Загрузка

Арифметические вычисления и преобразования

В результате вычисления выражения $$25\cdot 0,1\cdot (-30)-25\cdot 0,01\cdot 10+25\cdot 2,5$$ получим:

  1. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, необходимо сложить их модули и перед результатом поставить общий знак этих чисел.
  2. Чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо из большего модуля числа вычесть меньший и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.
  3. Чтобы умножить (разделить) два числа с одинаковыми знаками, необходимо умножить (разделить) модули этих чисел. В результате всегда будем получать положительное число.
  4. Чтобы умножить (разделить) два числа с противоположными знаками, необходимо умножить (разделить) модули этих чисел и перед результатом поставить знак минус. В результате всегда будем получать отрицательное число.
  5. Чтобы умножить десятичные дроби, необходимо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа столько цифр, сколько их содержится в обоих множителях вместе.

Вынесем число $$25$$ за скобку и выполним действия в скобке:
$$25\cdot (0,1\cdot (-30)-0,01\cdot 10+2,5)=25\cdot (-3-0,1+2,5)=$$
$$=25\cdot (-3,1+2,5)=-25\cdot (3,1-2,5)=-25\cdot 0,6=-15.$$

  1. Модулем (абсолютной величиной) числа $$a$$ называется число $$a$$, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если $$a$$ отрицательное:
    $$\left | a \right |=a$$, если $$a\geq 0$$ и $$\left | a \right |=-a$$, если $$a< 0$$.
  2. Найти значение данного выражения можно иначе:
    $$25\cdot 0,1\cdot (-30)-25\cdot 0,01\cdot 10+25\cdot 2,5=$$

    $$=-75-2,5+62,5=$$$$-77,5+62,5=-15$$.

Выберите один из вариантов

Если $$\frac{3}{a}=\frac{5}{6}, \frac{-3}{5}=\frac{b}{2}, \frac{c-1}{0,1}=\frac{-4}{9}, \frac{8}{-2}=\frac{5,5}{2+d}$$, то наименьшее из чисел $$a, b, c$$ и $$d$$ равно:

  1. Частное от деления одного числа на другое называется их отношением.
    Два равных отношения образуют пропорцию:
    $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$,

    где $$a$$ и $$d$$ - крайние, $$b$$ и $$c$$ – средние члены пропорции.

  2. Произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов:
    $$bc=ad$$.
  3. Правила нахождения неизвестных членов пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$:
    $$a=\frac{bc}{d}$$, $$b=\frac{ad}{c}$$, $$c=\frac{ad}{b}$$, $$d=\frac{bc}{a}$$.

Решим пропорции:

  1. $$a=\frac{3\cdot 6}{5}=\frac{18}{5}$$;
  2. $$b=\frac{-3\cdot 2}{5}=-\frac{6}{5}=-1\frac{1}{5}$$;
  3. $$c-1=\frac{-4\cdot 0,1}{9}=-\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{10}=-\frac{2}{9\cdot 5}=-\frac{2}{45}$$,

    откуда $$c=-\frac{2}{45}+1=-\frac{2}{45}+\frac{45}{45}=\frac{43}{45}$$;

  4. $$2+d=\frac{-2\cdot 5,5}{8}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{55}{10}=-\frac{11}{4\cdot 2}=-\frac{11}{8}$$,

    откуда $$d=-1\frac{3}{8}-2=-3\frac{3}{8}$$.

Поскольку всякое положительное число больше всякого отрицательного, то рассмотрим только отрицательные числа

$$-1\frac{1}{5}$$ и $$-3\frac{3}{8}$$.

Так как $$\left | -1\frac{1}{5} \right | = 1\frac{1}{5}$$,

а $$\left | -3\frac{3}{8} \right | = 3\frac{3}{8}$$ и $$3\frac{3}{8}>1\frac{1}{5}$$,

то $$-3\frac{3}{8}<-1\frac{1}{5}$$.

Следовательно, наименьшее из $$a, b, c$$ и $$d$$ равно $$-3\frac{3}{8}$$

или $$-3 \frac{3\cdot 125}{8\cdot 125} =-3\frac{375}{1000}=-3,375$$.

Из двух отрицательных чисел меньше то число, модуль которого (его абсолютная величина) больше.

Выберите один из вариантов

Если результат вычисления выражения $$\left (18\frac{3}{4}-17\frac{2}{3}-\frac{5}{6}: 2,5 \right )\cdot 0,(6)$$ равен некоторому числу, то$$\frac{2}{5}$$ этого числа равны:

  1. Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на дробь.
  2. Чтобы обратить бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную, необходимо к числу, записанному до периода прибавить обыкновенную дробь, в числитель которой записать число, входящее в период, а в знаменатель записать цифру $$9$$ столько раз, сколько цифр содержит период, и дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Представим периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
$$0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$.

Выполним действия:

  1. $$18\frac{3}{4}-17\frac{2}{3}=1\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{7}{4}-\frac{2}{3}=\frac{7\cdot 3-2\cdot 4}{12}=\frac{13}{12}$$;
  2. $$\frac{5}{6}: \frac{25}{10}=\frac{5\cdot 10}{6\cdot 25}=\frac{1}{3}$$;
  3. $$\frac{13}{12}-\frac{1}{3}=\frac{13-1\cdot 4}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$;
  4. $$\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$.

Найдем $$\frac{2}{5}$$ числа $$\frac{1}{2}$$. Получим: $$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=0,2$$.

Любую обыкновенную дробь можно обратить в равную ей десятичную дробь делением числителя на ее знаменатель. Возможны следующие случаи:

  1. если в знаменателе несократимой дроби не имеется других простых делителей, кроме чисел $$2$$ и $$5$$, то частное выразится конечной десятичной дробью:

    $$\frac{23}{8}=2,875;$$

  2. если в знаменателе несократимой дроби имеются другие простые делители, кроме чисел $$2$$ и $$5$$, то остатки будут бесконечно повторяться и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. При этом группа повторяющихся цифр образует период. Период принято записывать в круглых скобках:

    $$\frac{8}{15}=0,5333...=0,5(3)$$.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$\frac{(-0,5)^{-3}\cdot (-1)^{11}-1,5^{2}\cdot (-2)^{2}}{(1\frac{2}{3})^{2}+(-\frac{3}{5})^{-2}}$$, уменьшенное в $$1,5$$ раза, равно:

Свойства степеней:

$$\left (\frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}};$$

$$\left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^{n}$$.

  1. По свойствам степеней получим:

    $$\frac{(\frac{-1}{2})^{-3}\cdot (-1)^{11}-(\frac{3}{2})^{2}\cdot (-2)^{2}}{(\frac{5}{3})^{2}+(-\frac{5}{3})^{2}}$$$$= \frac{(-2)^{3}\cdot (-1)-\frac{9}{4}\cdot 4}{\frac{25}{9}+\frac{25}{9}}=$$

    $$ = \frac{(-8)\cdot (-1)-9}{\frac{50}{9}}=\frac{8-9}{\frac{50}{9}}=-\frac{9}{50}.$$

  2. Уменьшим значение выражения в $$1,5$$ раза:
    $$-\frac{9}{50}: \frac{3}{2}=-\frac{9\cdot 2}{50\cdot 3}=-\frac{3\cdot 2}{50}=-\frac{6\cdot 2}{50\cdot 2}=-\frac{12}{100}=-0,12$$.

В результате возведения отрицательного числа в четную степень всегда получаем положительное число, а в нечетную степень – отрицательное:

$$(-a)^{2n}=a^{2n};$$

$$(-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}$$,

где $$n$$ – натуральное число.

Выберите один из вариантов

$$20$$% от значения выражения $$\frac{-14^{-1}\cdot (-3)^{2}\cdot 63^{-1}} {-42^{-2}\cdot (-1)^{-20} }$$ равны:

  1. Определение степени:

    $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};$$

  2. Свойство степеней:

    $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$$

  3. Процентом числа $$a$$ называют одну сотую часть этого числа:

    $$1$$% от числа $$a$$ равен $$0,01a$$.

  4. Нахождение процентов от данного числа:

    $$p%$$ от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100}\cdot p.$$

  1. По определению и свойствам степеней запишем:

    $$\frac{14^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 63^{-1}}{42^{-2}\cdot 1^{-20}} =\frac{ 42^{2}\cdot 3^{2}\cdot 1^{20}}{63^{1}\cdot 14^{1}}=$$

    $$=\frac{42^{2}\cdot 9}{63\cdot 14}=\frac{7^{2}\cdot 6^{2}}{7\cdot 14}=\frac{7\cdot 6^{2}}{14}=\frac{6^{2}}{2}=18$$.

  2. Найдем $$20$$% от полученного числа:

    $$\frac{18\cdot 20}{100}=\frac{18\cdot 2}{10}=3,6$$.

$$20$$% можно записать как $$0,2$$ и найти $$0,2$$ от числа $$18$$, так:

$$18\cdot 0,2=3,6$$.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$-\frac{\sqrt{24}\cdot \sqrt{12}-3\sqrt{50}}{\sqrt{32}}$$, увеличенное на $$20$$%, равно:

  1. Свойство корней:

    $$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$.

  2. Нахождение процентов от данного числа:

    $$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100}\cdot p.$$

  1. Согласно свойствам корней получим:
    $$-\frac{\sqrt{6\cdot 4}\cdot \sqrt{3\cdot 4}-3\sqrt{25\cdot 2}}{\sqrt{16\cdot 2}}=-\frac{2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{3}-3\cdot 5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=$$
    $$=-\frac{4\sqrt{3\cdot 2\cdot 3}-15\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=-\frac{12\sqrt{2}-15\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=-\frac{-3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{3}{4}$$.
  2. Так как искомое число составляет $$120$$% от числа $$\frac{3}{4}$$, то запишем:
    $$\frac{3}{4}:100\cdot 120=\frac{3\cdot 120}{4\cdot 100 }=\frac{3\cdot 3}{10}=0,9$$.

$$120$$% можно записать как $$1,2$$ и найти $$1,2$$ от числа $$\frac{3}{4}$$, так:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{12}{10}=\frac{9}{10}=0,9$$.

Выберите один из вариантов

Если число $$120$$ составляет $$15$$% некоторого числа, то количество процентов, которые составляет это число от числа $$120$$, равно:

  1. Если $$p$$% некоторого числа равны $$a$$, то это число равно:

    $$\frac{a}{p}\cdot 100$$.

  2. Процентное отношение чисел $$a$$ и $$b$$ равно:

    $$\frac{a}{b}\cdot 100$$%.

  1. Найдем искомое число:
    $$\frac{120\cdot 100}{15}=\frac{40\cdot 100}{5}=\frac{8\cdot 100}{1}=800$$.
  2. Найдем число процентов, которые составляет число $$800$$ от числа $$120$$:
    $$\frac{800\cdot 100}{120}=\frac{80\cdot 100}{12}=\frac{20\cdot 100}{3}=\frac{2000}{3}=$$

    $$=666\frac{2}{3}=666,666...=666,(6)$$(%).

Процентные отношения чисел $$a$$ и $$b$$ и чисел $$b$$ и $$a$$ не равны.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$\frac{18}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$ равно:

  1. Формула разности квадратов:

    $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.

  2. Свойство степени:

    $$\left (\sqrt{a} \right )^{2}=a$$.

  1. Избавимся от иррациональностей в знаменателях дробей:

    1. $$\frac{18}{\sqrt{2}}=\frac{18\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{18\cdot \sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$
      (умножили числитель и знаменатель дроби на $$\sqrt{2}$$);
    2. $$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot (1-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{2}-2}{1^{2}-\left (\sqrt{2} \right )^{2}}=$$

      $$=\frac{\sqrt{2}-2}{1-2}=\frac{\sqrt{2}-2}{-1}=2-\sqrt{2}$$

      (умножили числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю);
    3. $$\frac{1}{ \sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{\left (\sqrt{2}-1 \right )\cdot \left (\sqrt{2}+1 \right )}=$$

      $$=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1$$

      (умножили числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю).

  2. Найдем значение данного выражения:
    $$9\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1)=9\sqrt{2}+2-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1=7\sqrt{2}+1$$.

Выражения $$a+b$$ и $$a-b$$ называют сопряженными.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$\left (\sqrt{11-6\sqrt{2}}-\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \right )^{6}$$ равно:

Формулы сокращенного умножения:

  1. квадрат суммы (разности):

    $$( a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$;

  2. куб суммы (разности):

    $$( a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$$.

Свойства степеней:

$$\sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right |;$$

$$\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} =a$$.

Правила раскрытия модуля:

если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

  1. Выделим квадрат разности под знаком корня второй степени:
    $$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{9+2-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^{2}}=$$

    $$=\left | 3-\sqrt{2} \right |=$$$$3-\sqrt{2}$$.

  2. Выделим куб разности под знаком корня третьей степени.
    Предположим, что $$7-5\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{3}$$.
    Проверим:

    $$(1-\sqrt{2})^{3}=1-3\cdot 1\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1\cdot 2-2\sqrt{2}=7-5\sqrt{2}$$.

    Тогда,  $$\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=\sqrt[3]{\left (1-\sqrt{2} \right )^{3}} =1-\sqrt{2}$$.
  3. Найдем значение данного выражения:
    $$(3-\sqrt{2}-1+\sqrt{2})^{6}=2^{6}=64$$.

Как правило, куб суммы или разности, а часто и квадрат суммы или разности выделить достаточно сложно. Наиболее простой путь – метод подбора.

Введите ответ в поле

В результате преобразования выражения $$\frac{\sqrt[4]{14^{3}\sqrt{54}+30^{3}\sqrt{128}}}{3\sqrt[3]{2}}$$ получим:

  1. Определение степеней:

    $$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$;

    $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$.

  2. Свойства степеней:

    $$\left (a^{n} \right )^{m}=a^{nm}$$;

    $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$;

    $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$.

  1. Упростим числитель дроби:

    $$\sqrt[4]{14\sqrt[3]{54}+30\sqrt[3]{128}} =\sqrt[4]{2\cdot 7\cdot \sqrt[3]{2\cdot 3^3}+2\cdot 3\cdot 5\cdot \sqrt[3]{2^{7}}}=$$
    $$=\sqrt[4]{2\cdot 7\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 3+2\cdot 3\cdot 5\cdot 2^{\frac{7}{3}}}=\sqrt[4]{2\cdot 3\cdot 2^{\frac{1}{3}}(7+5\cdot 4)}=$$
    $$=\sqrt[4]{2\cdot 3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 27}=\sqrt[4]{3^{4}\cdot 2^{\frac{4}{3}}}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{4}}=3\cdot 2^{\frac{1}{3}}=3\sqrt[3]{2}$$.

  2. Сократим дробь и получим: $$1$$.

Числа $$14$$, $$54$$, $$30$$ и $$128$$ мы разложили на простые множители:
$$14=7\cdot 2;$$

$$54=2\cdot 27=2\cdot 3^{3};$$

$$30=2\cdot 3\cdot 5;$$

$$128=2^{7}$$.

Введите ответ в поле