Загрузка

Тождественные преобразования иррациональных выражений

Если $$s_{1}$$ - степень многочлена $$-5x^3(2-0,2x)-(1+x)(x-2)$$, а $$s_{2}$$ - сумма степеней одночленов, входящих в его состав, то значение выражения $$s_{1}+s_{2}$$ равно:

  1. Многочленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде суммы нескольких одночленов.
  2. Многочлен имеет стандартный вид, если все одночлены имеют стандартный вид и среди них нет подобных.
  3. Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
  4. Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
  5. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него букв (переменных). Если одночлен представлен отличным от нуля числом, то его степень равна $$0$$. Нулевым одночленам не приписывают никакую степень.
  6. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.
  1. Приведем многочлен к стандартному виду:
    $$A=-5x^3(2-0,2x)-(1+x)(x-2)$$,

    $$A=-10x^3+x^4+(1+x)(2-x)$$,

    $$A=-10^3+x^4+2-x+2x-x^2$$,

    $$A=x^4-10x^3-x^2+x+2$$.

  2. В состав многочлена входят $$5$$ одночленов:
    $$x^4$$ (его степень равна $$4$$);
    $$-10x^3$$ (его степень равна $$3$$);
    $$-x^2$$ (его степень равна $$2$$);
    $$x$$ (его степень равна $$1$$);
    $$2$$ (его степень равна $$0$$).
    Следовательно, $$s_{2}=4+3+2+1+0=10$$.
  3. Поскольку наибольшая из степеней одночленов равна $$4$$,
    то $$s_{1}=4$$.
  4. Тогда, $$s_{1}+s_{2}=14$$.

Преобразовывая выражение $$-(2+x)(x-2)$$, мы внесли «$$-$$» во вторые скобки:
$$-(2+x)(x-2)=(2+x)(2-x)$$.

Выберите один из вариантов

В результате преобразования выражения $$\frac{2a-\sqrt{a}-1}{4a-1}: (\sqrt{a-1})$$ получим:

  1. Формула разности квадратов:

    $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.

  2. Квадратного трехчлен $$f(x)=ax^2+bx+c$$ можно разложить на линейные множители по формуле:

     $$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$,

    где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – его корни.

  3. Корни квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ находят по формулам:

    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$,

    где $$D=b^2-4ac$$, причем $$D\geq 0$$.

  1. Полагая $$\sqrt{a}=x$$, $$a=x^2$$, запишем:

    $$\frac{2x^2-x-1}{4x^2-1}:(x-1)$$.

  2. Разложим числитель дроби на множители, предварительно найдя корни многочлена $$f(x)=2x^2-x-1$$:
    $$D=1+8=9$$, $$x_{1}= \frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$, $$x_{2}= \frac{1+3}{4}=1$$.

    Получим:

    $$f(x)=2(x+\frac{1}{2})(x-1)$$, $$f(x)=(2x+1)(x-1)$$.

  3. Разложим знаменатель дроби на множители, применяя формулу разности квадратов: $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$$.
  4. Получим:

    $$\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot \frac{1}{(x-1)}=\frac{1}{2x-1}$$.

  5. Так как $$\sqrt{a}=x$$, то запишем:

    $$\frac{1}{2x-1}=\frac{1}{2\sqrt{a}-1}$$.
    Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:

    $$\frac{2\sqrt{a}+1}{(2\sqrt{a}-1)(2\sqrt{a}+1)}=\frac{2\sqrt{a}+1}{4a-1}$$.

Применять подстановку вовсе не обязательно. Но в нашем случае подстановка дала возможность представить выражение в более привычном виде и увидеть структуру выражения.

Выберите один из вариантов

Результат упрощения выражения $$\frac{a+2\sqrt[6]{a^3b^2}+\sqrt[3]{b^2}}{a^{0,5}+b^\frac{1}{3}}+\frac{a^{1,5}-b}{a+\sqrt[6]{a^3b^2}+\sqrt[3]{b^2}}$$ имеет вид:

  1. Определение степени:

    $$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$$.

  2. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

  3. Формула суммы (разности) кубов:

    $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$.

  1. Запишем данное выражение в виде

    $$A=\frac{a+2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{3}{2}}-b}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$$.
  2. Полагая $$a^\frac{1}{2}=x$$, а $$b^\frac{1}{3}=y$$, получим:

    $$A=\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y}+\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}$$.
  3. Применим формулы квадрата суммы и разности кубов:

    $$A=\frac{(x+y)^2}{x+y}+\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}$$,

    $$A=x+y+x-y=2x$$.
  4. Так как $$a^\frac{1}{2}=x$$, то $$A=2\sqrt{a}$$.

Подстановка не обязательна, но она помогает увидеть структуру выражения.

Выберите один из вариантов

В результате внесения множителей под знак корня $$3m^3n^2\sqrt[4]{m^2n^3}$$ при условии, что $$m< 0$$ и $$n> 0$$, получим:

При внесении множителя под знак квадратного корня (в общем случае под знак корня четной степени) необходимо учитывать знак этого множителя:

1) если $$a>0$$, то $$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$$;

2) если $$a<0$$, то $$a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}$$.

Так как $$m^2n^3\geq 0$$ и $$m^2\geq 0$$ для любых значений $$m$$, то $$n\geq 0$$.
Тогда: 

$$A=-3\left|m \right|^3n^2\sqrt[4]{m^2n^3}$$,

$$A=-\sqrt[4]{m^2n^3(3m^3n^2)^4}$$

$$A=-\sqrt[4]{81m^2n^3m^{12}n^8}$$,
$$A=-\sqrt[4]{81m^{14}n^{11}}$$.

Поскольку $$m<0$$, то под знак корня четной степени мы внесли абсолютную величину числа $$m$$, а число $$-1$$ мы оставили перед знаком корня.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $$\frac{y\sqrt{3x^4y}}{\sqrt{12x^2y^3}}$$ получим:

Свойство корня: 

$$\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$$,

 где $$2n$$ – четное число.

  1. Так как $$3x^4y\geq 0$$, а $$3x^4\geq 0$$ для любых значений $$x$$, то $$y\geq 0$$.
    Так как $$12x^2y^3> 0$$, а $$12x^2> 0$$, то $$y> 0$$.

    Запишем ОДЗ: $$x\in R$$$$/x\neq 0$$; $$y> 0$$.

  2. Упростим на ОДЗ данное выражение:

    $$A=\frac{y\sqrt{3x^4y}}{\sqrt{3\cdot 4x^2y^2y}}$$,

    $$A=\frac{yx^2\sqrt{3y}}{2\left | x \right |y\sqrt{3y}}$$,

    $$A=\frac{x^2}{2\left | x \right |}=\frac{\left | x \right |^2}{2\left | x \right |}=0,5\left | x \right |$$.

  1. Так как число $$x$$ может быть любого знака, то, извлекая из него корень четной степени, мы записали $$\sqrt{x^2}=\left | x \right |$$.
  2. Справедливо равенство:

    $$a^2=\left | a \right |^2$$.

Выберите один из вариантов

В результате вынесения множителей из-под знака корня $$\sqrt{8a^2b^4c^3}$$ получим:

При извлечении квадратного корня (корня четной степени) из произведения необходимо учитывать, что корень определен, и в случае, если оба множителя положительны, и в случае, если оба множителя отрицательны:

1) если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$;

2) если $$a<0$$ и $$b<0$$, то $$\sqrt{ab}=\sqrt{-a}\cdot \sqrt{-b}$$.

Так как $$8a^2b^4c^3\geq 0$$, то $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а $$c$$ – неотрицательное число. Тогда: $$\sqrt{8a^2(b^2)^2c^2c}=2\left | a \right |b^2c\sqrt{2c}$$.

Для числа $$a$$ любого знака справедливо равенство: 

$$\sqrt{a^2}=\left | a \right |$$.

Выберите один из вариантов

Выражение $$\sqrt[4]{-6xy^3z^4}$$ не лишено смысла при условии, что:

  1. Иррациональными называют выражения, содержащие переменную под знаком радикала (корня).
  2. Выражения, записанные под знаками корней четной степени, не могут быть отрицательными, а выражения, записанные под знаками корней нечетной степени, могут быть отрицательными.

Так как $$-6xy^3z^4\geq 0$$ (это выражение записано под знаком корня четной степени), то $$xy^3z^4\leq 0$$, а поскольку $$z^4\geq 0$$, то $$xy^3\leq 0$$ и $$xy\leq 0$$.

  1. Умножая обе части неравенства на отрицательное число, не забывайте заменить смысловой знак неравенства на противоположный по смыслу.
  2. Четное число можно записать в виде $$2n$$, а нечетное число $$-$$ в виде $$2n-1$$, где $$n\in N$$.
  3. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при условии, что $$a\geq 0$$.
Выберите один из вариантов

Выражение $$\frac{(a+b)^{-0,5}}{(a-b)^{-0,2}}$$ не имеет смысла при условии, что:

1. Определение степеней: 
$$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}$$; $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
2. Выражения, записанные под знаками корней четной степени, не могут быть отрицательными, а выражения, записанные под знаками корней нечетной степени, могут быть отрицательными.
  1. Запишем данное выражение в виде:

    $$\frac{(a+b)^{-\frac{1}{2}}}{(a-b)^{-\frac{1}{5}}}=\frac{(a-b)^\frac{1}{5}}{(a+b)^\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt[5]{a-b}}{\sqrt{a+b}}$$.

  2. Выражение $$(a-b)$$ любого знака или равно нулю (записано под знаком корня нечетной степени), а выражение $$(a+b)$$ только положительное (записано под знаком корня четной степени и в знаменателе дроби). Следовательно, выражение $$\frac{(a+b)^{-0,5}}{(a-b)^{-0,2}}$$ лишено смысла при $$a+b\leq 0$$ или $$a\leq -b$$.

Десятичную запись показателя степени числа лучше заменить обыкновенной дробью.

Выберите один из вариантов

В результате приведения одночлена $$(-2x)^2\cdot (-x^2)^3\cdot (xy^2)^1\cdot (-5yx^2)^0$$ к стандартному виду получим:

  1. Одночленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде произведения чисел и переменных. Одночлен имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, а каждый буквенный множитель встречается в его записи только один раз. Числовой множитель называют коэффициентом одночлена.
  2. Свойства степеней:

    $$a^0=1$$;

    $$a^1=a$$;

    $$a^{n}a^m=a^{n+m}$$;

    $$(a^n)^m=a^{nm}$$;

    $$(ab)^n=a^nb^n$$.

$$A=(-2x)^2\cdot (-x^2)^3\cdot (xy^2)^1\cdot (-5yx^2)^0$$,
$$A=4x^2\cdot (-x^6)\cdot xy^2\cdot 1$$,
$$A=-4x^9y^2$$.

При возведении отрицательного числа в четную степень всегда получаем положительное число, а в нечетную степень – отрицательное.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $$\frac{\sqrt{2x}-y}{\sqrt{2x}+y}-\frac{\sqrt{2x}+y}{\sqrt{2x}-y}$$ получим:

1. Формула разности квадратов: 
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
2. Формула квадрата суммы (разности): 
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

Приведем дроби к общему знаменателю и применим формулы квадрата разности, квадрата суммы и разности квадратов:
$$A=\frac{(\sqrt{2x}-y)^2-(\sqrt{2x}+y)^2}{(\sqrt{2x}+y)\cdot (\sqrt{2x}-y)}$$,

$$A=\frac{2x-2y\sqrt{2x}+y^2-2x-2y\sqrt{2x}-y^2}{2x-y^2}$$,

$$A=\frac{-4y\sqrt{2x}}{2x-y^2}=\frac{4y\sqrt{2x}}{y^2-2x}$$.

Различайте выражения:

  $$\sqrt{x^2}=\left | x \right |$$, где $$x\in R$$, и $$(\sqrt{x})^2=x$$, где $$x\geq 0$$.

Выберите один из вариантов