Неравенства КТ 1
Частное от деления наименьшего положительного и наибольшего отрицательного решений неравенства $$\sqrt[6]{\frac{x-3}{x}}-\sqrt[3]{\frac{3-x}{x}}-6\leq0$$ равно:
1. Запишем неравенство в виде:$$\sqrt[6]{\frac{x-3}{x}}+\sqrt[3]{\frac{x-3}{x}}-6\leq0$$.
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt[6]{\frac{x-3}{x}}+\sqrt[3]{\frac{x-3}{x}}-6$$.
$$D(f):\frac{x-3}{x}≥0$$, откуда $$x\in(- \infty;0)\cup[3;+\infty)$$ (рис. 9).
Найдем нули функции.
Полагая $$\sqrt[6]{\frac{x-3}{x}}=a$$, получим: $$a^2+a-6=0$$, откуда $$a_1=-3$$ (посторонний корень), $$a_2=2$$ .
Тогда:$$\frac{x-3}{x}=64$$, откуда $$x=-\frac{1}{21}$$.
3. Решение неравенства (рис. 10): $$x\in(-\infty;-\frac{1}{21}]\cup[3;+\infty)$$.
4. $$3:(-\frac{1}{21})=-63$$.
Введите ответ в поле
Длина отрезка, являющегося решением неравенства $$25^x-34\cdot15^{x-1}+9^x\leq0$$, равна:
1. Запишем неравенство в виде: 
$$\frac{25^x}{25^x}-\frac{34\cdot15^x}{15\cdot25^x}+\frac{9^x}{25^x}\leq0;15 \cdot 0,6^{2x}-34\cdot 0,6^x+15\leq0$$.
2. Найдем нули функции $$f(x)=15\cdot0,6^{2x}-34\cdot0,6^x+15$$.
Полагая $$0,6^x=a$$, получим:
$$15a^2-34a+15=0$$, откуда $$a_1=0,6$$, $$a_2=\frac{5}{3}$$.
Тогда: 1) $$0,6^x=0,6$$, откуда $$x=1$$;
2) $$0,6^x=\frac{5}{3}$$, откуда $$x=-1$$.
3. Решение неравенства (рис. 11): $$[-1;1]$$.
4. $$1+1=2$$.
Введите ответ в поле
Сумма наибольшего целого отрицательного и наименьшего положительного решений неравенства
$$\frac{(6-x)(5-2x)}{(x+2)}\leq0$$ равна:
$$1.$$ Решения неравенства (рис. 1):
$$x\in(-\infty;-2)$$ $$\cup$$ $$[2,5 ; 6]$$. 
$$2.$$ $$-3+2,5=-0.5.$$
Выберите несколько вариантов ответов
Сумма целых решений неравенства $$\frac{lg|2-10x|}{2x-x^2+15}>0$$ равна:
1. Запишем неравенство в виде: $$\frac{lg|10x-2|}{x^2-2x-15}<0$$. 
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{lg|10x-2|}{x^2-2x-15}$$.
Нули функции:
а) $$lg|10x-2|=0$$, $$|10x-2|=1$$, $$10x-2=\pm1$$,
откуда $$x=0,3$$ или $$x=0,1$$;
б) $$x\ne-3$$, $$x\ne5$$.
3. Решение неравенства (рис. 12): $$x\in(-3;0,1)\cup(0,3;5)$$.
4. $$-2-1+0+1+2+3+4=7$$.
Введите ответ в поле
Середина промежутка, удовлетворяющего условию $$49\cdot3^\frac{1}{x}\cdot7^\frac{-1}{x}<9$$, равна:
$$\left(\frac{3}{7}\right)^\frac{1}{x}<\left(\frac{3}{7}\right)^2, \frac{1}{x}>2, \frac{1-2x}{x}>0$$, откуда $$x\in(0;0,5)$$ (рис. 3).
Тогда, $$(0+0,5):2=0,25$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых неположительных решений неравенства $$lg(\frac{x}{3}+1)\leq-lg(\frac{x}{3}+1)$$ равно:
$$1.$$ ОДЗ: $$x>-3$$.
$$2.$$ $$2lg(\frac{x}{3}+1)\leq0, 2lg(\frac{x}{3}+1)\leq0,\frac{x}{3}+1\leq1,x\leq0$$
$$3.$$ Решение неравенства: $$(-3;0]$$.
$$4.$$ Целые решение:$$-2;-1;0$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых чисел, удовлетворяющих условию $$x^2-5<|x|+5$$, равно:
$$1.$$ Если $$x<0$$, то $$x^2-5<-x+5$$,
$$(x-5)(x+5)+x-5<0$$,
$$(x-5)(x+6)<0$$, откуда $$x \in(-6;0)$$ (рис. 7).
$$2.$$ Если $$x≥0$$, то $$x^2-5<x+5$$,
$$(x-5)(x+5)-(x+5)<0$$,
$$(x+5)(x-6)<0$$, откуда $$x\in[0;6)$$ (рис. 8).
$$3.$$ Решение неравенства: $$x\in(-6;6).$$
Введите ответ в поле
Если $$x_0$$– наименьшее решение неравенства $$\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}\leq0$$, то значение выражения $$\sqrt[6]{(1- x_0^2)^6}$$ равно:
$$1.$$ $$ОДЗ:x≥2.$$
$$2.$$ $$x-2 \leq x+3,-2\leq 3$$, следовательно, $$x\inОДЗ$$.
$$3.$$ Так как $$x_0=2$$, то $$\sqrt[6]{(1-2^2)^6}=3$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Множество всех решений неравенства $$|x+2|≥|2-x|+2$$ образует промежуток:
Решим неравенства на промежутках (рис. 2). 
1. Если $$ x\in(- \infty;-2]$$, то получим:
$$-x-2≥2-x+2, -2≥4$$.
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
2. Если $$x\in(-2;2] $$, то получим:
$$x+2≥2-x+2$$, $$x≥1$$.
Следовательно, $$x\in[1;2]$$ .
3. Если $$x\in(2;+ ∞) $$, то получим:
$$x+2≥-2+x+2,2≥0$$.
Следовательно, $$x\in(2;+ ∞)$$.
Решение неравенства: $$[1;+ ∞)$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Модуль суммы всех целых чисел, принадлежащих области определения функции $$y=\frac{\sqrt{24-2x-x^2}}{(x+1)^3}$$, равен:
$$1.$$ Область определения:
$$-x^2-2x+24≥0$$ и $$x\ne-1$$,
откуда $$x\in[-6;1)\cup(-1;4]$$ (рис. 6). 
$$2.$$ $$|-6-5-4-3-2+0+1+2+3+4|=11.$$
Введите ответ в поле