Репетиционное тестирование
Четырехугольник, один из углов которого прямой, вписан в окружность радиуса $$\sqrt{2}$$. Если диагонали четырехугольника равны и пересекаются под углом $$30^{\circ}$$, то его площадь равна:
Имеем прямоугольник $$ABCD$$ (рис. 1).
$$AC=BD=2R=2\sqrt{2}$$. По формуле $$S=\frac{1}{2}{d}^{2} sin\alpha$$ получим: $$S =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=2 $$.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{3x^{2}-6x+49}=1-2x$$ равно:
$$ОДЗ$$: $$1-2x\geq 0$$, откуда $$x \leq 0,5$$.
$$3x^{2}-6x+49=(1-2x)^{2}$$, $$3x^{2}-6x+49=1-4x+4x^{2}$$, $$x^{2}+2x-48=0$$, откуда $$x_{1}=-8$$, а $$x_{2}=6 \notin ОДЗ$$.Если числа $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – корни уравнения $$5x^{2}-4x-3=0$$, то значение выражения $$\frac{2x_{1}x_{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}}$$ равно:
Так как $$D=16+60=76>0$$, то
$$x_{1}+x_{2}=\frac{4}{5}$$, а $$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{5}$$. Тогда, $$\frac{2x_{1}x_{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}}=-\frac{6}{5}\cdot \frac{25}{16}=-1,875$$.Если объем правильного тетраэдра равен $$128\sqrt{6}$$, то квадрат радиуса сферы, описанной около тетраэдра, равен:
На рисунке $$16$$ изображен правильный тетраэдр с ребром $$a$$.
- Так как $$AO=R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$, то $$h=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$.
- По формуле $$V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$$ получим: $$\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=128\sqrt{6}$$, $$a^{3}=12\cdot 128\sqrt{3}$$, $$a^{3}=2^{9}\cdot (\sqrt{3})^{3}$$, $$a=8\sqrt{3}$$. Тогда, $$h=8\sqrt{3}$$, $$R=8$$.
- Точка $$P$$ – центр сферы, описанной около тетраэдра. Так как $$R_{c}^{2}=R^{2}+(h-R_{c}^{2})$$, то $$R_{c}^{2}=R^{2}+h^{2}-2hR_{c}+R_{c}^{2}$$, $$2hR_{c}=R^{2}+h^{2}$$, $$R_{c}=\frac{R^{2}+h^{2}}{2h}$$, $$R_{c}=\frac{64+128}{16\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}$$, $$R_{c}^{2}=72$$.
Сумма ординат упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\begin{cases}2xy+x=3+y,\\(x-y)^{2}+15=4x^{2}y^{2},\end{cases}$$ равна:
Пусть $$x-y=a $$, а $$xy=b$$.
Решим систему уравнений: $$\begin{cases}a+2b=3, \\a^{2}-4b^{2}=-15;\end{cases}$$ $$\begin{cases}a+2b=3, \\(a-2b)(a+2b)=-15;\end{cases}$$ $$\begin{cases}a+2b=3, \\a-2b=-5;\end{cases}$$ $$\begin{cases}a+2b=3, \\2a=-2;\end{cases}$$ $$\begin{cases}b=2, \\a=-1.\end{cases}$$ Получим: $$x-y=-1$$, а $$xy=2$$. Так как $$y=x+1$$, то $$x^{2}+x-2=0$$, откуда $$x_{1}=-2$$, $$x_{2}=1$$. Следовательно, $$y_{1}=-1$$, $$y_{2}=2$$. Тогда, $$y_{1}+y_{2}=1$$.Если $$k$$ – количество корней уравнения $$\left | \frac{2x}{x+1} \right |=\left | \frac{x}{x-1} \right |$$, а $$s$$ – их суммма, то значение $$ks$$ равно:
- $$ОДЗ$$: $$x\neq \pm 1$$.
- $$\left (\frac{2x}{x+1} \right )^{2}=\left (\frac{x}{x-1} \right )^{2}$$, $$\left ( \frac{2x}{x+1}-\frac{x}{x-1} \right )\left ( \frac{2x}{x+1}+\frac{x}{x-1} \right )=0$$, $$x^{2} \cdot \frac{x-3}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{3x-1}{(x+1)(x-1)}=0 $$, откуда $$x_{1}=0$$, $$x_{2}=3$$, $$x_{3}=\frac{1}{3}$$.
- Так как $$k=3$$, а $$s=\frac{10}{3}$$, то $$ks=10$$.
Середина промежутка, который обрахуют все решения неравенства
$$4\cdot 3^{2x}-13\cdot 6^{x} +9\cdot 4^{x}\leq 0$$, равна:$$\frac{4\cdot 3^{2x}}{4^{x}}-\frac{13\cdot 6^{x}}{4^{x}}+\frac{9\cdot 4^{x}}{4^{x}}\leq0$$,
$$4\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} -13\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}+9\leq 0$$. Нули функции $$f(x)=4\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}-13\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}+9$$: $$D=169-144=25$$, $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=\frac{13-5}{8}=1$$, откуда $$x=0$$, $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=\frac{13+5}{8}=\frac{9}{4}$$, откуда $$x=2$$. Решение неравенства (рис. 11): $$\left [ 0;2 \right ]$$. Середина промежутка: $$(0+2):2=1$$.
Наименьшее значение функции $$y=x^{2}-2x+3$$ на отрезке $$[0;2]$$ равно:
Найдем координаты вершины параболы:
$$x_{0}=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1$$, $$y_{0}=1-2+3=2$$. Из рисунка 2 видим, что $$y=2$$.
Если $$\frac{5^{x}+5^{-x}}{25^{x}-25^{-x}}=\frac{2}{3}$$, то выражения $$5^{x}$$ (или произведение значений, если оно не единственное) равно:
$$\frac{5^{x}+5^{-x}}{(5^{x}-5^{-x})(5^{x}+5^{-x})}=\frac{2}{3}$$, $$\frac{1}{5^{x}-5^{-x}}=\frac{2}{3}$$,
$$2\cdot 5^{x}-\frac{2}{5^{x}}=3$$, $$2\cdot 5^{2x}-3\cdot 5^{x}-2=0$$, откуда $$D=9+16=25$$, $$5^{x_{1}}=\frac{3-5}{4}=-0,5$$ (посторонний корень), $$5^{x_{2}}=\frac{3+5}{4}=2$$.В результате решения пропорции $$\frac{144}{13,2}=\frac{-2x}{1\frac{5}{9}-2\frac{1}{3}:{(\frac{2}{3}})^{2}}$$ получим:
$$\frac{72}{13,2}=\frac{-x}{\frac{14}{9}-\frac{7}{3}\cdot \frac{9}{4}}$$,
$$\frac{72\cdot 10}{132}=\frac{-x}{\frac{-132}{36}}$$, $$\frac{72\cdot 10}{132}=\frac{36x}{132}$$, $$x=20$$.Если $$p$$ – степень многочлена $$-2{x}^{2}(3+1,5{x}^{2})-(6-3{x}^{3})(x+1) $$, а $$k$$ – количество одночленов, входящих в его состав, то сумма чисел $$p$$ и $$k$$ равна:
Если к $$4$$ кг $$45$$ % раствора соли к воде добавить $$500$$ г пресной воды, то концентрация раствора уменьшится на:
- Первый раствор: $$\frac{4 \cdot 45}{100} = 1,8$$ (кг) – соли; $$4-1,8=2,2$$ (кг) – воды.
- Второй раствор: $$4+0,5=4,5$$ (кг) – масса расвора; $$\frac{1,8}{4,5} \cdot 100 = 40$$ (%) – соли.
- $$45-40=5$$ (%).
Наименьшее целое решение неравенства $$log_{x}(x^{2}-16)>log_{x}(x+4)$$ равно:
- ОДЗ: $$\begin{cases}x > 0,x\neq 1, \\ x^{2}-16>0, \Leftrightarrow x>4 . \\ x-4>0;\end{cases}$$ Преобразуем неравенство: $$log_{x}(x^{2}-16)-log_{x}(x+4)>0$$, $$log_{x}\frac{(x^{2}-16)}{x+4}>0$$.
- Рассмотрим функцию $$f(x)=log_{x}\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}$$. Найдем нули функции: $$\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=1$$, $$(x-4)(x+4)-(x+4)=0$$, $$(x+4)(x-5)=0$$, откуда $$x_{1}=-4, x_{2}=5$$.
- Решение неравенства (рис. 12): $$(5;+\infty)$$.
- Наименьшее целое решение: $$6$$.
В результате упрощения выражения $$2^{log_4(7-4\sqrt3)}-3^{log_27\left | \sqrt3-2 \right |^{3}}$$ получим:
$$A=2^{log_4(2-\sqrt3)^2}-3^{log_{27}\left | \sqrt3-2 \right |^{3}}$$,
$$A=2^{log_2\left | 2-\sqrt{3}-2 \right |}-3^{log_3\left | \sqrt{3}-2 \right |}$$,
$$A=\left | 2-\sqrt{3} \right |-\left | \sqrt{3}-2 \right |$$,
Сумма длин промежутков, которые образуют все решения неравенства $$4x^{2}+15\left | x \right | \geq 4$$ на отрезке $$\left [ -5;5 \right ]$$, равна:
- Запишем неравенство в виде: $$4\left | x \right | ^{2} + 15\left | x \right | -4 \geq 0$$
- Нули функции $$f(x)=4\left | x \right | ^2 +15\left | x \right | -4$$: $$D=225+64=289$$; $$\left | x_{1} \right | =\frac{-15-17}{8}=-4$$, откуда $$x \in \varnothing $$; $$\left | x_{1} \right | =\frac{-15+17}{8}=\frac{1}{4}$$, откуда $$x = \pm 0,25$$.
- Решаем неравенство на промежутке $$\left [ -5;5 \right ]$$ (рис. 4): $$\left [ -5;-0,25 \right ] \cup \left [ 0,25;5 \right ]$$.
- $$\left ( -0,25+5 \right ) +\left ( 5-0,25 \right )=9,5$$.
Монотонно убывают на всей области определения функции:
1) $$2x+4y=5$$;
2) $$y=5x^{2}-3$$;
3) $$y=\pi ^{x}$$;
4) $$y=-2sin 0,1x$$;
5) $$y=\log_{0,2}(x+9)$$.
-
Представим функцию $$2x+4y=5$$ в виде $$y=-0,5x+1,25$$.
Так как $$k=-0,5$$, то линейная функция монотонно убывает. - Функция $$y=5x^{2}-3$$ не монотонная.
- Показательная функция $$y=\pi ^{x}$$ монотонно возрастает, так как $$\pi>1$$.
- Функция $$y=-2sin0,1x$$ не монотонная.
- Логарифмическая функция $$y=log_{0,2}(x+9)$$ монотонно убывает, так как $$0,2<1$$.
В результате упрощения выражения $$\frac{5}{\sqrt{5}}:\frac{\sqrt{5}-2}{2+\sqrt{5}}-\frac{9\sqrt{250}}{5\sqrt{2}}$$ получим:
$$A=\sqrt{5}\cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}-\frac{9\cdot 5\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{5\sqrt{2}}$$,
$$A=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+2)^2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}-9\sqrt{5}$$,
$$A=\frac{\sqrt{5}(5+4\sqrt{5}+4)}{5-4}-9\sqrt{5}$$,
Произведение трех последовательных членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равно $$8$$. Если меньший ее член уменьшить на $$2\frac{2}{3}$$, то получим арифметическую прогрессию, больший член которой равен:
- Геометрическая прогрессия: $$b_{1}$$; $$b_{1}q$$; $$b_{1}q^{2}$$. Тогда, $$b_{1}\cdot b_{1}q\cdot b_{1}q^{2}=8$$, $$(b_{1}q)^{3}=2^{3}$$, $$b_{1}q=2$$, $$b_{1}=\frac{2}{q}$$. Получим: $$\frac{2}{q}$$; $$2$$; $$2q$$.
- Арифметическая прогрессия: $$\frac{2}{q}$$; $$2$$; $$2q-\frac{8}{3}$$. По свойству $$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$ получим: $$\frac{2}{q}+2q=\frac{8}{3}=4$$, $$\frac{1}{q}+q=\frac{10}{3}=0$$, $$3q^{2}-10q+3=0$$, откуда $$D=64$$, $$q_{1}=\frac{1}{3}$$, $$q_{2}=3$$ (посторонний корень).
- Получим: $$a_{1}=6$$; $$a_{2}=2$$; $$a_{3}=-2$$.
Основание прямой призмы – треугольник со сторонами $$5$$, $$\sqrt{19,5}$$ и $$5$$. Через медиану треугольника, проведенную к его боковой стороне, параллельно высоте призмы проведено сечение. Если площадь большей боковой грани призмы равна $$30$$, то площадь сечения равна:
На рисунке $$14$$:
$$AB=AC=5$$, $$BC=\sqrt{19,5}$$, $$NKB_{1}B$$ – сечение.- Так как $$S_{AA_{1}C_{1}C}=30$$, то $$NK=30:5=6$$.
- На рисунке $$15$$: $$CDAB$$ – параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма: $$DB^{2}+AC^{2}=2CB^{2}+2AB^{2}$$, $$4x^{2}+25=39+50$$, откуда $$x=4=BN$$.
- $$S_{NKB_{1}B}=NK\cdot NB=6\cdot 4=24$$.
Число, обратное корню уравнения $$\frac{2^{3x}\cdot 18^{x}}{3^{2x}}=\frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt{2^{4x}}}$$, равно:
$$\frac{4^{x}\cdot 18^{x}}{9^{x}}=\frac{\sqrt[4]{8}}{4^{x}}$$,
$$\left ( \frac{8\cdot 18\cdot 4}{9}\right )^{x}=\sqrt[4]{8}$$,
$$8^{2x}=8^{\frac{1}{4}}$$, откуда $$x=\frac{1}{8}$$.
Тогда, $$x^{-1}=8$$.Если сумма всех внутренних углов правильного $$n$$-угольника равна $$540^{\circ}$$, то внешний угол при его вершине равен:
-
По формуле $$S_{n}=180^{\circ}(n-2)$$ получим:
$$540^{\circ}=180^{\circ}(n-2)$$, откуда $$n=5$$. -
Найдем внутренний угол пятиугольника:
$$540^{\circ}:5=108^{\circ}$$. -
Найдем внешний угол пятиугольника:
$$180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$$.
Количество целых решений неравенства $$(4-x^{2})^{2}+(2x-4)^{3} \geq 0$$ равно:
Сумма модулей всех целых решений неравенства $$\sqrt{3x^{2}+5x-2}\cdot \sqrt[3]{x^{2}-4}\leq 0$$ равна:
ОДЗ: $$3x^{2}+5x-2\geq 0$$, откуда
$$x \in \left( -\infty;-2 \right ] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty\right )$$ (рис. 6).
Если диагонали равнобокой трапеции пересекаются под прямым углом, а ее средняя линия равна $$18$$, то площадь трапеции равна:
Имеем трапецию $$ABCD$$ (рис. 13):
$$AD=a$$, $$BC=b$$, $$a+b=36$$. На продолжении стороны $$AD$$ отложим отрезок $$DK=b$$. Так как $$\triangle CPK$$ равнобедренный, то $$h=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}\cdot 36=18$$. Тогда, $$S_{ABCD}=S_{ACK}=\frac{1}{2}AK\cdot h$$,
Среднее арифмитическое корней уравнения $$2cos^{2}x+sin(1,5\pi -x)=1$$, принадлежащих промежутку $$(-\pi ;2\pi]$$, равно:
Преобразуем уравнение:
$$2cos^{2}x-cosx-1=0$$. Тогда: $$D=1+8=9$$, $$cosx=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$ или $$cosx=\frac{1+3}{4}=1$$. Решим уравнения: 1) $$cosx=-\frac{1}{2}$$, $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$, где $$n\in Z$$; 2) $$cosx=1$$, $$x=2\pi m$$, где $$m \in Z$$. Отбор корней: если $$n=0$$, то $$x=\pm \frac{2\pi}{3}$$; если $$n=1$$, то $$x=\frac{4\pi}{3}$$; если $$m=0$$, то $$x=0$$; если $$m=1$$, то $$x=2\pi$$. Тогда, $$\left ( \frac{2\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+0+2\pi \right ) :5=\frac{2\pi}{3}=120^{\circ}$$.Если сумма $$НОК$$ и $$НОД$$ чисел $$60$$, $$90$$ и $$150$$ составляет $$310$$ % некоторого числа, то это число равно:
- Разложим числа на простые множители: $$60={2}^{2}\cdot 3\cdot 5$$; $$90=2\cdot {3}^{2}\cdot {5}$$; $$150=2\cdot 3\cdot {5}^{2}$$ .
- $$НОД(60;90;150)=2\cdot 3\cdot 5=30$$ .
- $$НОК(60;90;150)=150\cdot 2\cdot 3=900$$ .
- $$30+900=930$$ .
- $$\frac{930\cdot 100}{310}=300$$.
Значение выражения $$-8sin\left ( 1,5\pi +2arccos\left ( -0,25\sqrt{15} \right ) \right )$$ равно:
$$A=-8\left ( 1,5\pi+2\left ( \pi - arccos\frac{\sqrt{15}}{4} \right ) \right )$$,
$$A=-8\left ( 1,5\pi - 2arccos\frac{\sqrt{15}}{4} \right )$$,
Наименьшее целое число из промежутка возрастания функции $$y=\left | 5-x^{2}+4|x| \right |$$ равно:
- Построим параболу $$y=x^{2}-4x-5$$ (1) (рис. 8). Координаты вершины: $$x_{0}=\frac{-b}{2a} =2$$, $$y_{0}=4-8-5=-9$$. Нули функции: $$x_{1}=-1, x_{2}=5$$.
- Построим график функции $$y=|x|^{2}-4|x|-5$$ (2): часть графика (1), расположенного правее оси $$Oy$$, оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. 9).
- Построим график функции $$y=\left | |x|^{2}-4|x|-5 \right |$$ (3): часть графика (2), расположенного над осью $$Ox$$, оставляем, а ту, что под осью, отражаем симметрично этой оси (рис. 10).
- Функция (3) возрастает на промежутках: $$\left ( -5;-2 \right )\cup \left ( 0;2 \right )\cup \left ( 5;+\infty \right )$$. Наименьшее целое число равно $$-4$$.
Среднее арифметическое всех неотрицательных целых чисел, которые не принадлежат области определения функции $$y=\sqrt[4]{\frac{x^{2}-5x+4}{2x-8}}$$, равно:
$$\frac{x^{2}-5x+4}{2x-8}\geq 0$$, $$\frac{(x-1)(x-4)}{2(x-4)}\geq 0$$,
$$x \in \left [ 1;4 \right ) \cup \left ( 4;+\infty \right )$$ (рис. 5).
Если $$log_{b}2=c$$, то значение выражения $$log_{4}b^{c+1}\cdot log_{2b}4$$ равно:
$$A=\frac{1}{2}log_{2}(b^{c}b)\cdot 2log_{2b}2$$,
$$A=\frac{log_{2}b^{c}+log_{2}b}{log_{2}2b}$$,
$$A=\frac{clog_{2}(b^{c}b)+log_{2}b}{log_{2}2+log_{2}b}$$,
$$A=\frac{c\cdot \frac{1}{c}+\frac{1}{c}}{1+\frac{1}{c}}=1$$.