Четырехугольная пирамида (рис. 1) имеет $$8$$ ребер:

$$SA$$, $$SB$$, $$SC$$, $$SD$$, $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$DA$$.

Вершины пирамиды: $$S$$, $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$.

Боковые грани: $$SAB$$, $$SBC$$, $$SCD$$, $$SDA$$.

Тогда, $$5:4=1,25$$.

На рисунке 8: точка $$O$$ – центр шара, $$R$$ – радиус шара, грань $$AA_{1}C_{1}C$$ – квадрат.

По теореме Пифагора: $$x^2 + x^2 = 4R^2$$, $$x^2 = 2 \cdot 6$$, откуда $$x=2\sqrt{3}$$.

Так как $$\angle BAC = 30^{\circ}$$, то $$cos 30^{\circ} = \frac{AB}{x}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{2\sqrt{3}}$$, откуда $$AB=3$$.

Площадь основания призмы:

$$S=\frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot sin 30^{\circ}$$, $$S=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

Объем призмы: $$V=S \cdot AA_{1} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 9$$.

1. Площадь сечения, проходящего через диаметр шара:

   $$S_1 = \pi R^2 =25\pi$$.

2. Площадь меньшего сечения: $$S_2 = 25\pi \cdot 0,2=5\pi$$.

   Так как $$5\pi=\pi r^2$$, то $$r=\sqrt{5}$$.

3. Из теоремы Пифагора (рис. 5):

   $$AO=\sqrt{R^2 - r^2}=\sqrt{25-5}=2 \sqrt{5}$$.

Так как $$l=2r$$, то $$h=\sqrt{4r^{2}-r^2}=\sqrt{3}r$$ (рис. 3).

Тогда, $$\frac{h}{r}=\frac{\sqrt{3}r}{r}=\frac{\sqrt{3}}{1}$$.

1. Площадь сферы: $$S=4\pi R^2$$, $$4=4\pi R^2$$, откуда $$R=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$$.
2. Так как радиус цилиндра $$r=R=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$$, а его образующая $$l=2R=\frac{2}{\sqrt{\pi}}$$, то площадь поверхности цилиндра равна:

   $$S=2\pi R^2 +2\pi \cdot R \cdot 2R=6\pi R^2 = \frac{6\pi}{\pi}=6$$.

1. Площадь основания призмы (рис. 2):

   $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, $$S=\sqrt{5\cdot 1 \cdot 1 \cdot 3} = \sqrt{15}$$ (см$$^2$$).


2. Радиус окружности, вписанной в основание призмы:

   $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$, $$r=\frac{2\sqrt{15}}{4+4+2}=\frac{\sqrt{15}}{5}$$ (см).

3. Высота призмы: $$h=2r=\frac{2\sqrt{15}}{5}$$ (см).
4. Объем призмы: $$V=S\cdot h$$, $$V=\sqrt{15} \cdot \frac{2\sqrt{15}}{5}=6$$ (см$$^3$$).

1. Рассмотрим верхнее основание пирамиды (рис. 9).

   Так как $$P=8$$, то $$a_1 = 2$$.

   Но так как $$S_1 = \frac{d_{1}^2}{2}$$, то $$d_1 = 2\sqrt{2}$$, а $$NC=\sqrt{2}$$.


2. Рассмотрим треугольник $$PCD$$.

   Так как $$tg \alpha = \frac{h}{PD}$$, то $$\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{PD}$$, $$PD=\frac{h\sqrt{2}}{3}$$.

   По теореме Пифагора: $$h^2 + \frac{2h^2}{9}=11$$, откуда $$h=3$$.

   Тогда, $$PD=\sqrt{2}$$.

3. Рассмотрим нижнее основание пирамиды.

   Так как $$OD = OP +PD = 2\sqrt{2}$$, то $$d_2 = 4\sqrt{2}$$, а $$S_2 = \frac{d_{2}^2}{2} = 16$$.

4. По формуле $$V=\frac{1}{3}h(S_{1} + S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$ получим:

   $$V=\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (4+16+\sqrt{4 \cdot 16}) = 28$$.

1. Найдем площадь ромба: $$S=a^2sin 30^{\circ}=24^2 \cdot \frac{1}{2}=288$$.

   С другой стороны, $$S=a \cdot 2r$$. Тогда, $$r=\frac{288}{48}=6$$ (рис. 7).


2. Найдем высоту шарового сегмента: $$h=\frac{2r}{6}=2$$.

   Тогда, $$d=R-h=R-2$$.

3. По теореме Пифагора:

   $$R^2 = r^2 + d^2$$, $$R^2=36+(R-2)^2$$, откуда $$2R=20=D$$.

1. Рассмотрим треугольник $$ACD$$ (рис. 4).

   Так как $$\angle A = 30^{\circ}$$, то $$h=\frac{d}{2}=1$$.

   Из теоремы Пифагора: $$AD=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$.

   Тогда, $$AO=\frac{\sqrt{3}}{2}=a$$.


2. Найдем площадь основания призмы:

   $$S_{осн.}=\frac{6\sqrt{3}a^2}{4}$$, $$S_{осн.}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$$.

   Найдем боковую поверхность призмы:

   $$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot h$$, $$S_{бок.}=3\sqrt{3}$$.

   Найдем поверхность призмы:

   $$S=2S_{осн.}+S_{бок.}$$, $$S=\frac{9\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{3}=5,25\sqrt{3}$$.

1. Так как $$S_{сеч.}=\frac{CB \cdot A_{1}O}{2}$$ (рис. 6), то

   $$5\sqrt{123}=\frac{10 \cdot A_{1}O}{2}$$, откуда $$A_{1}O= \sqrt{123}$$.


2. Из теоремы Пифагора:

   $$AO=\sqrt{AC^2 - OC^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}$$;

   $$A_{1}A=\sqrt{A_{1}O^2 - AO^2}=\sqrt{123-75}=4\sqrt{3}=h$$.

3. Объем призмы:

   $$V = S_{осн.} \cdot h$$, $$V=\frac{CB \cdot AO}{2} \cdot h$$, $$V=\frac{10 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{2}=300$$.