Загрузка

Стереометрия

Если диагональ куба равна $$12$$, то его объем равен:

  1. По формуле $$d^2 = 3a^2$$ получим:

    $$12^2 = 3a^2$$, откуда $$a=\frac{12}{\sqrt{3}}$$ - ребро куба.

  2. По формуле $$V=a^3$$ получим:

    $$V=\frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{3\sqrt{3}}= 192\sqrt{3}$$.

Выберите один из вариантов

Если в правильную четырехугольную призму можно вписать шар радиуса $$2\sqrt{7}$$, то отношение объема описанного около призмы шара к объему вписанного в эту призму шара равно:

Имеем куб и вписанный в него шар радиуса $$R_1 = 2\sqrt{7}$$.

Ребро куба: $$a = 2R_1 = 4\sqrt{7}$$.

Диагональ куба: $$d=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}= 4\sqrt{21}$$.

Радиус шара, описанного около куба: $$R_2 = \frac{d}{2}=2\sqrt{21}$$.

Отношение объемов шаров:

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_{2}^3}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^3} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 = \left(\frac{2\sqrt{21}}{2\sqrt{7}} \right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{1}$$.

Выберите один из вариантов

Если боковые ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны и соответственно равны $$1$$ см, $$1$$ см и $$2$$ см, то площадь его поверхности равна:

  1. По теореме Пифагора (рис. 1):

    $$a=\sqrt{4+1}= \sqrt{5}$$ (см); $$b=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ (см); $$c=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$ (см).

  2. Рис. 1
  3. Площади боковых граней тетраэдра:

    $$S_1 = \frac{2\cdot 1}{2} = 1$$ (см$$^{2}$$); $$S_2 = \frac{1 \cdot 1}{2} = 0,5$$ (см$$^2$$); $$S_3 = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1$$ (см$$^2$$).

  4. Площадь основания тетраэдра:

    $$S_4 = \sqrt{\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}= \sqrt{\frac{9}{4}}= 1,5$$.

  5. Площадь поверхности тетраэдра:

    $$S = 1 +0,5 +1 +1,5 = 4$$ (см$$^2$$).

Выберите один из вариантов

Через вершину конуса и хорду его основания, стягивающую дугу $$60^{\circ}$$, проведено сечение. Если образующая конуса равна $$1$$, а радиус его основания равен $$\sqrt{0,5}$$, то площадь сечения равна:

  1. Так как $$\angle AOC = 60^{\circ}$$ (рис. 2), а $$AO=OC=r$$, то $$AC=r=\sqrt{0,5}$$.
  2. Рис. 2
  3. Сечение конуса – треугольник $$ABC$$.

    Найдем полупериметр треугольника:

    $$p=\frac{BA+BC+AC}{2}$$, $$p=\frac{1+1+\sqrt{0,5}}{2}=1+\frac{\sqrt{0,5}}{2}$$.

  4. По формуле Герона:

    $$S=\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{0,5}}{2} \right)\cdot \left(1-\frac{\sqrt{0,5}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{0,5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{0,5}}{2} }=$$

    $$=\sqrt{\left(1-\frac{0,5}{4}\right) \cdot \frac{0,5}{4}}=\sqrt{\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{8}$$.

Выберите один из вариантов

Правильный тетраэдр, объем которого равен $$2\sqrt{6}$$, вписан в цилиндр. Объем цилиндра равен:

  1. Рассмотри тетраэдр с ребром $$a$$ (рис. 3).
    Рис. 3

    Так как $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$, то $$h=\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$.

    Так как площадь основания пирамиды $$S = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$, а $$V = \frac{S \cdot h}{3}$$,

    то $$2\sqrt{6}=\frac{\sqrt{3}a^2 \cdot a\sqrt{2}}{12\sqrt{3}}$$, $$a^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3}$$, откуда $$a=2\sqrt{3}$$.

    Тогда: $$R = 2$$, $$h = 2\sqrt{2}$$.

  2. Найдем объем цилиндра: $$V = \pi R^2 h = 8\sqrt{2} \pi$$.
Выберите один из вариантов

Прямоугольный треугольник с углом $$45^{\circ}$$ и катетом $$2\sqrt{2}$$ вращается вокруг гипотенузы. Объем полученного тела вращения относится к площади его поверхности как:

  1. Так как $$\angle C = 90^{\circ}$$, а $$\angle B =45^{\circ}$$, то $$CB=CA$$ (рис. 4).
  2. Рис. 4
  3. По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{CA^2 + CB^2}=\sqrt{8+8}= 4$$.

    Тогда, $$h=\frac{1}{2}AB = 2 =r$$.

  4. Объем тела вращения: $$V = 2\cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{16 \pi}{3}$$.
  5. Площадь поверхности: $$S = 2\cdot \pi rl = 8\sqrt{2}\pi$$.
  6. Тогда, $$\frac{V}{S}= \frac{16\pi}{3 \cdot 8\sqrt{2}\pi}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$.
Выберите один из вариантов

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с ее боковыми гранями углы $$30^{\circ}$$ и $$45^{\circ}$$. Если диагональ равна 6, то площадь меньшей боковой грани равна:

  1. Рассмотрим треугольник $$B_{1}C_{1}D$$ (рис. 5):

    $$sin 45^{\circ}=\frac{a}{d}$$, откуда $$a=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{2}$$ и $$C_{1}D=3\sqrt{2}$$.

  2. Рис. 5
  3. Рассмотрим треугольник $$B_{1}A_{1}D$$:

    $$sin 30^{\circ}=\frac{b}{d}$$, $$b= \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$.

  4. Рассмотрим треугольник $$C_{1}CD$$.

    Из теоремы Пифагора:

    $$c = \sqrt{C_{1}D^2 - b^2} = \sqrt{18-9} = 3$$.

  5. Так как $$b < a$$, то $$S=c \cdot b = 3\cdot 3 = 9$$.
Введите ответ в поле

В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Если высота конуса равна $$9$$, а радиус основания цилиндра равен $$2$$, то диаметр конуса большего объема равен:

Так как $$\triangle BOC \sim \triangle BFP$$ (рис. 6), то $$\frac{BO}{BF}=\frac{OC}{FP}$$,

$$\frac{9}{9-r}=\frac{r}{2}$$, $$r^2 - 9r + 18 =0$$, откуда $$r=3$$ или $$r=6$$.

Тогда, $$d=12$$.

Рис. 6
Введите ответ в поле

Круговой сектор с центральным углом $$30^{\circ}$$ вращается вокруг своего радиуса. Если объем тела вращения равен $$\frac{(2-\sqrt{3})\pi}{3}$$, то радиус сектора равен:

  1. Так как $$cos 30^{\circ} = \frac{d}{R}$$ (рис. 7), то $$d=\frac{\sqrt{3}R}{2}$$.
  2. Рис. 7
  3. Так как $$d+h=R$$, то $$h=R-\frac{\sqrt{3}R}{2}=\frac{(2-\sqrt{3}R)}{2}$$.
  4. Объем шарового сектора:

    $$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$$, $$\frac{(2-\sqrt{3})\pi}{3} = \frac{2\pi R^2}{3} \cdot \frac{(2-\sqrt{3})R}{2}$$, откуда $$R=1$$.

Введите ответ в поле

Если пирамиду, высота которой равна $$\sqrt[3]{2}$$, разделить плоскостью, параллельной ее основанию, на две равновеликие части, то расстояние от этой плоскости до вершины пирамиды будет равно:

Имеем правильные пирамиды: $$SDNF$$ и $$SABC$$ (рис. 8).

Рис. 8
  1. Высоты пирамид: $$h=x$$ и $$H = \sqrt[3]{2}$$.

    Радиусы окружностей, описанных около оснований пирамид:

    $$r=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ и $$R=\frac{b}{\sqrt{3}}$$.

    Так как $$\triangle SOA \sim \triangle SPD$$, то $$\frac{SO}{SP}=\frac{OA}{PD}$$, $$\frac{\sqrt[3]{2}}{x}=\frac{b}{a}$$.

  2. Объемы пирамид:

    $$V_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \cdot x$$, $$V_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}b^2}{4} \cdot \sqrt[3]{2}$$.

    Так как $$V_2 = 2V_1$$, то $$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}b^2}{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \cdot x$$, $$\frac{b^2}{a^2} = \sqrt[3]{4} \cdot x$$, $$\frac{\sqrt[3]{4}}{x^2}=\sqrt[3]{4} \cdot x$$, откуда $$x=1$$.

Введите ответ в поле