Загрузка

Числовые последовательности

Если числовая последовательность задана формулой $$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$$, то произведение ее членов $$a_2$$ и $$a_5$$ равно:

  1. $$a_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2}$$.
  2. $$a_5 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5}$$.
  3. $$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -0,1$$.
Выберите один из вариантов

Если пятый член арифметической прогрессии равен $$-9$$, а разность этой прогрессии равна

$$–0,5$$, то значение выражения $$a_3 \cdot a_8$$ равно:

Формула $$n$$-го члена:

$$a_n = a_1 + d(n - 1)$$.

Тогда: $$-9 = a_1 - 0,5 \cdot 4$$, откуда $$a_1 = -7$$.

Получим:

$$a_3 \cdot a_8 = (-7 - 0,5 \cdot 2)(-7 - 0,5 \cdot 7) = -8 \cdot (-10,5) = 84$$.

Выберите один из вариантов

Количество всех натуральных двузначных чисел, кратных $$8$$, равно:

$$a_1 = 16$$, $$a_n = 96$$, $$d = 8$$.

По формуле $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$:

$$96 = 16 + 18(n - 1)$$, откуда $$n = 11$$.

Выберите один из вариантов

Если первый член арифметической прогрессии равен $$-3$$, ее пятый член равен $$-2$$, а сумма всех членов равна $$–15,75$$, то число членов этой прогрессии равно:

  1. По формуле $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$:

    $$-2 = -3 + 4d$$, откуда $$d = 0,25$$.

  2. По формуле $$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$$:

    $$-15,75 = \frac{-6 + 0,25(n - 1)}{2} \cdot n$$,

    $$-31,5 = -6n + 0,25n^2 - 0,25n$$,

    $$0,25n^2 - 6,25n + 31,5 = 0$$,

    $$n^2 - 25n + 126 = 0$$,

    откуда $$D = 121$$, $$n_1 = 7$$, $$n_2 = 18$$.

Выберите один из вариантов

Если первый член геометрической прогрессии равен $$8$$, а ее шестой член равен $$256$$, то сумма пяти первых членов этой прогрессии равна:

  1. По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

    $$256 = 8 \cdot q^5$$, откуда $$q = 2$$.

  2. По формуле $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$:

    $$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - 2^5)}{1 - 2} = -8 \cdot (-31) = 248$$.

Выберите один из вариантов

Если первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $$4$$, а ее четвертый член равен $$\frac{27}{16}$$, то сумма этой прогрессии равна:

  1. По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

    $$\frac{27}{16} = 4q^3$$, откуда $$q = \frac{3}{4}$$.

  2. По формуле $$S = \frac{b_1}{1 - q}$$:

    $$S = \frac{4}{1 - \frac{3}{4}} = 4 \cdot 4 = 16$$.

Выберите один из вариантов

Если известны члены геометрической прогрессии $$b_6 = 5\sqrt{2} - 1$$ и $$b_8 = 5\sqrt{2} + 1$$, то ее седьмой член равен:

По свойству $$n$$-го члена:

$$b_7 = \sqrt{b_6 \cdot b_8}$$,

$$b_7 = \sqrt{\left(5\sqrt{2} - 1\right) \cdot \left(5\sqrt{2} + 1\right)} = \sqrt{50 - 1} = 7$$.

Введите ответ в поле

Корень уравнения $$\sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{2} + ... + 32 = \frac{2x}{2 - \sqrt{2}}$$ равен:

  1. Имеем геометрическую прогрессию:

    $$b_1 = \sqrt{2}$$, $$q = \sqrt{2}$$, $$S_n = \frac{2x}{2 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2} - 1}$$, $$ $$.

  2. По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

    $$32 = \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2}\right)^{n - 1}$$, $$\left(\sqrt{2}\right)^{10} = \left(\sqrt{2}\right)^n$$, откуда $$n = 10$$.

  3. По формуле $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$:

    $$\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 - \left(\sqrt{2}\right)^{10}\right)}{1 - \sqrt{2}}$$, откуда $$x = \left(\sqrt{2}\right)^{10} - 1 = 31$$.

Введите ответ в поле

Три числа, сумма которых равна $$9$$, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Если третье число увеличить на $$4$$, то получим три последовательных члена геометрической прогрессии, произведение которых будет равно:

  1. Арифметическая прогрессия:

    $$a_1 = x - d$$, $$a_2 = x$$, $$a_3 = x + d$$.

    Тогда: $$x - d + x + x + d = 9$$, откуда, $$x = 3$$.

    Следовательно, $$a_1 = 3 - d$$, $$a_2 = 3$$ и $$a_3 = 3 + d$$.

  2. Геометрическая прогрессия:

    $$b_1 = 3 - d$$, $$b_2 = 3$$, $$b_3 = 7 + d$$.

  3. По свойству $$b_2^2 = b_1b_3$$ получим:

    $$(3 - d)(7 + d) = 9$$,

    $$d^2 + 4d - 12 = 0$$,

    откуда $$d_1 = -6$$, а $$d_2 = 2 >0$$ (посторонний корень).

  4. Тогда, $$b_1b_2b_3 = 9 \cdot 3 \cdot 1 = 27$$.

Введите ответ в поле

Ели сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна $$4$$, а сумма квадратов ее членов равна $$8$$, то увеличенная в $$13$$ раз сумма кубов всех ее членов будет равна:

  1. Первая геометрическая прогрессия:

    $$b_1$$, $$b_1q$$, $$b_1q^2$$, $$...$$; $$\frac{b_1}{1 - q} = 4$$.

  2. Вторая геометрическая прогрессия:

    $$b_1^2$$, $$b_1^2q^2$$, $$b_1^2q^4$$, $$...$$; $$\frac{b_1^2}{1 - q^2} = 8$$.

  3. Третья геометрическая прогрессия:

    $$b_1^3$$, $$b_1^3q^3$$, $$b_1^3q^6$$, $$...$$; $$\frac{b_1^3}{1 - q^3} = x$$.

  4. $$\frac{b_1^2}{1 - q^2} : \frac{b_1}{1 - q} = 8 : 4$$; $$\frac{b_1}{1 + q} = 2$$.

  5. $$\frac{b_1}{1 - q} : \frac{b_1}{1 + q} = 4 : 2$$;

    $$\frac{1 + q}{1 - q} = 2$$, откуда $$q = \frac{1}{3}$$.

    Тогда, $$b_1 = 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3}$$.

  6. $$13x = \frac{13 \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^3}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{13 \cdot 512}{27 - 1} = 256$$.

Введите ответ в поле