Загрузка

Планиметрия

Если на рисунке 1 прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны и $$\angle 1=30^{\circ}$$, то угол 4 равен:

Рис. 1

  1. Углы 1 и 3 внутренние односторонние (рис. 1).

    Следовательно, $$\angle 3 = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$$.

  2. Углы 3 и 4 вертикальные.

    Следовательно, $$\angle 4 = \angle 3 = 150^{\circ}$$.

Рис. 1

Выберите один из вариантов

Если высота, проведенная к стороне треугольника, имеющей длину $$12$$ см, равна $$8$$ см, то высота, проведенная к стороне длиной $$10$$ см, равна:

По формуле $$S=\frac{ah}{2}$$ получим:

$$\frac{12 \cdot 8}{2}=\frac{10 \cdot h}{2}$$, откуда $$h=9,6$$ см.

Выберите один из вариантов

Если длина окружности равна $$3,14$$, то площадь круга, ограниченного этой окружностью, равна:

  1. По формуле $$C=2\pi r$$ получим:

    $$3,14=2\pi r$$, откуда $$r=\frac{3,14}{2\pi}$$.

  2. По формуле $$S=\pi r^2$$ получим:

    $$S=\frac{\pi(3,14)^{2}}{4\pi^2}=\frac{1,57^2}{\pi}=1,57^{2}\pi^{-1}$$.

Выберите один из вариантов

К окружности радиуса $$1$$ см проведены три касательные так, что в результате их пересечения образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой $$50$$ мм. Сумма длин катетов этого треугольника равна:

  1. Так как $$AKOT$$ – квадрат (рис. 2), то $$AT=AK=1$$ см.
  2. Пусть $$BK=BP=x$$ см, тогда $$CT=CP=5-x$$ (см).
  3. По теореме Пифагора:

    $$25=(1+x)^2+(6-x)^2$$, $$x^2-5x+6=0$$, откуда $$x_1=2$$, $$x_2=3$$.

  4. Длины катетов: $$3$$ см и $$4$$ см.

Сумма длин катетов: 7 см.

Рис. 2
Выберите один из вариантов

Если одна из диагоналей ромба равна его стороне, а площадь ромба равна $$1,5\sqrt{3}$$, то полупериметр ромба равен:

  1. По свойству диагоналей ромба: $$d_1^2 + d_2^2=4a^2$$.

    Так как $$d_1=a$$, то $$d_2^2=4a^2-a^2$$, откуда $$d_2=\sqrt{3}a$$.

  2. По формуле $$S=\frac{1}{2}d_1 d_2$$ получим:

    $$1,5\sqrt{3}=\frac{a \cdot \sqrt{3}a}{2}$$, откуда $$a=\sqrt{3}$$.

  3. $$p=2a=2\sqrt{3}$$.
Выберите один из вариантов

Если углы треугольника относятся как $$1 : 2 : 3$$, то стороны этого треугольника относятся как:

  1. Пусть $$\angle A = x^{\circ}$$, $$\angle B=2x^{\circ}$$, $$\angle C=3x^{\circ}$$ (рис. 3).

    Тогда: $$x+2x+3x=180$$, откуда $$x=30$$.

  2. Рис. 3
  3. По теореме синусов:

    $$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=k$$,

    $$\frac{a}{0,5}=\frac{b}{0,5\sqrt{3}}=\frac{c}{1}=k$$, откуда

    $$a=0,5k$$, $$b=0,5\sqrt{3}k$$, $$c=k$$.

  4. Стороны относятся как $$1:\sqrt{3}:2$$.
Выберите один из вариантов

Если диагонали трапеции, соответственно равные $$2\sqrt{5}$$ и $$3\sqrt{5}$$, пересекаются под прямым углом, то площадь трапеции равна:

По формуле $$S=\frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin 90^{\circ}$$ получим:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} \cdot 1 = 15$$.

Введите ответ в поле

Если углы $$A$$, $$B$$ и $$C$$ вписанного в окружность четырехугольника $$ABCD$$ относятся как $$2 : 1 : 3$$, то больший угол четырехугольника (в градусах) равен:

По свойству четырехугольника, вписанного в окружность (рис. 4):

$$\angle A + \angle C =180^{\circ}$$ и $$\angle B + \angle D =180^{\circ}$$.

Тогда: $$2k+3k=180^{\circ}$$, $$k=36^{\circ}$$.

Получим углы:

$$\angle A=72^{\circ}$$, $$\angle B=36^{\circ}$$, $$\angle C=108^{\circ}$$, $$\angle D=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$$.

Рис. 4
Введите ответ в поле

Если большая сторона равнобедренного треугольника равна 6, а один из его углов равен $$120^{\circ}$$, то сумма квадратов длин двух других его сторон равна:

По теореме косинусов (рис. 5):

$$AB^2=CA^2+CB^2-2CA\cdot CB \cdot \cos 120^{\circ}$$;

$$36=x^2+x^2-2x\cdot x \cdot (-0,5)$$;

$$x^2=12; 2x^2=24$$.

Рис. 5
Введите ответ в поле

Если хорда внешней концентрической окружности, касающаяся внутренней окружности, равна $$2\sqrt{5}$$, то площадь кругового кольца равна:

  1. По теореме Пифагора (рис. 6) $$OP^2+AP^2=OA^2$$.

    Тогда, $$r^2+\frac{1}{\pi}=R^2$$, откуда $$R^2-r^2=\frac{1}{\pi}$$.

  2. Площадь кольца:

    $$S=\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2-r^2)=\pi \cdot \frac{1}{\pi}=1$$.

Рис. 6
Введите ответ в поле