Загрузка

Стереометрия

Если сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна $$120$$, а его измерения относятся как $$2 : 3 : 5$$, то площадь полной поверхности параллелепипеда равна:

  1. Пусть $$a = 2k$$, $$b = 3k$$, $$c = 5k$$ (рис. 1).

    Тогда, $$(2k + 3k + 5k) \cdot 4 = 120$$, откуда $$k = 3$$.

    Следовательно, $$a = 6$$, $$b = 9$$, $$c = 15$$.

  2. По формуле $$S = 2ab + 2ac + 2bc$$ получим:

    $$S = 2 \cdot 54 + 2 \cdot 90 + 2 \cdot 135 = 558$$.

  3. Рис. 1
Выберите один из вариантов

Прямоугольный треугольник с катетами $$4$$ и $$3$$ вращается вокруг меньшего катета. Поверхность тела вращения равна:

    Тело вращения: конус (рис. 2).

    По теореме Пифагора: $$l = \sqrt{9 + 16} = 5$$.

    Тогда, $$S = \pi r^2 + \pi rl$$, $$S = 16\pi + 20\pi = 36\pi$$.

    Рис. 2
Выберите один из вариантов

Если радиус основания конуса равен $$5$$, а разверткой его боковой поверхности является круговой сектор с центральным углом $$120^{\circ}$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Длина окружности в основании конуса (рис. 3):

    $$C = 2\pi r = 10\pi$$.

  2. Длина дуги развертки боковой поверхности конуса (рис. 4):

    $$L = \frac{2\pi l}{360^{\circ}} \cdot 120^{\circ} = \frac{2\pi l}{3}$$.

  3. Так как $$C = L$$, то $$10\pi = \frac{2\pi l}{3}$$, откуда $$l = 15$$.
  4. Площадь боковой поверхности конуса:

    $$S = \pi rl = 75\pi$$.

  5. Рис. 3
    Рис. 4
Выберите один из вариантов

В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Если объем шара равен $$4\sqrt{3}\pi$$, то площадь поверхности конуса равна:

  1. Так как $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$, то $$4\sqrt{3}\pi = \frac{4}{3}\pi R^3$$, $$R^3 = 3\sqrt{3}$$, $$R = \sqrt{3}$$ (рис. 5).
  2. Рис. 5
  3. Так как $$\bigtriangleup BOC \sim \bigtriangleup BKP$$, то $$\frac{BO}{BK} = \frac{OC}{KP} = \frac{BC}{BP}$$.

    Так как $$l = 2r$$ и $$CO = CK = r$$, то $$BK = r$$.

    Получим: $$\frac{h}{r} = \frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{h - \sqrt{3}}$$, откуда $$h = 3\sqrt{3}$$, а $$r = 3$$.

  4. Площадь поверхности конуса:

    $$S = \pi r^2 + \pi rl = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 = 27\pi$$.

Выберите один из вариантов

Если радиус окружности, описанной около грани правильного тетраэдра, равен $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$, то объем тетраэдра равен:

  1. По формуле $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ получим:

    $$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, откуда $$a = 2$$ (рис. 6).

    Рис. 6
  2. Из теоремы Пифагора:

    $$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$.

  3. Площадь основания пирамиды:

    $$S = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$, $$S = \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4} = \sqrt{3}$$.

  4. Объем пирамиды:

    $$V = \frac{S \cdot h}{3}$$, $$V = \frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

Выберите один из вариантов

В правильный тетраэдр, сторона основания которого равна $$2\sqrt{3}$$, вписан конус, имеющий общую вершину с тетраэдром. Площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Так как $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$ (рис. 7),

    то $$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{2}$$.

  2. Так как $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$$, то $$l = \sqrt{h^2 + l^2} = \sqrt{8 + 1} = 3$$.
  3. Площадь боковой поверхности конуса: $$S = \pi rl = 3\pi$$.
  4. Рис. 7
Выберите один из вариантов

Развертка усеченного конуса – часть кругового кольца, ширина которого равна $$\frac{3}{\pi}$$. Если длины дуг развертки соответственно равны $$2\pi$$ и $$4\pi$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Так как $$C_1 = 2\pi r_1$$, то $$2\pi = 2\pi r_1$$, откуда $$r_1 = 1$$.
  2. Так как $$C_2 = 2\pi r_2$$, то $$4\pi = 2\pi r_2$$, откуда $$r_2 = 2$$.
  3. Площадь боковой поверхности конуса:

    $$S = \pi (r_1 + r_2)l$$, $$S = \pi (1 + 2) \cdot \frac{3}{\pi} = 9$$.

Введите ответ в поле

Одна из вершин верхнего основания параллелепипеда равноудалена от всех сторон его нижнего основания, а от смежных вершин этого основания находится на расстоянии $$4$$ и $$2\sqrt{6}$$. Если высота параллелепипеда равна $$2\sqrt{3}$$, то площадь его боковой поверхности не превосходит все целые числа, наименьшее из которых равно:

    Основание параллелепипеда – ромб $$ABCD$$ (рис. 8).

    Рис. 8
  1. Из теоремы Пифагора:

    $$AO = \sqrt{A_{1}A^2 - h^2} = \sqrt{24 - 12} = 2\sqrt{3}$$;

    $$DO = \sqrt{A_{1}D^2 - h^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$$.

  2. Тогда, $$a = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{12 + 4} = 4$$.
  3. Так как $$S_{DOC} = \frac{OD \cdot OC}{2} = \frac{DC \cdot OK}{2}$$, то

    $$2 \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot OK$$, откуда $$OK = \sqrt{3}$$.

  4. По теореме Пифагора:

    $$A_{1}K = \sqrt{OK^2 + h^2} = \sqrt{3 + 12} = \sqrt{15}$$.

  5. Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

    $$S = 4 \cdot a \cdot A_{1}K = 16\sqrt{15}$$.

  6. Так как $$16\sqrt{15} < 16 \cdot 4$$, то искомое число равно 64.
Введите ответ в поле

Если все вершины правильного тетраэдра, ребро которого равно $$2\sqrt{6}$$, лежат на поверхности шара, то радиус этого шара равен:

    На рисунке 9: точка $$O$$ – центр шара, $$x$$ – радиус шара.

  1. Радиус окружности, описанной около основания тетраэдра:

    $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$$.

  2. Высота тетраэдра:

    $$SO = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{24 - 8} = 4 = h$$.

  3. По теореме Пифагора:

    $$x^2 = R^2 + DC^2$$, $$x^2 = 8 + (4 - x)^2$$,

    $$x^2 = 8 + 16 - 8x +x^2$$, откуда $$x = 3$$.

  4. Рис. 9
Введите ответ в поле

Гипотенуза $$AB$$ треугольника $$ABC$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ и удалена от нее на расстояние, равное $$2$$. Если вершина $$C$$ треугольника принадлежит плоскости, а проекции катетов на эту плоскость равны $$6$$ и $$10$$, то длина гипотенузы равна:

    По теореме Пифагора (рис. 10):

    $$AC^2 = 4 + 36 = 40$$;

    $$BC^2 = 4 + 100 = 104$$;

    $$AB = \sqrt{40 + 104} = 12$$.

    Рис. 10
Введите ответ в поле