Загрузка

Стереометрия

Если площадь боковой поверхности цилиндра равна $$12\pi$$, а его объем равен $$5\pi$$, то образующая цилиндра равна:

Так как $$S = 2\pi rl$$, то $$12\pi = 2\pi rl$$, откуда $$rl = 6$$.

Так как $$V = \pi r^2 l$$, то $$5\pi = \pi r \cdot 6$$, откуда $$r = 1,2$$.

Тогда $$l = 6 : 1,2 = 5$$.

Выберите один из вариантов

Если площадь боковой поверхности куба равна $$6$$, то отношение площади поверхности описанного около куба шара к площади поверхности вписанного в этот куб шара равно:

  1. Так как $$6a^2 = 6$$, то $$a=1$$.
  2. Диагональ куба: $$D = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}a = \sqrt{3}$$.
  3. Радиус описанного шара: $$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
  4. Радиус вписанного шара: $$r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$$.
  5. Тогда, $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3$$.
Выберите один из вариантов

Конус вписан в цилиндр, осевым сечением которого является квадрат. Если объем конуса равен $$6$$, то объем цилиндра равен:

  1. Объем конуса (рис. 1): $$V = \frac{\pi r^2 h}{3}$$.

    Так как $$h=2r$$, то $$6 = \frac{\pi r^2 \cdot 2r}{3}$$, откуда $$2\pi r^3 = 18$$.

  2. Объем цилиндра: $$V = \pi r^2 h = 2\pi r^3 = 18$$.
  3. Рис.1
Выберите один из вариантов

Основание параллелепипеда – правильный четырехугольник. Если одна из вершин его верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания, а высота равна $$3$$ и образуют с боковым ребром угол $$60^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:

  1. Так как $$ABCD$$ - квадрат (рис. 2) и вершина $$A_1$$ равноудалена от вершин квадрата, то $$A_1O = h$$.
  2. Рис.2
  3. Так как $$\angle AA_1O = 60^{\circ}$$, то $$tg 60^{\circ}=\frac{AO}{h}=1$$, откуда $$AO = 3\sqrt{3} = \frac{d}{2}$$.
  4. Найдем объем параллелепипеда:

    $$V = S_{осн.} \cdot h$$, $$V = \frac{d^2 \cdot h}{2}$$, $$V = \frac{108 \cdot 3}{2} = 162$$.

Выберите один из вариантов

Если основание пирамиды – правильный шестиугольник со стороной $$6$$, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол $$60^{\circ}$$, то объем пирамиды равен:

    На рисунке 3 точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Тогда, $$AO = R = 6$$.

    Рис.3
  1. Рассмотрим треугольник $$COA$$:

    $$tg 60^{\circ} = \frac{R}{h}$$, откуда $$h = 6 : \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ .

  2. Найдем площадь основания пирамиды:

    $$S = \frac{6 \cdot \sqrt{3}a^2}{4} = \frac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 36}{2} = 54\sqrt{3}$$.

  3. Найдем объем пирамиды:

    $$V = \frac{1}{3}Sh$$, $$V = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 108$$.

Выберите один из вариантов

Шар касается плоскости $$\beta$$ в точке $$A$$. Если точка $$B$$ принадлежит плоскости $$\beta$$ и удалена от точки $$A$$ на расстояние $$5$$ см, а от поверхности шара – на $$1$$ см, то диаметр шара равен:

    По свойству касательной и секущей (рис. 4):

    $$BA^2 = BC \cdot BD$$, $$25 = BC \cdot 1$$, откуда $$BC = 25$$ см.

    Тогда, $$CD = 25-1 = 24$$ (см).

    Рис.4
Выберите один из вариантов

Площадь правильного шестиугольника, стороны которого касаются поверхности шара, равна $$1,5 \sqrt{3}$$ . Если площадь поверхности шара равна $$19\pi$$ , то центр шестиугольника удален от центра шара на расстояние, равное:

  1. Площадь шестиугольника:

    $$S = \frac{6 \cdot \sqrt{3} a^2}{4}$$, $$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} a^2}{2}$$, откуда $$a = 1$$.

  2. Радиус окружности, вписанной в треугольник:

    $$r = \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ (рис.5).

  3. Рис.5
  4. Площадь поверхности шара:

    $$S = 4\pi R^2$$, $$19\pi = 4\pi R^2$$, откуда $$R = \frac{\sqrt{19}}{2}$$.

  5. Расстояние от центра шестиугольника до центра шара:

    $$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{\frac{19}{4} - \frac{3}{4}} = 2$$.

Введите ответ в поле

В усеченный конус, образующая которого наклонена к основанию под углом $$60^{\circ}$$, вписана сфера. Если радиус сферы равен $$\sqrt{3}$$, то число процентов, которые составляет площадь поверхности сферы от площади боковой поверхности конуса, равно:

  1. Так как $$\angle A = 60^{\circ}$$ (рис.6), то $$sin 60^{\circ} = \frac{BP}{AB}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{AB}$$, откуда $$AB = 4 = l$$.
  2. Рис.6
  3. . По свойству четырехугольника, описанного около окружности:

    $$AD+BC = 2l = 8$$. Тогда, $$r_{1}+r_{2}=4$$.

  4. Площадь поверхности сферы:

    $$S=4\pi R^2$$, $$S=4\pi \cdot 3 = 12\pi$$.

    Площадь боковой поверхности конуса:

    $$S = \pi (r_{1}+r_{2})l$$, $$S = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$$.

    Тогда, $$\frac{12\pi}{16\pi} \cdot 100\% = 75\%$$.

Введите ответ в поле

Основание пирамиды – равнобокая трапеция с углом $$120^{\circ}$$, а проекции всех высот ее боковых граней на плоскость основания равны $$2$$. Если высота пирамиды равна $$3\sqrt{3}$$, то ее объем равен:

    На рисунке 7: точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

    Рис.7
  1. Так как $$OP=r=2$$, то $$BP=AK=2r=4$$.
  2. Так как $$\angle BAD = 120^{\circ}$$, то $$\angle ADC = 180^{\circ}-120^{\circ} = 60^{\circ}$$.

    Тогда, $$sin 60^{\circ} = \frac{AK}{AD}$$, откуда $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{AD}$$, $$AD = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$.

  3. По свойству четырехугольника, описанного около окружности:

    $$AB+DC = AD+BC = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$.

  4. Площадь трапеции:

    $$S = \frac{AB+DC}{2}\cdot AK$$, $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 4 = \frac{32\sqrt{3}}{3}$$.

  5. Объем пирамиды:

    $$V = \frac{1}{3}S \cdot h$$, $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{32\sqrt{3}}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 32$$.

Введите ответ в поле

Правильная четырехугольная пирамида вписана в шар, диаметр которого равен $$1$$. Если плоский угол при вершине пирамиды равен $$60^{\circ}$$, то площадь ее основания равна:

    На рисунке 8: точка $$T$$ – центр шара, $$TA=TS=1$$ – радиус шара, точка $$O$$ – центр основания пирамиды.

    Рис.1
  1. Диагональ основания пирамиды:

    $$AC = \sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{2}$$.

    Тогда, $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

  2. Так как $$\angle DSC = 60^{\circ}$$, то боковые грани пирамиды – равносторонние треугольники со стороной $$a$$.
  3. Из теоремы Пифагора:

    $$SO = \sqrt{AS^{2}-OA^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

    Тогда, $$TO = \frac{a\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{a - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

  4. По теореме Пифагора:

    $$AT^2 = AO^{2}+TO^{2}$$,

    $$1=\frac{a^2}{2} + \frac{a^2 - 2\sqrt{2}a + 2}{2}$$, откуда $$a=\sqrt{2}$$.

    Тогда, $$S = a^2 = 2$$.

Введите ответ в поле