Загрузка

Стереометрия

Если $$r$$ - число ребер, $$v$$ - число вершин, а $$g$$ - число всех граней треугольной призмы, то значение выражения $$(r+v):g$$ равно:

Ребра призмы (рис. 1): $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, $$AB$$, $$BC$$, $$CA$$, $$A_1B_1$$, $$B_1C_1$$, $$C_1A_1$$.

Вершины призмы: $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$.

Грани призмы: $$ABC$$, $$A_1B_1C_1$$, $$AA_1B_1B$$, $$AA_1C_1C$$, $$BB_1C_1C$$.

Тогда, $$(r+v):g = (9+6):5 = 3$$.

Рис. 1
Выберите один из вариантов

Если все вершины прямоугольного параллелепипеда, измерения которого относятся как $$1 : 2 : 3$$, лежат на поверхности шара, а сумма длин всех его ребер равна $$48$$, то площадь большого сечения шара равна:

  1. Так как $$4\cdot (k+2k+3k)=48$$ (рис. 2), то $$k=2$$.

    Измерения параллелепипеда:

    $$a=k=2$$, $$b=2k=4$$, $$c=3k=6$$.

    Диагональ параллелепипеда:

    $$d=\sqrt{a^2 + b^2 +c^2}= \sqrt{4+16+36}= 2\sqrt{14}$$.

  2. Радиус шара: $$R=\frac{d}{2}=\sqrt{14}$$.

    Площадь большого сечения шара: $$S=\pi R^2 = 14 \pi$$.

Рис. 2
Выберите один из вариантов

Если в основании прямой призмы, объем которой равен $$144$$ см$$^{3}$$, лежит треугольник со сторонами $$1$$ дм, $$1$$ дм и $$1,6$$ дм, то площадь боковой поверхности призмы равна:

  1. По формуле $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$, найдем площадь основания призмы:

    $$S=\sqrt{18\cdot 8 \cdot 8 \cdot 2}=48$$ (см$$^2$$) (рис. 3).

  2. По формуле $$V=S_{осн.} \cdot h$$ получим:

    $$144=48 \cdot h$$, откуда $$h=3$$ см.

  3. По формуле $$S_{бок.}=P_{осн.} \cdot h$$ получим:

    $$S_{бок.} = 36 \cdot 3=108$$ (см$$^2$$).

Рис. 3
Выберите один из вариантов

Сечение цилиндра, радиус основания которого равен

0,3
дм, построенное параллельно его оси, удалено от центров оснований цилиндра на
1
см. Если площадь осевого сечения цилиндра равна
18
см
2
, то площадь построенного сечения цилиндра равна:

  1. Площадь осевого сечения цилиндра (рис. 4):

    $$S=2r \cdot l$$, $$18=6 \cdot l$$, откуда $$l=3$$ см.

  2. Из теоремы Пифагора:

    $$BN=\sqrt{OB^{2} - ON^{2}} = \sqrt{9 - 1} = 2\sqrt{2} (см)$$.

    Тогда $$BC=4\sqrt{2}$$ см.

  3. Площадь построенного сечения цилиндра:

    $$S=BC \cdot l=4\sqrt{2} \cdot 3=12\sqrt{2}$$ (см$$^2$$).

Рис. 4
Выберите один из вариантов

Если площадь сечения, проведенного под углом $$60^{\circ}$$ к радиусу шара, равна $$8\pi$$, то радиус шара равен:

  1. Так как $$S=\pi r^2$$, то $$8\pi = \pi r^2$$, откуда $$r = 2\sqrt{2}$$.
  2. Так как $$\angle B = 60^{\circ}$$ (рис. 5), то $$\angle O = 30^{\circ}$$.

    Тогда, $$R=2r=4\sqrt{2}$$.

Рис. 5
Выберите один из вариантов

В шар вписан цилиндр, высота которого в два раза больше радиуса его основания. Если объем цилиндра равен $$4\sqrt{2}\pi$$, то объем шара равен:

  1. Объем цилиндра (рис. 6):

    $$V=\pi r^2 \cdot 2r$$, $$4 \sqrt{2}\pi=2 \pi r^3$$, откуда $$r=\sqrt{2}$$.

  2. Радиус шара: $$R=\sqrt{r^2 + r^2}=\sqrt{2}r=2$$.
  3. Объем шара: $$V=\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{32\pi}{3}$$.
Рис. 6
Выберите один из вариантов

Смежные стороны основания прямого параллелепипеда соответственно равны $$2$$ и $$3$$ и образуют угол $$60^{\circ}$$. Если площадь диагонального сечения, содержащего его большую диагональ, равна $$\sqrt{304}$$, то площадь боковой поверхности параллелепипеда равна:

  1. Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$ (рис. 7).

    Так как $$\angle BAD=60^{\circ}$$, то $$\angle ADC = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}=\alpha$$.

    По теореме косинусов:

    $$AC^2 = DA^2 + DC^2 - 2DA \cdot DC \cdot \cos \alpha$$,

    $$AC^2 = 4+9+12 \cdot 0,5=19$$, откуда $$AC=\sqrt{19}$$.

  2. Так как $$S_{AA_{1}C_{1}C} = AC \cdot h$$, то $$\sqrt{304}= \sqrt{19} \cdot h$$, откуда $$h=4$$.
  3. Найдем боковую поверхность параллелепипеда:

    $$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot h$$, $$S_{бок.}=10 \cdot 4 = 40$$.

Рис. 7
Введите ответ в поле

В конус вписана полусфера так, что ее большой круг лежит на основании конуса. Если угол при вершине осевого сечения конуса равен $$\frac{\pi}{3}$$, то число процентов, которые составляет площадь поверхности полусферы от площади поверхности конуса, равно:

  1. Так как $$\angle ABC = 60^{\circ}$$, то $$\angle OBC = 30^{\circ}$$ (рис. 8).

    Тогда, $$BO=2R=h$$.

    В треугольнике $$OBC$$:

    $$\cos 30^{\circ}=\frac{BO}{BC}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2R}{BC}$$, откуда $$BC = \frac{4R}{\sqrt{3}} = l$$.

    Тогда, $$OC = \frac{2R}{\sqrt{3}} = r$$.

  2. Площадь поверхности полуcферы:

    $$S=2\pi R^2$$.

    Площадь поверхности конуса:

    $$S=\pi r^2 + \pi rl=\frac{4\pi R^2}{3} + \frac{8\pi R^2}{3} = 4\pi R^2$$.

    Тогда, $$\frac{2\pi R^2}{4\pi R^2} \cdot 100$$% $$= 50$$%.

Рис. 8
Введите ответ в поле

Сторона квадрата, вписанного в шар, равна $$3\sqrt{2}$$. Если расстояние от центра шара до центра квадрата равно $$4$$, то диаметр шара равен:

  1. Диагональ квадрата: $$d=\sqrt{18+18}=6$$.

    Радиус окружности, описанной около квадрата (рис. 9): $$r=\frac{d}{2}=3$$.

  2. По теореме Пифагора: $$R=\sqrt{r^2 + d^2}= \sqrt{9+16}=5$$.
  3. Диаметр шара: $$D=2R=10$$.
Рис. 9
Введите ответ в поле

Если основания правильной усеченной пирамиды – треугольники со сторонами $$3$$ и $$6$$, а высота пирамиды равна $$0,5\sqrt{141}$$, то боковая поверхность пирамиды равна:

Найдем радиусы окружностей, вписанных в основания пирамиды (рис. 10):

$$r_{1}=\frac{a_1}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=TP$$;

$$r_{2}=\frac{a_2}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=OD$$.

Рис. 10

Тогда, $$KD=OD-TP=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

По теореме Пифагора:

$$PD = \sqrt{h^{2}+KD^{2}}= \sqrt{\frac{141}{4}+\frac{3}{4}}=6$$.

Найдём боковую поверхность пирамиды:

$$S=3 \cdot \frac{a_{1}+a_{2}}{2} \cdot PD = 3 \cdot \frac{9}{2} \cdot 6 =81$$.

Введите ответ в поле