Загрузка

Планиметрия

Если угол $$DBC$$ в три раза меньше смежного с ним угла $$ABD$$, то градусная мера угла $$DBA$$ равна:


Пусть $$\angle DBC = x^{\circ}$$, тогда $$\angle DBA = 3x^{\circ}$$.

Получим $$x+3x=180$$, откуда $$x=45^{\circ}$$.

Рис. 1

Выберите один из вариантов

Если на рисунке $$2$$ прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны и $$ \angle 1 = 75^{\circ}$$, а $$ \angle 4 = 110^{\circ}$$, то сумма углов 2 и 3 равна:

Рис. 2

  1. Углы 1 и 2 смежные (рис. 2).

    Следовательно, $$\angle2=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$$.

  2. Углы 3 и 4 смежные.

    Следовательно, $$\angle3=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$$.

  3. Тогда, $$\angle2+\angle3=175^{\circ}$$.
Рис. 2

Выберите один из вариантов

Если периметр квадрата равен $$24$$ см, то его площадь, уменьшенная на $$75$$ %, равна:

  1. Так как $$4a=24$$, то $$a=6$$ см.
  2. $$S=a^2=36$$ (см$$^2$$). Тогда, $$36\cdot0,25=9$$ (см$$^2$$).

Выберите один из вариантов

Вписанный и центральный углы окружности радиуса $$5$$ опираются на одну и ту же дугу $$AB$$. Если вписанный угол равен $$60^{\circ}$$, то длина дуги $$AB$$ равна:

Так как $$\angle AKB=60^{\circ}$$ (рис. $$3$$), то $$\angle AOB=120^{\circ}$$.

По формуле $$l=\frac{2\pi r}{360^{\circ}}\cdot n^{\circ}$$ получим:

$$l=\frac{2\pi \cdot 5}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{10\pi}{3} $$.

Рис. 3

Выберите один из вариантов

Если около прямоугольного треугольника, косинус острого угла которого равен $$\frac{5}{13}$$, описана окружность радиуса $$6,5$$, то радиус вписанной в этот треугольник окружности равен:

  1. Так как $$R=\frac{c}{2}$$, то $$с=2\cdot6,5=13$$ (рис. 4).
    Рис. 4
  2. По формуле $$\cos \alpha = \frac{a}{c}$$ получим: $$\frac{5}{13}=\frac{a}{13}$$, откуда $$a=5$$.
  3. Из теоремы Пифагора: $$b=\sqrt{169-25}=12$$.
  4. По формуле $$r=\frac{a+b-c}{2}$$ получим: $$r=\frac{5+12-13}{2}=2$$.

Выберите один из вариантов

Если один из углов равнобедренной трапеции с меньшим основанием $$1$$ равен $$60^{\circ}$$, а её диагональ является биссектрисой острого угла, то периметр трапеции равен:

  1. На рисунке $$5$$: $$\angle BAC=\angle CAD = 30^{\circ}$$, а $$\angle CAD=\angle ACB$$ как внутренние накрест лежащие.

    Следовательно, $$BC=AB=1$$.

  2. На рисунке $$6$$: $$AP=\frac{1}{2}AB=0,5$$.

    Следовательно, $$AD=0,5+1+0,5=2$$.

  3. $$P=2+1+1+1=5$$.
Рис. 5
Рис. 6
Выберите один из вариантов

Если стороны треугольника равны $$2\sqrt{3}$$ и $$5$$, а угол, лежащий напротив большей из них, равен $$60^{\circ}$$, то косинус угла, лежащего напротив другой стороны, равен:

  1. По теореме синусов (рис. 8):

    $$\frac{5}{sin 60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{sin \alpha }$$, $$\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{sin \alpha }$$, $$\sin \alpha = 0,6$$.

  2. $$\cos \alpha = \sqrt{1-0,36}=0,8$$.
Рис. 8

Введите ответ в поле

Синус большего угла треугольника, стороны которого равны $$2$$ см, $$3$$ см и $$\sqrt{13}$$ см, равен:

По теореме косинусов (рис. 9):

$$AB^2=CA^2+CB^2-2CA\cdot CB\cdot \cos \alpha$$,

$$13=9+4-12\cos \alpha$$,

$$\cos \alpha = 0$$, откуда $$\alpha = 90^{\circ}$$.

Тогда, $$\sin 90^{\circ}=1$$.

Рис. 9

Введите ответ в поле

Биссектриса угла треугольника, образованного его сторонами, длины которых соответственно равны $$6$$ и $$12$$, пересекает его третью сторону в точке $$A$$. Если через эту точку параллельно данным сторонам провести прямые, то периметр полученного четырехугольника будет равен:

На рисунке $$10$$:

$$BC=6$$, $$BD=12$$, $$CA=a$$, $$AL=x$$, $$AM=y$$.

Рис. 10

  1. По свойству биссектрисы треугольника:

    $$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}$$, откуда $$\frac{6}{a}=\frac{12}{AD}$$, $$AD=2a$$.

  2. Так как $$\Delta BCD \sim \Delta LCA$$, то $$\frac{BC}{LC}=\frac{CD}{CA}=\frac{BD}{LA}$$,

    откуда $$\frac{6}{6-y}=\frac{3a}{a}=\frac{12}{x} $$.

    Следовательно, $$x=4$$ и $$y=4$$.

  3. $$P_{BLAM}=2\cdot(4+4)=16$$.

Введите ответ в поле

В прямоугольную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки $$1$$ и $$4$$. Если средняя линия трапеции равна разности длин ее оснований, то диаметр окружности равен:

  1. По свойству четырехугольника, описанного около окружности:

    $$AB+DC=BC+AD$$ (рис. $$11$$).

    Следовательно, $$AB+DC=d+5$$ и $$a+b=d+5$$.

  2. Так как $$\frac{a+b}{2}=b-a$$, то $$b-a=\frac{d+5}{2}$$.
  3. $$d^2+\frac{(d+5)^2}{4}=25$$, $$d^2+2d-15=0$$, откуда $$d=3$$.
Рис. 11

Введите ответ в поле