Загрузка

Планиметрия

Сумма градусных мер тупых углов, изображенных на рисунке $$1$$, равна:

Рис. 1

$$\angle AOD = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$ (рис. $$1$$).
$$\angle KOD = 180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$$.
$$\angle KOE = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$$.
$$135^{\circ}+105^{\circ}+150^{\circ}=390^{\circ}$$.

Рис. 1
Выберите один из вариантов

Если периметр правильного треугольника равен $$15$$, то площадь этого треугольника равна:

  1. По формуле $$P=3a$$ получим:

    $$15=3a$$, откуда $$a=5$$.

  2. По формуле $$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$ получим:

    $$S=\frac{\sqrt{3}\cdot 25}{4}=6,25\sqrt{3}$$.

Выберите один из вариантов

Если один из углов равнобедренного треугольника в $$2$$ раза меньше другого, то угол при вершине этого треугольника равен:

Случай 1. Пусть $$\angle B = x^{\circ}$$ (рис. $$2$$). Тогда, $$\angle A = \angle C = 2x^{\circ}$$.

Так как $$x+2x+2x=180^{\circ}$$, то $$x=36^{\circ}$$.

Случай 2. Пусть $$\angle B=2x^{\circ}$$ (рис. 3). Тогда, $$\angle A= \angle C = x^{\circ}$$.

Так как $$2x+x+x=180^{\circ}$$, то $$2x=90^{\circ}$$.

Рис. 2
Рис. 3
Выберите один из вариантов

Если диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол $$30^{\circ}$$, а площадь прямоугольника равна $$4\sqrt{3}$$ м$$^2$$, то диагональ имеет длину:

  1. Так как $$b=\frac{d}{2}$$ (рис. 4), то по теореме Пифагора:

    $$d^2=a^{2}+\frac{d^2}{4}$$, откуда $$a=\frac{\sqrt{3}d}{2}$$.

    Рис. 4
  2. По формуле $$S=a \cdot b$$ получим:

    $$\frac{\sqrt{3}d}{2} \cdot \frac{d}{2}=4\sqrt{3}$$, откуда $$d=4$$ м.

Выберите один из вариантов

Если вписанный в окружность угол $$ACB$$, одна из сторон которого проходит через диаметр окружности, равный $$4\sqrt{3}$$, равен $$30^{\circ}$$, то площадь сегмента, отсекаемого от круга хордой $$AB$$, равна:

  1. Так как $$\angle ACB = 30^{\circ}$$ (рис. $$5$$), то $$\angle AOB=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$$.
    Рис. 5
  2. Так как $$CB=4\sqrt{3}$$, то $$R=2\sqrt{3}$$.
  3. Площадь сектора $$AOB$$:

    $$S_1=\frac{\pi R^{2}\cdot n^{\circ}}{360^{\circ}}$$, $$S_1=\frac{\pi \cdot 12 \cdot 60^{\circ}}{360^{\circ}}= 2\pi$$.

  4. Площадь треугольников $$AOB$$:

    $$S_2=\frac{\sqrt{3}\cdot R^2}{4}$$, $$S_2=\frac{\sqrt{3}\cdot 12}{4}= 3\sqrt{3}$$.

  5. Площадь сегмента $$AOB$$: $$S_1 - S_2 = 2\pi - 3\sqrt{3}$$.

Выберите один из вариантов

Прямоугольник вписан в окружность, длина которой равна $$\sqrt{28} \pi$$. Если диагонали прямоугольника пересекаются под углом $$60^{\circ}$$, то его площадь равна:

  1. По формуле $$l=2\pi r$$ получим:

    $$\sqrt{28} \pi = 2 \pi R$$, откуда $$R = \sqrt{7}$$.

    Тогда, $$d=2R=2\sqrt{7}$$ (рис. $$6$$).

  2. По формуле $$S=\frac{1}{2}d^{2}sin \varphi$$ получим:

    $$S=\frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= 7\sqrt{3}$$.

Рис. 6

Выберите один из вариантов

Если внешний угол при вершине правильного $$n$$-угольника равен $$60^{\circ}$$, то градусная мера суммы его внутренних углов равна:

  1. Внутренний угол правильного треугольника:

    $$\alpha = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$$.

  2. По формуле $$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=\beta$$ получим:

    $$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=120^{\circ}$$, $$3n-6=2n$$, $$n=6$$.

  3. $$120^{\circ} \cdot 6 = 720^{\circ}$$.

Введите ответ в поле

Площади двух подобных треугольников относятся как $$4 : 25$$. Если разность их сходственных медиан равна $$18$$, то сумма длин этих медиан равна:

Пусть $$m_1=x$$, а $$m_2=x+18$$.

Так как $$\frac{S_1}{S_2}= \frac{m_1^{2}}{m_2^{2}}$$, то $$\frac{4}{25}=\frac{x^2}{(x+18)^2}$$, $$\frac{2}{5}=\frac{x}{x+18}$$, откуда $$x=12$$.

Тогда, $$m_1 + m_2 =12 + 30=42$$.

Введите ответ в поле

Если медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника длины $$\sqrt{34}$$, равна $$3$$, то основание треугольника равно:

На рисунке $$7$$ четырехугольник $$ACDB$$ – параллелограмм.

По свойству диагоналей параллелограмма:

$$AD^{2} + CB^{2}= 2AC^{2}+2AB^{2}$$,

$$36+34=68+2x^2$$, откуда $$x=1$$.

Рис. 7
Введите ответ в поле

Если окружности радиусов $$1$$ и $$3$$ внешним образом касаются одна другой, то их общие внешняя и внутренняя касательные пересекаются под углом, градусная мера которого равна:

На рисунке $$8$$:

$$CO=CK=3$$, $$BO=BP=BL=1$$, $$AP=x$$.

  1. Так как $$\triangle AKC \sim \triangle ALB$$, то:

    $$\frac{KC}{LB}=\frac{AC}{AB}$$, $$\frac{3}{1}=\frac{x+5}{x+1}$$, откуда $$x=1$$.

  2. Рассмотрим треугольник $$ALB$$:

    $$\sin \angle A = \frac{LB}{AB}=\frac{1}{2}$$, откуда $$\angle A = 30^{\circ}$$.

  3. Рассмотрим треугольник $$AOD$$: $$\angle ADO = 60^{\circ}$$.
Рис. 8
Введите ответ в поле