Загрузка

Стереометрия

Если осевое сечение цилиндра – квадрат с диагональю $$6$$ см, то объем цилиндра равен:

    Квадрат $$ABCD$$ – осевое сечение цилиндра (рис. 1).

    Рис.1

    Так как $$AB = AD = l$$, то $$l^2 + l^2 = 36$$, откуда $$l = 3\sqrt{2}$$ (см).

    Тогда, $$r = \frac{l}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ (см).

    Найдем объем цилиндра:

    $$V = \pi r^2 h$$, $$V = \pi \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 13,5\sqrt{2}\pi$$ ($$см^3$$).

Выберите один из вариантов

Если шар касается всех граней куба, объем которого равен $$7$$, то площадь его поверхности равна:

  1. Так как $$V = a^3$$, то $$7 = a^3$$, откуда $$a = \sqrt[3]{7}$$.
  2. Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в грань куба:

    $$R = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2}$$.

  3. Площадь поверхности шара:

    $$S = 4\pi R^2$$, $$S = 4\pi \cdot \frac{\sqrt[3]{49}}{4} = \sqrt[3]{49} \pi$$.

Выберите один из вариантов

Если меньшая диагональ прямого параллелепипеда равна $$3\sqrt{2}$$ и образует с плоскостью основания угол, тангенс которого равен $$1$$, а его основанием является ромб с углом $$120^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:

  1. Рассмотрим треугольник $$B_{1}BD$$ (рис. 2).

    Так как $$tg \angle B_{1}DB = 1$$, то $$\angle B_{1}DB = 45^{\circ}$$, а $$BB_1 = DB = x$$.

  2. Рис.2
  3. По теореме Пифагора:

    $$x^2 + x^2 = d^2$$, $$2x^2 = 18$$, $$x = 3$$.

  4. Рассмотрим ромб $$ABCD$$.

    Так как $$\angle ADC = 120^{\circ}$$, то $$\angle BAD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.

    Следовательно, $$AD = a =3$$.

    Найдем площадь ромба: $$S = a^2 \cdot sin \angle A = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$.

  5. Найдем объем параллелепипеда:

    $$V = S_{осн.} \cdot H$$, $$V = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = 13,5\sqrt{3}$$.

Выберите один из вариантов

Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$4\sqrt{3}$$ и $$3\sqrt{3}$$. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $$45^{\circ}$$, то боковая поверхность пирамиды равна:

    На рисунке 3 точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

    Рис.3
  1. Рассмотрим основание пирамиды:

    $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{48 + 27} = 5\sqrt{3}$$;

    $$r = \frac{AC + BC -AB}{2} = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$.

  2. Так как $$\angle SDO = 45^{\circ}$$, то $$h = r = \sqrt{3}$$.

    Тогда, $$SD = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$$.

  3. Найдем боковую поверхность пирамиды:

    $$S = \frac{1}{2}P_{осн.} \cdot SD$$, $$S = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{6} = 18\sqrt{2}$$.

Выберите один из вариантов

Если осевое сечение конуса – равнобокая трапеция с основаниями $$4$$ и $$16$$ и углом $$45^{\circ}$$, то объем конуса равен:

  1. Так как $$\angle A = 45^{\circ}$$ (рис. 4), $$r_1 = 2$$, $$r_2 = 8$$, то:

    $$h = AB = r_2 - r_1 = 6$$.

  2. Объем конуса:

    $$V = \frac{1}{3}\pi h(r_{1}^2 + r_{2}^2 + r_{1}r_2)$$, $$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 \cdot(4+64+16) = 168\pi$$.

  3. Рис.4
Выберите один из вариантов

Усеченный конус вписан в шар радиуса $$50$$ см. Если центры оснований конуса удалены от центра шара на расстояния $$1$$ дм и $$4$$ дм, то сумма площадей оснований конуса равна:

  1. Из теоремы Пифагора (рис. 5):

    $$r_1 = \sqrt{25 - 16} = 3$$ (дм); $$r_2 = \sqrt{25 - 1} = 2\sqrt{6}$$ (дм).

  2. $$S_1 + S_2 = \pi r_{1}^2 + \pi r_{2}^2 = 9\pi +24\pi = 33\pi$$ ($$дм^2$$).
  3. Рис.5
Выберите один из вариантов

Если объем конуса равен $$2$$ и расстояние от центра основания до образующей равно $$2$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Так как $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$, то $$\pi r^2 h = 6$$, $$h = \frac{6}{\pi r^2}$$.
  2. Так как $$\bigtriangleup AFO \sim \bigtriangleup AOB$$ (рис. 6), то

    $$\frac{FO}{OB} = \frac{AO}{AB}$$, $$\frac{2}{h} = \frac{r}{l}$$, $$\frac{2\pi r^2}{6} = \frac{r}{l}$$, $$\frac{\pi r}{3} = \frac{1}{l}$$, откуда $$\pi rl = 3$$.

  3. Площадь боковой поверхности: $$S = \pi rl = 3$$.
  4. Рис.6
Введите ответ в поле

Пирамида, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник, вписана в цилиндр. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а линейный угол двугранного угла, образованного этими гранями, равен $$0,5\pi$$. Если образующая цилиндра равна $$5\sqrt{3}$$, а медиана основания пирамиды, проведенная к гипотенузе, равна $$5$$, то наибольшая из граней пирамиды имеет площадь:

    На рисунке 7 точка $$O$$ – центр основания цилиндра.

    Так как $$\angle AOB = 90^{\circ}$$ и $$OC = 5$$, то $$R = 5$$, а $$AB = 10$$.

    По теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{CO^2 + CS^2} = \sqrt{25 + 75} = 10$$.

    Площадь грани $$ASB$$: $$S = \frac{1}{2}AB \cdot SO = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50$$.

    Рис.7
Введите ответ в поле

Основанием тетраэдра служит треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB = BC = 5$$ и $$AC = 6$$, а все его боковые ребра имеют одинаковую длину. Если площадь сечения, проходящего через сторону $$AC$$ нижнего основания тетраэдра перпендикулярно противолежащему ей боковому ребру, равна $$6\sqrt{3}$$, то плоскость сечения наклонена к плоскости основания тетраэдра под углом, градусная мера которого равна:

  1. Так как $$S_{CKB} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot KD = 6\sqrt{3}$$ (рис. 8),

    то $$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot KD = 6\sqrt{3}$$, откуда $$KD = 2\sqrt{3}$$.

  2. Рис.8
  3. Из теоремы Пифагора:

    $$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$.

  4. Тогда, $$cos \angle ADK = \frac{DK}{DA} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, откуда $$\angle ADK = 30^{\circ}$$.
Введите ответ в поле

Основанием пирамиды является правильный треугольник, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно $$4$$. Если радиус шара, описанного вокруг пирамиды равен $$4$$, то ребро основания пирамиды равно:

    На рисунке 9: точка $$G$$ – центр шара, $$GS = GA = 4$$ – радиус шара, точка $$O$$ – центр основания пирамиды.

  1. Из теоремы Пифагора:

    $$DG = \sqrt{SG^2 - SD^2} = \sqrt{16-4} = 2\sqrt{3}$$.

  2. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды:

    $$R = DG = 2\sqrt{3}$$. Но так как $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, то $$a = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6$$.

  3. Рис.9
Введите ответ в поле