Загрузка

Стереометрия

Если площадь поверхности шара равна $$36\sqrt[3]{\pi}$$, то его объем равен:

  1. Так как $$S = 4\pi R^2$$, то $$36\sqrt[3]{\pi} = 4\pi R^2$$, откуда $$R = \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}$$.
  2. Объем шара: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$, $$V = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{27}{\pi} = 36.$$
Выберите один из вариантов

Если периметр развертки боковой поверхности цилиндра равен $$4\sqrt{2}(\pi+1)$$, а площадь его основания равна $$2\pi$$, то площадь поверхности цилиндра равна:

    Так как $$S = \pi r^2$$, то $$\pi r^2 = 2\pi$$, откуда $$r=\sqrt{2}$$.

    Так как $$P = 2(2\pi r+l)$$, то $$4 \sqrt{2}\pi + 2l = 4\sqrt{2}\pi + 4\sqrt{2}$$, откуда $$l = 2\sqrt{2}$$.

    Найдем площадь поверхности цилиндра:

    $$S = 2\pi r^2 + 2\pi rl$$, $$S = 4\pi +8\pi = 12\pi$$.

Выберите один из вариантов

Все вершины куба лежат на поверхности сферы. Если диагональ грани куба равна $$7\sqrt{2}$$, то объем шара, ограниченного этой сферой, равен:

  1. Диагональ грани куба:

    $$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} a$$, $$7\sqrt{2} = \sqrt{2} a$$, откуда $$a=7$$.

  2. Диагональ куба: $$D = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3} a = 7\sqrt{3}$$.
  3. Радиус сферы: $$R = \frac{D}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$$.
  4. Объем шара: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$, $$V = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{343 \cdot 3\sqrt{3}}{8} = 171,5 \sqrt{3} \pi$$.
Выберите один из вариантов

Если стороны основания параллелепипеда имеют длины $$3$$ и $$\sqrt{2}$$ образуют угол $$135^{\circ}$$, а его боковое ребро длины $$\sqrt{8}$$ наклонено к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:

  1. Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$ (рис. 1).

    Так как $$\angle ADC = 135^{\circ}$$, то $$\angle BAD = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} = \alpha$$.

    Найдем площадь параллелограмма:

    $$S = a \cdot b \cdot sin \alpha$$, $$S = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$$.

  2. Рис.1
  3. Так как $$ \angle A_{1}AC = 45^{\circ}$$, то $$sin 45^{\circ} = \frac{h}{AA_1}$$, откуда $$h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{8} = 2$$.
  4. Найдем объем параллелепипеда:

    $$V = S_{осн.} \cdot h$$, $$V = 3 \cdot 2 = 6$$.

Выберите один из вариантов

Если апофема правильной четырехугольной пирамиды равна $$\sqrt{6}$$ и образует с ее высотой угол $$30^{\circ}$$, то площадь поверхности пирамиды равна:

    На рисунке 2: точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

    Рис.2
  1. Так как $$\angle OSP = 30^{\circ}$$, то $$r = \frac{\sqrt{6}}{2}$$. Тогда, $$h = \sqrt{6-\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$.
  2. Так как $$r = \frac{\sqrt{6}}{2}$$, то $$a = 2r = \sqrt{6}$$.
  3. Найдем площадь основания пирамиды:

    $$S_1 = a^2 = 6$$.

  4. Найдем боковую поверхность пирамиды:

    $$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot SP = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 12$$.

  5. Найдем площадь поверхности пирамиды:

    $$S = 6+12 = 18$$.

Выберите один из вариантов

Если в шар вписан конус так, что диаметр шара принадлежит основанию конуса, то объем конуса от объема шара составляет:

    Так как радиус шара равен радиусу конуса (рис. 3),

    то $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \cdot 100\% = 25\%$$.

    Рис.3
Выберите один из вариантов

Площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на поверхности шара, равна $$3\sqrt{3}$$. Если площадь сечения, проходящего через центр шара, равна $$8\pi$$, то центр шара удален от плоскости треугольника на расстояние, равное:

  1. Площадь треугольника:

    $$S = \frac{\sqrt{3} a^2}{4}$$, $$3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3} a^2}{4}$$, откуда $$a = 2\sqrt{3}$$.

  2. Радиус окружности, описанной около треугольника:

    $$r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$ (рис.4).

  3. Площадь сечения: $$S = \pi R^2$$, $$8\pi = \pi R^2$$, откуда $$R = 2\sqrt{2}$$.
  4. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника:

    $$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{8-4} = 2$$.

  5. Рис.4
Введите ответ в поле

Если основание пирамиды – ромб со стороной $$1,2$$ дм и острым углом $$30^{\circ}$$, а объем пирамиды равен $$72$$ $$см^{3}$$, то боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом, градусная мера которого равна:

  1. Найдем площадь ромба (рис. 5):

    $$S = a^2 sin\angle A $$, $$S = 12^2 sin 30^{\circ} = 72$$ ($$см^2$$).

  2. Рис.5
  3. По формуле $$V = \frac{1}{3} S \cdot h$$ получим:

    $$72 = \frac{72}{3} \cdot h$$, откуда $$h=3$$ см.

  4. Найдем высоту $$OK$$ треугольника $$DOC$$.

    Так как $$S_{\bigtriangleup} = 72:4 = 18$$ и $$S_{\bigtriangleup} = \frac{1}{2}a \cdot OK$$, то $$6 \cdot OK = 18$$, откуда $$OK=3$$ см.

  5. Тогда, $$tg\angle SKO = \frac{h}{OK} = \frac{3}{3} = 1$$, откуда $$\angle SKO = 45^{\circ}$$.
Введите ответ в поле

В пирамиду, основанием которой является правильный треугольник, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, вписан цилиндр, образующая которого равна $$4$$, а радиус его основания равен $$1$$. Если третья грань пирамиды образует с плоскостью ее основания угол $$45^{\circ}$$, то высота пирамиды равна:

  1. Так как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник $$DGN$$, равен $$1$$, то медиана $$DP = 3r = 3$$ (рис. 6).
  2. Так как $$OP = OK = 4$$, то $$AK = 3+4 = 7$$.

    Так как $$\bigtriangleup ASK \sim \bigtriangleup OPK$$, то $$\frac{AS}{OP} = \frac{AK}{OK}$$, $$\frac{h}{4} = \frac{7}{4}$$, откуда $$h=7$$.

  3. Рис.6
Введите ответ в поле

Если в правильную треугольную пирамиду со стороной основания $$4\sqrt{3}$$ вписан шар радиуса $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$,то боковая грань пирамиды наклонена к плоскости ее основания под углом, градусная мера которого равна:

    На рисунке 8: точка $$G$$ – центр шара, $$GO=GN=R=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ – радиус шара, точка $$O$$ – центр основания пирамиды.

    Рис.7
  1. Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды:

    $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$$.

  2. По свойству касательных: $$KN = KO = 2$$.
  3. По теореме Пифагора: $$SG = \sqrt{SN^{2}+GN^{2}} = \sqrt{x^{2} + \frac{4}{3}}$$.
  4. Так как $$\bigtriangleup SNG \sim \bigtriangleup SOK$$, то $$\frac{NG}{OK} = \frac{SG}{SK}$$,

    $$\frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{x^2 + \frac{4}{3}}}{x+2}$$,

    $$x+2 = \sqrt{3x^2 + 4}$$,

    $$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 4$$, откуда $$x=2$$.

    Тогда, $$SK=4$$.

  5. Так как $$cos \alpha = \frac{OK}{SK} = \frac{1}{2}$$, то $$\alpha = 60^{\circ}$$.
Введите ответ в поле