Загрузка

Планиметрия

Градусная мера угла $$DOB$$ (рис. $$1$$), равна:

Рис. 1

  1. $$\angle AOC = 180^{\circ}-45^{\circ}-85^{\circ}=50^{\circ}$$.
  2. $$\angle DOB = \angle AOC = 50^{\circ}$$ (вертикальные углы).
Рис. 1

Выберите один из вариантов

Если площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна $$1$$ см$$^2$$, то гипотенуза этого треугольника равна:

  1. По формуле $$S=\frac{ab}{2}$$ получим:

    $$1=\frac{a^2}{2}$$, откуда $$a=\sqrt{2}$$ см и $$b=\sqrt{2}$$ см.

  2. По формуле $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ получим:

    $$c=\sqrt{2+2}=2$$ (см.)

Выберите один из вариантов

Если катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$, равен $$4$$, то второй катет этого треугольника равен:

  1. Так как $$\angle B = 30^{\circ}$$ (рис. $$2$$), то $$AB=4 \cdot 2 = 8$$.
  2. Из теоремы Пифагора: $$CB=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$$.
Рис. 2

Выберите один из вариантов

Если смежные стороны параллелограмма соответственно равны $$6$$ дм и $$70$$ см, а один из его углов равен $$135^{\circ}$$, то площадь параллелограмма равна:

По формуле $$S=ab \cdot \sin \alpha$$ получим:

$$S=6 \cdot 7 \cdot \sin 135^{\circ} = 42 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\sqrt{2}$$ (дм$$^2$$).

Выберите один из вариантов

Через точку $$K$$, лежащую внутри круга, проведены хорды $$AB$$ и $$CD$$. Если $$AB=8$$, $$DK=1$$, $$KC=8$$, то длина меньшего из отрезков, на которые точка $$K$$ делит хорду $$AB$$, равна:

Пусть $$KB=x$$, тогда $$KA=8-x$$ (рис. $$3$$).

По свойству пересекающихся хорд: $$KB \cdot KA = KD \cdot KC$$,

откуда $$x \cdot (8-x) = 1 \cdot 8$$, $$x^{2} -8x + 8 = 0$$, $$x_{1,2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$$.

Меньший из отрезков равен $$4-2\sqrt{2}$$.

Рис. 3
Выберите один из вариантов

Площадь круга, вписанного в ромб, равна $$\pi ^2$$. Если площадь ромба равна $$2\pi$$, то его периметр равен:

  1. По формуле $$S=\pi r^2$$ получим: $$\pi ^2 = \pi r^2$$, $$r=\sqrt{\pi}$$.

    Тогда, $$h=2r=2\sqrt{\pi}$$ (рис. $$4$$).

  2. По формуле $$S=ah$$ получим: $$2\pi = a \cdot 2 \sqrt{\pi}$$, $$a=\sqrt{\pi}$$.
  3. $$P=4a=4\sqrt{\pi}$$.
Рис. 4

Выберите один из вариантов

Если внешний угол при вершине правильного $$n$$-угольника в $$3$$ раза меньше смежного с ним угла, то число диагоналей этого $$n$$-угольника, проведенных из одной из его вершин, равно:

  1. Пусть внешний угол равен $$x^{\circ}$$, а внутренний угол равен $$3x^{\circ}$$.

    Тогда, $$x+3x=180$$, откуда $$x=45^{\circ}$$, а $$3x=135^{\circ}$$.

  2. $$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=135^{\circ}$$, $$20n-40=15n$$, $$n=8$$.
  3. Число диагоналей: $$n-3=5$$.

Введите ответ в поле

Сумма квадратов медиан треугольника со сторонами $$10$$, $$10$$ и $$12$$ равна:

  1. Из теоремы Пифагора (рис. $$5$$):

    $$CO^{2}=100-36=64$$.

  2. Достроим треугольник $$ACB$$ до параллелограмма (рис. $$6$$).

    По свойству диагоналей параллелограмма:

    $$AD^{2}+CB^{2}=2AC^{2}+2AB^{2}$$,

    $$4x^{2}+100=200+288$$, откуда $$x^{2}=97$$.

  3. Сумма квадратов медиан: $$64+97+97=258$$.
Рис. 5
Рис. 6

Введите ответ в поле

На стороне $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ взята точка $$K$$ так, что она делит сторону $$AD$$ в отношении $$2 : 3$$, считая от точки $$A$$. Через точку $$K$$ параллельно $$BD$$ проведена прямая, пересекающая сторону $$AB$$ в точке $$P$$. Через точки $$K$$ и $$P$$ параллельно сторонам параллелограмма проведены прямые $$KE$$ и $$PE$$. Если площадь четырехугольника $$APEK$$ равна $$4$$, то площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна:

  1. Так как $$APEK$$ - параллелограмм (рис. $$7$$), то $$S_{APK} = 4:2=2$$.
  2. Так как $$\triangle APK \sim \triangle ABD$$, то $$\frac{S_{APK}}{S_{ABD}}=\frac{4k^2}{25k^2}$$.

    Тогда, $$\frac{2}{S_{ABD}}=\frac{4}{25}$$, откуда $$S_{ABD}=12,5$$.

  3. $$S_{ABCD}=2S_{ABD}=25$$.
Рис. 7

Введите ответ в поле

Две окружности, касающиеся внешне, вписаны в угол, градусная мера которого равна $$60^{\circ}$$. Если длина меньшей касательной равна $$2\sqrt{3}$$, то радиус большей окружности равен:

  1. Так как $$AC$$ – биссектриса угла $$DAP$$ (рис. $$8$$), то $$\angle DAC = 30^{\circ}$$.

    Тогда, $$tg 30^{\circ}=\frac{LB}{AL}$$, откуда $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{LB}{2\sqrt{3}}$$, $$LB=2$$.

  2. По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{12+4}=4$$.

    Тогда, $$AC=4+2+x=6+x$$.

  3. Так как $$\triangle ADC \sim \triangle ALB$$, то:

    $$\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{LB}$$, $$\frac{6+x}{4}=\frac{x}{2}$$, откуда $$x=6$$.

Рис. 8

Введите ответ в поле