Загрузка

Геометрическая прогрессия

Если третий член геометрической прогрессии равен $$2$$,  знаменатель прогрессии равен $$0,5$$, а сумма всех ее членов равна $$15,5$$, то количество членов прогрессии равно:
1. Формула n-го члена геометрической прогрессии:
$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$,
где $$b_{1}$$ – первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$),
$$q$$ – знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$).
2. Формула суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии:
$$S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}$$.

Согласно условию задачи:
$$b_{3}=2$$; $$q=0,5$$; $$S_{n}=15,5$$.
Найдем первый член прогрессии :
$$b_{3}=b_{1}\cdot q^{2}$$, 
$$2=b_{1}\cdot \frac{1}{4}$$, откуда $$b_{1}=8$$.
По формуле суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии получим:
$$15,5=\frac{8 \cdot (1-0,5^{n})}{1-0,5}$$, 
$$1-0,5^{n}=\frac{15,5 \cdot 0,5}{8}$$, 
$$1-\frac{1}{2^{n}}=\frac{31}{32}$$, 
$$\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{5}}$$, откуда $$n=5$$.
Если $$a^{x}=a^{n}$$, то $$x=n$$.
где $$a> 0$$ и $$a\neq 1$$.
Введите ответ в поле
Если второй член геометрической прогрессии равен $$2$$, а третий ее член равен $$3$$, то пятый член этой прогрессии равен:
1. Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число $$q$$. Число $$q$$ называют знаменателем геометрической прогрессии.
2. Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле:
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$.
3. Формула n-го члена геометрической прогрессии:
$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$,
где $$b_{1}$$– первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$),
$$q$$ – знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$).
Согласно условию задачи:
$$b_{2}=2$$, $$b_{3}=3$$.
Найдем знаменатель прогрессии:
$$q=b_{3}:b_{2}$$, $$q=3:2=1,5$$.
Найдем первый член прогрессии:
$$b_{1}=b_{2}:q$$, $$b_{1}=2:1,5=\frac{4}{3}$$.
Найдем пятый член прогрессии:
$$b_{5}=b_{1}\cdot q^{4}$$, $$b_{5}=\frac{4}{3}\cdot \left ( \frac{3}{2} \right )^{4}=\frac{27}{4}$$.
Задачу можно решить иначе:
1) $$q=\frac{3}{2}$$;  
2) $$b_{4}=b_{3}\cdot q$$, $$b_{4}=3\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$$;
3) $$b_{5}=b_{4}\cdot q$$, $$b_{5}=\frac{9}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{27}{4}$$.

Выберите один из вариантов
Если два первых члена геометрической прогрессии соответственно равны $$-2$$ и $$4$$, то сумма первых пяти членов равна:
1. Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле:
$$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$.
2. Формула суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии:
$$S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}$$.

Согласно условию задачи:
$$b_{1}=-2$$, $$b_{2}=4$$.
Найдем знаменатель прогрессии:
$$q=b_{2}:b_{1}$$, $$q=4:(-2)=-2$$.
Найдем сумму первых пяти членов прогрессии:
$$S_{5}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{5})}{1-q}$$, 
$$S_{5}=\frac{-2\cdot (1+32)}{1+2}=-22$$.
Задачу можно решить иначе.
Зная $$b_{1}=2$$ и $$q=-2$$, запишем $$5$$ первых членов прогрессии:
$$-2$$; $$4$$; $$-8$$; $$16$$; $$-32$$.
Найдем их сумму:
$$-2+4-8+16-32=-22$$.
Выберите один из вариантов
Если второй член бесконечной убывающей геометрической прогрессии равен $$1$$, а сумма всех ее членов равна $$4$$, то знаменатель этой прогрессии равен:
  1. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:

    $$b_n=b_1 \cdot q^{n-1}$$,

    где $$b_1$$ – первый член прогрессии $$(b_1 \neq 0)$$$$q$$ – знаменатель прогрессии $$(q \neq 1)$$.
  2. Если $$\left | q \right |<1$$, то члены прогрессии бесконечно убывают.

    Сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии находят по формуле:

    $$S=\frac{b_1}{1-q}$$.
  3. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab + b^2$$.

1. По формуле $$n$$-го члена:

 $$b_2=b_1 \cdot q$$

Так как $$b_{2}=1$$, то $$b_{1}q=1$$.
2. Так как $$S=4$$, то $$\frac {b_1}{1-q}=4$$
3. Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{b_1 \cdot q \cdot (1-q)}{b_1}=\frac{1}{4}$$,

$$\frac{q \cdot (1-q)}{1}=\frac{1}{4}$$,
$$4q^2-4q+1=0$$,
$$(2q-1)^2=0$$
откуда $$2q-1=0$$, а $$q=0,5$$.

Различайте формулы:

1)  $$S_n=\frac{b_1 \cdot (1-q^n)}{1-q}$$ – сумма $$n$$ первых членов любой геометрической прогрессии;

2) $$S=\frac{b_1}{1-q}$$– сумма всех членов только бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Выберите один из вариантов
Если третий член геометрической прогрессии равен $$-9$$, а шестой ее член равен $$243$$, то первый член прогрессии равен:
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$,
где $$b_{1}$$– первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$),
$$q$$– знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$).
Согласно условию задачи:
$$b_{3}=-9$$, $$b_{6}=243$$.
По формуле n-го члена:
$$b_{1}\cdot q^{2}=-9$$, а $$b_{1}\cdot q^{5}=243$$.
Тогда: $$\frac{b_{1}\cdot q^{5}}{b_{1}\cdot q^{2}}=\frac{243}{-9}$$, откуда $$q^{3}=-27$$, а $$q=-3$$.  
Подставляя значение $$q=-3$$ в уравнение $$b_{1}\cdot q^{2}=-9$$, получим:
$$b_{1}\cdot 9=-9$$, откуда $$b_{1}=-1$$.
Задачу можно решить иначе. Имеем систему уравнений:
$$b_{1}\cdot q^{2}=-9$$ и $$b_{1}\cdot q^{5}=243$$.
Выразим $$b_{1}$$ из первого уравнения системы:
$$b_{1}=\frac{-9}{q^{2}}$$.
Подставим полученное значение $$b_{1}$$ во второе уравнение системы:
$$\frac{-9\cdot q^{5}}{q^{2}}=243$$, откуда $$q^{3}=-27$$, а $$q=-3$$.  

Выберите один из вариантов
Если третий член геометрической прогрессии больше ее второго члена на $$18$$, а шестой меньше пятого на $$144$$, то сумма пяти первых членов этой прогрессии равна:
1. Формула n-го члена геометрической прогрессии:
$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$,
где $$b_{1}$$– первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$),
$$q$$ – знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$).
2. Формула сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии:
$$S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}$$.
1. Согласно условию задачи запишем:
$$\begin{cases}b_{3}-b_{2}=18, \\b_{5}-b_{6}=144;\end{cases}$$ $$\begin{cases}b_{1}q^{2}+b_{1}q=18, \\b_{1}q^{4}-b_{1}q^{5}=144;\end{cases}$$ $$\begin{cases}b_{1}q(q-1)=18, \\b_{1}q^{4}(q-1)=144.\end{cases}$$
2. Разделим второе уравнение на первое:
$$q^{3}=-8$$, откуда $$q=-2$$. 
3. Подставим это значение в первое уравнение:
$$-2b_{1}(-2-1)=18$$, откуда $$b_{1}=3$$.
4. Найдем сумму первых пяти членов этой прогрессии:
$$S_{5}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{5})}{1-q}$$, 
$$S_{5}=\frac{3\cdot (1+32)}{1+2}=33$$.
Решая системы уравнений в задачах на геометрическую прогрессию, чаще всего удобнее выполнять деление этих уравнений.
Выберите один из вариантов
Если сумма двух первых членов геометрической прогрессии равна $$-3$$, а сумма квадратов этих членов равна $$5$$, то первый член прогрессии равен:
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$,
где $$b_{1}$$– первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$),
$$q$$ – знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$).
Составим систему уравнений:
$$\begin{cases}b_{1}+b_{1}q=-3, \\b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}=5.\end{cases}$$
Возведем обе части первого уравнения системы в квадрат:
$$b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}+2b_{1}^{2}q=9$$.
С учетом второго уравнения системы получим:
$$5+2b_{1}^{2}q=9$$, откуда $$q=\frac{2}{b_{1}^{2}}$$.
Подставим полученное значение в первое уравнение системы:
$$b_{1}+\frac{2}{b_{1}}=-3$$, 
$$b_{1}^{2}+3b_{1}+2=0$$,
откуда $$b_{1}=-2$$ или $$b_{1}=-1$$.
Формула сокращенного умножения:
$$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$$.

Выберите один из вариантов
Значение выражения $$\left ( 1+0,5\sqrt{2}+0,5+... \right )\left ( 2-\sqrt{2} \right )$$ равно:
  1. Если $$\left | q \right |<1$$, то члены прогрессии бесконечно убывают.
  2. $$S=\frac{b_1}{1-q}$$ – сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
1. Предположим, что в первых скобках записаны три числа бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а число $$1$$ – ее первый член. В таком случае должно выполняться равенство:

$$\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=q<1$$.

Действительно:
 $$\frac {0,5\sqrt2}{1}=\frac{\sqrt2}{2}$$ и $$\frac{0,5}{0,5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$.

Следовательно, $$b_1=1$$, а $$q=\frac{\sqrt2}{2}$$.
2. Тогда: 
$$1+0,5\sqrt2+0,5+...=S$$, 
$$S=\frac{1}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt2}$$.

3. Найдем значение данного выражения:
$$S \cdot (2-\sqrt{2})=2$$.

Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле: 

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$$.

Введите ответ в поле
Если известны $$b_{n-2}=\frac{4}{3}$$ и $$b_{n}=\frac{16}{27}$$ члены геометрической прогрессии с положительными членами, то ее знаменатель равен:
Свойство n-го члена  геометрической прогрессии:
$$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$$. 
1. По свойству n-го члена геометрической прогрессии запишем:
$$b_{n-1}=\sqrt{b_{n-2}b_{n}}$$, 
$$b_{n-1}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot \frac{16}{27}}=\frac{8}{9}$$.
2. Найдем знаменатель прогрессии:
$$q=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}$$,
$$q=\frac{16}{27}\cdot \frac{9}{8}=\frac{2}{3}$$.

Задачу можно решить иначе:
Так как $$b_{n}q^{n-1}=\frac{16}{27}$$, а $$b_{n}q^{n-3}=\frac{4}{3}$$, то 
 $$\frac{b_{n}q^{n-1} }{b_{n}q^{n-3}}=\frac{16}{27}:\frac{4}{3}$$,
$$q^{2}=\frac{4}{9}$$, откуда $$q=\pm \frac{2}{3}$$.
Значение $$q=-\frac{2}{3}$$ не удовлетворяет условию задачи.
Выберите один из вариантов
Три числа, сумма которых равна $$18$$. образуют убывающую арифметическую прогрессию. Если второе число уменьшить в $$2$$ раза, а третье – на $$2$$, то получим три последовательных члена геометрической прогрессии, сумма которых будет равна:
1. Если $$d> 0$$, то арифметическая прогрессия возрастающая последовательность, а если $$d< 0$$, то– убывающая последовательность. 
2. Свойство n-го члена  геометрической прогрессии:
$$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$$. 

1. Пусть числа $$a_{1}=x-d$$, $$a_{2}=x$$ и $$b_{3}=4+d$$ – члены данной арифметической прогрессии. Тогда:
$$x-d+x+x+d=18$$, откуда $$3x=18$$, $$x=3$$.
Следовательно: $$a_{1}=6-d$$, $$a_{2}=6$$ и $$a_{3}=6+d$$.
2. Запишем члены геометрической прогрессии:
$$b_{1}=6-d$$, $$b_{2}=3$$ и $$b_{3}=4+d$$.
По свойству n-го члена получим:
$$b_{2}^{2}=b_{1}b_{3}$$,
$$(6-d)(4+d)=9$$,
$$24+2d-d^{2}=9$$,
$$d^{2}-2d-15=0$$,
откуда $$d_{1}=5$$, а $$d_{2}=-3$$. 
Но так как прогрессия убывающая, то $$d=-3$$.
3. Тогда $$b_{1}=9$$, $$b_{2}=3$$ и $$b_{3}=1$$, а их сумма равна $$13$$.
Члены данной арифметической прогрессии можно было записать так:
$$a_{1}$$; $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{3}=a_{1}+2d$$.
Тогда их сумму так:
$$a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+d=18$$,
$$3a_{1}+2d=18$$.
Однако такой способ решения не рациональный.
Введите ответ в поле