два корня:

  1. $$x = 2\pi$$ при $$n = m = 0$$;
  2. $$x = 26\pi$$ при $$n = 3$$ и $$m = 4$$.
Введите ответ в поле