Загрузка

Числовые последовательности

Если второй член числовой последовательности равен $$-2$$, а ее $$n$$-й член задан формулой $$b_n = b_{n - 1} \cdot (n + 1)$$, то первый ее член равен:

$$b_2 = b_1 \cdot (2 + 1)$$,

$$-2 = b_1 \cdot 3$$,

$$b_1 = -\frac{2}{3}$$.

Выберите один из вариантов

Если второй член арифметической прогрессии равен $$17$$, а ее пятый член равен $$23$$, то сумма первых десяти членов этой прогрессии равна:

  1. Формула $$n$$-го члена:

    $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$.

    Решим систему уравнений:

    $$\left\{\begin{array}{l} a_1 + d = 17,\\a_1 + 4d = 23.\end{array}\right.$$

    Вычитая уравнения, получим:

    $$3d = 6$$, откуда $$d = 2$$.

    Тогда, $$a_1 = 17 - 2 = 15$$.

  2. По формуле $$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$$:

    $$S_{10} = \frac{2 \cdot 15 + 9 \cdot 2}{2} \cdot 10 = 240$$.

Выберите один из вариантов

Сумма всех натуральных двузначных чисел, при делении которых на $$6$$ в остатке получаем $$5$$, равна:

  1. $$a_1 = 11$$, $$a_n = 95$$, $$d = 6$$.

  2. По формуле $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$:

    $$95 = 11 + 6(n - 1)$$, откуда $$n = 15$$.

  3. По формуле $$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$$:

    $$S_{15} = \frac{2 \cdot 11 + 6 \cdot 14}{2} \cdot 15 = 795$$.

Выберите один из вариантов

Если первый член геометрической прогрессии равен $$-5$$, ее знаменатель равен $$-\frac{1}{3}$$, то значение выражения $$b_3 + b_6$$ равно:

По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

$$b_3 = -5 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = -\frac{5}{9}$$,

$$b_6 = -5 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{5}{243}$$.

Тогда, $$-\frac{5}{9} + \frac{5}{243} = \frac{-135 + 5}{243} = -\frac{130}{243}$$.

Выберите один из вариантов

Если первый член геометрической прогрессии равен $$2,5$$, а ее знаменатель равен $$0,5$$, то сумма этой прогрессии равна:

$$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{2,5}{1 - 0,5} = 5$$.

Выберите один из вариантов

Если второй член бесконечной убывающей геометрической прогрессии равен $$1$$, а сумма первых трех ее членов равна $$5,25$$, то знаменатель этой прогрессии равен:

  1. По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

    $$1 = b_1q$$, откуда $$b_1 = \frac{1}{q}$$.

  2. По формуле $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$:

    $$\frac{21}{4} = \frac{b_1(1 - q^3)}{1 - q}$$, $$\frac{21}{4} = b_1(1 + q + q^2)$$,

    $$\frac{21}{4} = \frac{(1 + q + q^2)}{q}$$,

    $$4q^2 - 17q + 4 = 0$$,

    откуда $$D = 225$$, $$q_1 = 0,25$$, $$q_2 = 4 > 1$$ (посторонний корень).

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$6 + 9 + 12 + ... + 93$$ равно:

  1. Имеем арифметическую прогрессию:

    $$a_1 = 6$$, $$d = 3$$, $$a_n = 93$$.

  2. По формуле $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$:

    $$93 = 6 + 3(n - 1)$$, откуда $$n = 30$$.

  3. По формуле $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$:

    $$S_{30} = \frac{6 + 93}{2} \cdot 30 = 1485$$.

Введите ответ в поле

Если первый круг арены цирковая лошадь пробегает со скоростью $$135$$ м/мин, а каждый следующий круг пробегает в $$1,5$$ раза медленнее, чем предыдущий, то четвертый круг она пробежит со скоростью (м/мин), равной:

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 135$$, $$q = \frac{2}{3}$$, $$n = 4$$.

По формуле $$b_n = b_1q^{n - 1}$$:

$$b_4 = 135 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 40$$.

Введите ответ в поле

Три числа, сумма которых равна $$79$$, образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если к этим числам прибавить соответственно $$25$$, $$27$$ и $$13$$, то получим первые три члена арифметической прогрессии, четвертый член которой равен:

  1. Арифметическая прогрессия:

    $$a_1 = x - d$$, $$a_2 = x$$, $$a_3 = x + d$$.

  2. Геометрическая прогрессия:

    $$b_1 = x - d - 25$$, $$b_2 = x - 27$$, $$b_3 = x + d - 13$$.

    Тогда: $$x - d - 25 + x - 27 + x + d - 13 = 79$$, откуда $$x = 48$$.

    Следовательно, $$b_1 = 23 - d$$, $$b_2 = 21$$, $$b_3 = 35 + d$$.

    По свойству $$b_2^2 = b_1b_3$$ получим:

    $$(23 - d)(35 = d) = 441$$,

    $$d^2 + 12d - 364 = 0$$,

    откуда $$D = 1600$$, $$d_1 = -26$$ (посторонний корень), а $$d_2 = 14 > 0$$.

  3. $$a_4 = a_3 + d = (48 + 14) + 14 = 76$$.

Введите ответ в поле

Если второй член геометрической прогрессии больше ее четвертого члена на $$18$$, но меньше ее пятого члена на $$54$$, то первый член этой прогресс равен:

Решим систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{l} b_2 - b_4 = 18,\\b_5 - b_2 = 54;\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} b_1q - b_1q^3 = 18,\\b_1q^4 - b_1q = 54;\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} b_1q(1 - q^2) = 18,\\b_1q(q^3 - 1) = 54.\end{array}\right.$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{q^3 - 1}{q^2 - 1} = -3$$, $$\frac{(q - 1)(q^2 + q + 1)}{(q - 1)(q + 1)} = -3$$,

$$\frac{q^2 + q + 1}{q + 1} = -3$$, $$q^2 + 4q + 4 = 0$$, $$(q + 2)^2 = 0$$, $$q = -2$$.

Тогда, $$b_1(-2)(1 - 4) = 18$$, откуда $$b_1 = 3$$.

Введите ответ в поле