Планиметрия КТ 1
Если угол $$DBC$$ в три раза меньше смежного с ним угла $$ABD$$, то градусная мера угла $$DBA$$ равна:
Пусть $$\angle DBC = x^{\circ}$$, тогда $$\angle DBA = 3x^{\circ}$$.
Получим $$x+3x=180$$, откуда $$x=45^{\circ}$$.
Если периметр квадрата равен $$24$$ см, то его площадь, уменьшенная на $$75$$ %, равна:
- Так как $$4a=24$$, то $$a=6$$ см.
- $$S=a^2=36$$ (см$$^2$$). Тогда, $$36\cdot0,25=9$$ (см$$^2$$).
Если один из углов равнобедренной трапеции с меньшим основанием $$1$$ равен $$60^{\circ}$$, а её диагональ является биссектрисой острого угла, то периметр трапеции равен:
- На рисунке $$5$$: $$\angle BAC=\angle CAD = 30^{\circ}$$,
а $$\angle CAD=\angle ACB$$ как внутренние накрест лежащие.
Следовательно, $$BC=AB=1$$.
- На рисунке $$6$$: $$AP=\frac{1}{2}AB=0,5$$.
Следовательно, $$AD=0,5+1+0,5=2$$.
- $$P=2+1+1+1=5$$.
Синус большего угла треугольника, стороны которого равны $$2$$ см, $$3$$ см и $$\sqrt{13}$$ см, равен:
По теореме косинусов (рис. 9):
$$AB^2=CA^2+CB^2-2CA\cdot CB\cdot \cos \alpha$$,
$$13=9+4-12\cos \alpha$$,
$$\cos \alpha = 0$$, откуда $$\alpha = 90^{\circ}$$.
Тогда, $$\sin 90^{\circ}=1$$.
Если на рисунке $$2$$ прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны и $$ \angle 1 = 75^{\circ}$$, а $$ \angle 4 = 110^{\circ}$$, то сумма углов 2 и 3 равна:
- Углы 1 и 2 смежные (рис. 2).
Следовательно, $$\angle2=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$$.
-
Углы 3 и 4 смежные.
Следовательно, $$\angle3=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$$.
- Тогда, $$\angle2+\angle3=175^{\circ}$$.
В прямоугольную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки $$1$$ и $$4$$. Если средняя линия трапеции равна разности длин ее оснований, то диаметр окружности равен:
- По свойству четырехугольника, описанного около окружности:
$$AB+DC=BC+AD$$ (рис. $$11$$).
Следовательно, $$AB+DC=d+5$$ и $$a+b=d+5$$.
- Так как $$\frac{a+b}{2}=b-a$$, то $$b-a=\frac{d+5}{2}$$.
- $$d^2+\frac{(d+5)^2}{4}=25$$, $$d^2+2d-15=0$$, откуда $$d=3$$.
Биссектриса угла треугольника, образованного его сторонами, длины которых соответственно равны $$6$$ и $$12$$, пересекает его третью сторону в точке $$A$$. Если через эту точку параллельно данным сторонам провести прямые, то периметр полученного четырехугольника будет равен:
На рисунке $$10$$:
$$BC=6$$, $$BD=12$$, $$CA=a$$, $$AL=x$$, $$AM=y$$.
- По свойству биссектрисы треугольника:
$$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}$$, откуда $$\frac{6}{a}=\frac{12}{AD}$$, $$AD=2a$$.
- Так как $$\Delta BCD \sim \Delta LCA$$, то $$\frac{BC}{LC}=\frac{CD}{CA}=\frac{BD}{LA}$$,
откуда $$\frac{6}{6-y}=\frac{3a}{a}=\frac{12}{x} $$.
Следовательно, $$x=4$$ и $$y=4$$.
- $$P_{BLAM}=2\cdot(4+4)=16$$.
Вписанный и центральный углы окружности радиуса $$5$$ опираются на одну и ту же дугу $$AB$$. Если вписанный угол равен $$60^{\circ}$$, то длина дуги $$AB$$ равна:
Так как $$\angle AKB=60^{\circ}$$ (рис. $$3$$), то $$\angle AOB=120^{\circ}$$.
По формуле $$l=\frac{2\pi r}{360^{\circ}}\cdot n^{\circ}$$ получим:
$$l=\frac{2\pi \cdot 5}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{10\pi}{3} $$.
Если около прямоугольного треугольника, косинус острого угла которого равен $$\frac{5}{13}$$, описана окружность радиуса $$6,5$$, то радиус вписанной в этот треугольник окружности равен:
- Так как $$R=\frac{c}{2}$$, то $$с=2\cdot6,5=13$$ (рис. 4).
Рис. 4 - По формуле $$\cos \alpha = \frac{a}{c}$$ получим: $$\frac{5}{13}=\frac{a}{13}$$, откуда $$a=5$$.
- Из теоремы Пифагора: $$b=\sqrt{169-25}=12$$.
- По формуле $$r=\frac{a+b-c}{2}$$ получим: $$r=\frac{5+12-13}{2}=2$$.
Если стороны треугольника равны $$2\sqrt{3}$$ и $$5$$, а угол, лежащий напротив большей из них, равен $$60^{\circ}$$, то косинус угла, лежащего напротив другой стороны, равен:
- По теореме синусов (рис. 8):
$$\frac{5}{sin 60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{sin \alpha }$$, $$\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{sin \alpha }$$, $$\sin \alpha = 0,6$$.
- $$\cos \alpha = \sqrt{1-0,36}=0,8$$.