Загрузка

Планиметрия

Если на рисунке 1 прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны и $$\angle 1 =25^{\circ}$$, то сумма углов 3 и 4 равна:

Рис. 1
  1. Углы 1 и 5 вертикальные (рис. 1).

    Следовательно, $$\angle 5 = \angle 1 = 25^{\circ}$$.

  2. Углы 5 и 3 внутренние односторонние.

    Следовательно, $$\angle 3 = 180^{\circ}-25^{\circ}=155^{\circ}$$.

  3. Углы 3 и 4 вертикальные.

    Следовательно, $$\angle 4 = \angle 3 = 155^{\circ}$$.

  4. $$\angle 3 + \angle 4 = 310^{\circ}$$.
Рис. 1
Выберите один из вариантов

Если косинус одного из острых углов прямоугольного треугольника равен $$0,6$$, то тангенс другого острого угла этого треугольника равен:

  1. Так как $$\cos \alpha =0,6$$, то $$\sin \alpha = \sqrt{1-0,36}=0,8$$ (рис. 2).
  2. $$\cos \beta = \cos (90^{\circ}- \alpha) = \sin \alpha=0,8$$.
  3. По формуле $$1+tg^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$$ получим:

    $$1+tg^2 \beta = \frac{1}{0,64}$$, $$tg^2 \beta = \frac{25}{16}-1$$, $$tg \beta = \frac{3}{4}$$.

Рис. 2
Выберите один из вариантов

Если градусная мера дуги $$AB$$ равна $$40^{\circ}$$ и составляет $$\frac{1}{2}$$ часть дуги $$BC$$, то вписанный в окружность угол $$AKC$$ равен:

Случай 1 (рис. 3). $$\angle AOC = 40^{\circ} + 80^{\circ}=120^{\circ}$$.

Тогда, $$\angle AKC =\frac{1}{2} \cdot \angle AOC = 60^{\circ}$$.

Случай 2 (рис. 4). $$\angle AOC=40^{\circ}$$.

Тогда, $$\angle AKC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC =20^{\circ}$$.

Рис. 3
Рис. 4
Выберите один из вариантов

Если высота трапеции равна $$2$$ см и в полтора раза меньше ее средней линии, то площадь трапеции равна:

Так как $$h=2$$ см, а $$l=1,5 \cdot 2 = 3$$ (см),

то по формуле $$S=l \cdot h$$ получим:

$$S=3 \cdot 2 = 6$$ (см$$^2$$).

Выберите один из вариантов

В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Если сторона треугольника равна $$2\sqrt{6}$$, то площадь образовавшегося кольца равна:

  1. Радиус описанной окружности:

    $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$, $$R=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}$$.

    Площадь круга: $$S_1=\pi R^2=8\pi$$.

  2. Радиус вписанной окружности:

    $$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$, $$r=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\sqrt{2}$$.

    Площадь круга: $$S_2=\pi r^2 = 2\pi$$.

  3. Площадь кольца: $$S_1 - S_2 = 6\pi$$.
Выберите один из вариантов

Основание равнобедренного треугольника имеет длину $$6$$. Если медиана, проведенная к основанию, равна $$4$$, то медиана, проведенная к его боковой стороне, равна:

  1. Из теоремы Пифагора (рис. 5):

    $$CB=\sqrt{16+9}=5$$.

  2. Достроим треугольник $$ACB$$ до параллелограмма (рис. 6).

    По свойству диагоналей параллелограмма:

    $$AD^2+CB^2=2AC^2+2AB^2$$,

    $$4x^2+25=50+72$$, откуда $$x=0,5\sqrt{97}$$.

Рис. 5
Рис. 6
Выберите один из вариантов

Если тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, а прилежащий к этому углу катет равен $$2\sqrt{3}$$, то квадрат гипотенузы этого треугольника равен:

  1. Так как $$tg \alpha = \frac{CB}{CA}$$ (рис. 7), то $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CB}{2\sqrt{3}}$$, откуда $$CB=3$$.
  2. По теореме Пифагора: $$AB^2 = 9+12 = 21$$.
Рис. 7
Введите ответ в поле

В равнобедренном треугольнике через середину его высоты, проведенной к основанию, параллельно боковой стороне проведена прямая. Если боковая сторона треугольника равна $$8$$, то длина отрезка этой прямой, расположенного внутри треугольника, равна:

  1. Так как $$BK=OK$$ и $$MK=AB$$ (рис. 8), то $$MK$$ - средняя линия треугольника $$ABO$$. Следовательно, $$AM=MO=a$$. Тогда, $$OC=2a$$.
  2. Так как $$\triangle ABC \sim \triangle MLC$$, то $$\frac{AB}{ML}=\frac{AC}{MC}$$, откуда $$\frac{8}{ML}=\frac{4a}{3a}$$, $$ML=6$$.
Рис. 8
Введите ответ в поле

Сумма двух противолежащих сторон неправильного четырехугольника, описанного около окружности, равна $$5$$. Если радиус окружности составляет $$20$$ % от периметра этого четырехугольника, то площадь четырехугольника равна:

  1. По свойству четырехугольника, описанного около окружности:

    $$AB+CD=5$$ и $$AD+BC=5$$ (рис. 9).

    Тогда, $$P_{ABCD}=10$$.

  2. Рис. 9
  3. Радиус окружности: $$r=10:100 \cdot 20 = 2$$.
  4. Площадь четырехугольника:

    $$S=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}$$,

    $$S=\frac{AB\cdot r}{2}+\frac{BC\cdot r}{2}+\frac{CD\cdot r}{2}+\frac{DA\cdot r}{2}$$,

    $$S=\frac{r}{2} \cdot (AB+BC+CD+DA)$$,

    $$S=\frac{2}{2}\cdot 10=10$$.

Введите ответ в поле

Если разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна $$\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, то площадь правильного треугольника, вписанного в этот круг, равна:

  1. Площадь квадрата (рис. 10): $$S_1 = a^2 =4r^2$$.
  2. Площадь круга: $$S_2 = \pi r^2$$.
  3. Так как $$S_1-S_2=\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, то $$4r^2 - \pi r^2 = \frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, $$r^2 (4-\pi)=\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, откуда $$r=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}$$.
  4. Рис. 10
  5. По формуле $$r=\frac{b}{\sqrt{3}}$$ найдем сторону треугольника:

    $$\frac{2}{\sqrt[4]{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}$$, откуда $$b=2\sqrt[4]{3}$$.

  6. Площадь треугольника:

    $$S=\frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}{4}=3$$.

Введите ответ в поле