Загрузка

Тождественные преобразования рациональных выражений

В результате приведения одночлена
$$(-2x)^2\cdot (-x^2)^3\cdot (xy^2)^1\cdot (-5yx^2)^0$$
к стандартному виду получим:

  1. Одночленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде произведения чисел и переменных. Одночлен имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, а каждый буквенный множитель встречается в его записи только один раз. Числовой множитель называют коэффициентом одночлена.
  2. Свойства степеней: $$a^0=1; a^1=a; a^{n}a^m=a^{n+m}; (a^n)^m=a^{nm}; (ab)^n=a^nb^n$$.
$$(-2x)^2\cdot (-x^2)^3\cdot (xy^2)^1\cdot (-5yx^2)^0=4x^2\cdot (-x^6)\cdot xy^2\cdot 1$$$$=-4x^9y^2$$.

При возведении отрицательного числа в четную степень всегда получаем положительное число, а в нечетную степень – отрицательное.

Выберите один из вариантов

Если $$s_{1}$$ - степень многочлена $$-5x^3(2-0,2x)-(1+x)(x-2)$$,
а $$s_{2}$$ - сумма степеней одночленов, входящих в его состав, то значение выражения $$s_{1}+s_{2}$$ равно:

  1. Многочленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде суммы нескольких одночленов.
  2. Многочлен имеет стандартный вид, если все одночлены имеют стандартный вид и среди них нет подобных.
  3. Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
  4. Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
  5. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него букв (переменных). Если одночлен представлен отличным от нуля числом, то его степень равна $$0$$. Нулевым одночленам не приписывают никакую степень.
  6. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.
  1. Приведем многочлен к стандартному виду:
    $$-5x^3(2-0,2x)-(1+x)(x-2)=$$$$-10x^3+x^4+(1+x)(2-x)=$$
    $$=-10^3+x^4+2-x+2x-x^2=$$$$x^4-10x^3-x^2+x+2$$.
  2. В состав многочлена входят $$5$$ одночленов:
    $$x^4$$ (его степень равна $$4$$);
    $$-10x^3$$ (его степень равна $$3$$);
    $$-x^2$$ (его степень равна $$2$$);
    $$x$$ (его степень равна $$1$$);
    $$2$$ (его степень равна $$0$$).
    Следовательно, $$s_{2}=4+3+2+1+0=10$$.
  3. Поскольку наибольшая из степеней одночленов равна $$4$$,
    то $$s_{1}=4$$.
  4. Тогда, $$s_{1}+s_{2}=14$$.

Преобразовывая выражение $$-(2+x)(x-2)$$, мы внесли «$$-$$» во вторую скобку:
$$-(2+x)(x-2)=(2+x)(2-x)$$.

Выберите один из вариантов

Разложение многочлена $$a^2-2ab+a^2-4b^2$$ на множители имеет вид:

  1. Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки. При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель, а, после вынесения общих множителей за скобки, слагаемые снова должны иметь общий множитель.
  2. Формула разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
  1. Сгруппируем слагаемые: $$(a^2-2ab)+(a^2-4b^2)$$.
  2. Из первой скобки вынесем общий множитель, а ко второй скобке применим формулу разности квадратов: $$a(a-2b)+(a-2b)(a+2b)$$.
  3. Снова вынесем общий множитель, и во второй скобке приведем подобные слагаемые: $$(a-2b)(a+a+2b)=(a-2b)(2a+2b)$$.
  4. Из второй скобки вынесем общий множитель $$2$$ и получим: $$2(a-2b)(a+b)$$.

Чтобы вынести за скобки общий множитель, необходимо каждое слагаемое алгебраической суммы разделить на этот множитель.

Выберите один из вариантов

В результате сокращения дроби $$\frac{5xy+x^2y-10-2x}{2-xy}$$ получим:

Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки. При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель, а, после вынесения общих множителей за скобки, слагаемые снова должны иметь общий множитель.

  1. Разложим числитель дроби на множители способом группировки:
    $$(5xy+x^2y)+(-10-2x)=xy(5+x)-2(5+x)$$$$=(5+x)(xy-2)$$.
  2. Сократим дробь:
    $$\frac{(5+x)(xy-2)}{2-xy}=-\frac{(5+x)(2-xy)}{2-xy}=-(5+x)=-5-x$$.

Чтобы раскрыть скобку, перед которой стоит знак минус, необходимо скобку опустить и поменять знаки всех одночленов, записанных в скобке, на противоположные.

Выберите один из вариантов

В результате сокращения дроби $$\frac{(9-x^2)^2+(2x-6)^3}{x^2-4x+3}$$ получим:

  1. Формула разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
  2. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
  3. Свойство степеней: $$(ab)^n=a^nb^n$$.
  4. Квадратный трехчлен $$ax^2+bx+c$$ можно разложить на линейные множители по формуле $$ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – корни квадратного трехчлена.
  5. Корни квадратного трехчлена $$ax^2+bx+c$$ находят по формулам: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^2-4ac$$, причем $$D\geq 0$$.

Преобразуем числитель дроби:

  1. разложим выражения, записанные в скобках, на множители: $$((3-x)(3+x))^2+(-2(3-x))^3=(3-x)^2(3+x)^2-2^3(3-x)^3$$;
  2. вынесем общий множитель: $$(3-x)^2((3+x)^2-8(3-x))$$;
  3. выполним преобразования во второй скобке: $$(3-x)^2(9+6x+x^2-24+8x)=(3-x)^2(x^2+14x-15)$$;
  4. разложим многочлен $$x^2+14x-15$$ на множители, найдя предварительно его корни:
    $$D=14^2+4\cdot 15=196+60=256=16^2$$;
    $$x_{1}=\frac{-14-16}{2}=-15; x_{2}=\frac{-14+16}{2}=1;$$

Запишем числитель дроби: $$(3-x)^2(x+15)(x-1)$$.

Разложим на множители знаменатель дроби $$x^2-4x+3$$:
$$D=16-12=4=2^2$$;
$$x_{1}=\frac{4-2}{2}=1; x_{2}=\frac{4+2}{2}=3;$$

Запишем: $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$.

Запишем и сократим дробь:
$$\frac{(3-x)^2(x+15)(x-1)}{(x-3)(x-1)}=$$$$\frac{(x-3)^2(x+15)}{(x-3)}=(x-3)(x+15)$$.

  1. Корни многочлена $$x^2+14x-15$$ легко находятся с помощью теоремы Виета.

    Так как $$x_{1}+x_{2}=-14$$, а $$x_{1}x_{2}=-15$$, то $$x_{1}=-15$$, а $$x_{2}=1$$.

    Аналогично для многочлена $$x^2-4x+3$$ запишем $$x_{1}+x_{2}=4$$, а $$x_{1}x_{2}=3$$ и получим $$x_{1}=1$$ , а $$x_{2}=3$$.

  2. Запомните, что у выражения, записанного в четной степени, можно менять знак.

    Например, $$(a+b)^2=(-a-b)^2$$ или $$(a-b+c)^4=(-a+b-c)^4$$.

  3. Чтобы вынести общий множитель многочлена, возведенного в некоторую степень, необходимо этот множитель возвести в ту же степень, в которую возведен многочлен.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения дроби $$\frac{(3a-7)^2+(3a+7)^2}{(3a-7)^2-(3a+7)^2}$$ получим:

Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

  1. Применим формулы квадрата разности и суммы и приведем подобные слагаемые:
    $$\frac{\left ( 9a^{2}-42a+49 \right )+\left (9a^{2}+42a+49 \right )}{\left ( 9a^{2}-42a+49 \right )-\left (9a^{2}+42a+49 \right )}=$$

    $$=\frac{9a^2-42a+49+9a^2+42a+49}{9a^2-42a+49-9a^2-42a-49}=$$

    $$=\frac{2\cdot 9a^2+2\cdot 49}{-2\cdot 42a}$$.
  2. Сократим дробь на $$2$$:
    $$\frac{9a^2+49}{-42a}=-\frac{9a^2+49}{42a}$$.

Сократить дробь $$\frac{(3a-7)^2+(3a+7)^2}{(3a-7)^2-(3a+7)^2}$$ нельзя, так как в ее числителе и знаменателе имеются общие слагаемые, а не множители.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $$\frac{3a^2+1-4a}{9a-4-5a^2}$$ получим:

  1. Квадратный трехчлен $$ax^2+bx+c$$ можно разложить на линейные множители по формуле:
    $$ax^2+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$,
    где $$x_{1}$$$$x_{2}$$ – корни квадратного трехчлена.
  2. Корни квадратного трехчлена $$ax^2+bx+c$$ находят по формулам:
    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^2-4ac$$, причем $$D\geq 0$$.
  1. Разложим на множители числитель дроби, решая уравнение $$3a^2-4a+1=0$$:
    $$D=16-12=4=2^2$$;
    $$a_{1}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$$; $$a_{2}=\frac{4+2}{6}=1$$.
    Запишем: $$3a^2-4a+1=3(a-\frac{1}{3})(a-1)=(3a-1)(a-1)$$.
  2. Разложим на множители знаменатель дроби $$-5a^2+9a-4=-(5a^2-9a+4)$$:
    $$D=81-80=1$$;
    $$a_{1}=\frac{9-1}{10}=\frac{4}{5}$$; $$a_{2}=\frac{9+1}{10}=1$$.
    Запишем: $$-(5a^2-9a+4)=-5(a-\frac{4}{5})(a-1)=-(5a-4)(a-1)$$.
  3. Запишем и сократим дробь: $$-\frac{(3a-1)(a-1)}{(5a-4)(a-1)}=-\frac{(3a-1)}{(5a-4)}=\frac{1-3a}{5a-4}$$.

Ответ можно записать и иначе: $$-\frac{(3a-1)}{(5a-4)}=\frac{3a-1}{4-5a}$$.

Выберите один из вариантов

Результат упрощения выражения $$\frac{2x^{-1}}{2^{-1}}:\frac{2+x^{-1}}{x+2^{-1}}$$ имеет вид:

Определение степени: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$.

  1. Согласно определению степени с отрицательным показателем, преобразуем первую дробь: $$\frac{2\cdot 2}{x}=\frac{4}{x}$$.
  2. Преобразуем вторую дробь:
    $$\frac{2+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{2}}=\frac{2x(2+\frac{1}{x})}{2x(x+\frac{1}{2})}=\frac{2(2x+1)}{x(2x+1)}=\frac{2}{x}$$.
  3. Выполним деление дробей: $$\frac{4}{x}:\frac{2}{x}=\frac{4x}{2x}=2$$.
  1. Различайте записи:
    $$(2x)^{-1}=\frac{1}{2x}$$ и $$2x^{-1}=\frac{2}{x}$$.
  2. Справедливо равенство: $$\frac{a^{-n}}{b^{-m}}=\frac{b^m}{a^n}$$.
Выберите один из вариантов

Остаток от деления многочленов $$x^3+8x^2+13x-7$$ и $$x^2+5x-2$$ равен:

Деление многочленов выполняется аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор, пока не получат остаток $$0$$ или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.

Выполним уголком деление многочленов:

Правильно вычитайте многочлены. Так, например, остаток получен в результате следующего действия: $$-7-(-6)=-7+6=-1$$.

Введите ответ в поле

Если $$xy=-2$$, а $$x+y=1$$, то значение выражения $$x^6+y^6$$ равно:

  1. Формула суммы (разности) кубов: $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$.
  2. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
  1. Преобразуем выражение $$x^6+y^6$$.
    Применим формулу суммы кубов:
    $$(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$$.
    Дополним вторую скобку до квадрата суммы:
    $$(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+2x^2y^2-2x^2y^2)=$$
    $$=(x^2+y^2)((x^4+2x^2y^2+y^4)-3x^2y^2)=$$
    $$=(x^2+y^2)((x^2+y^2)^2-3(xy)^2)$$.
  2. Возведем выражение $$x+y=1$$ в квадрат:
    $$x^2+2xy+y^2=1$$.
    Учитывая, что $$xy=-2$$, запишем:
    $$x^2-4+y^2=1, x^2+y^2=5$$.
  3. Получим:
    $$(x^2+y^2)((x^2+y^2)^2-3(xy)^2)=5\cdot (25-12)=5\cdot 13=65$$.

Дополняя выражение $$(x^4-x^2y^2+y^4)$$ до квадрата суммы, мы одновременно прибавили и вычли выражение $$2x^2y^2$$.

Введите ответ в поле