Загрузка

Неравенства

Количество неотрицательных чисел, не являющихся решениями неравенства $$x^{3}+25x>10x^{2}$$, равно:
1.  $$x^{3}-10x^{2}+25x>0$$ , $$x(x-5)^{2}>0$$ , 
 откуда $$x\in (0;5)\cup (5;+\infty )$$ (рис. 1).
2.  Не являются решениями неравенства неотрицательные числа 0 и 5.                                                                                                                     
Выберите один из вариантов
Количество целых положительных решений неравенства $$\left | x^{2}-4x+3 \right |\geq |x^{2}-3x-1|$$ равно:
$$\left ( x^{2}-4x+3 \right )^{2}\geq (x^{2}-3x-1)^{2}$$, 
$$(4-x)(2x^{2}-7x+2)\geq 0$$, 
$$x\in\left ( -\infty;\frac{7-\sqrt{33}}{4} \right ]\cup \left [\frac{7+\sqrt{33}}{4};4 \right ]$$ (рис. 2). 
Целое положительное решение: 4.
                                                           
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$\sqrt{x^{2}+2x+1}> 2-x$$, не удовлетворяющих условию $$\left | x \right |> 5$$ , равно:
 1. $$\left | x+1 \right |> 2-x$$; $$\left[\ \begin{matrix} x+1>2-x, & \\ x+1<-2+x; & \end{matrix}\right.$$ $$\left[\ \begin{matrix} x>0,5  , & \\ 1<-2; & \end{matrix}\right.$$ $$x>0,5$$ .
 2.  $$(1+2+3+4+5):5=3$$ .
Выберите один из вариантов
Середина промежутка, являющегося решением неравенства $$\sqrt{3}^{\sqrt{x}-x}\geq \sqrt{2}^{x-\sqrt{x}}$$ , равна:
1. ОДЗ: $$x\geq0$$ . 
2. $$\sqrt{3}^{\sqrt{x}-x}\cdot\sqrt{2}^{\sqrt{x}-x}\geq \sqrt{2}^{x-\sqrt{x}}\cdot\sqrt{2}^{\sqrt{x}-x}$$,
 $$\sqrt{6}^{\sqrt{x}-x}\geq 1$$, $$\sqrt{x}-x\geq 0$$,
$$\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\geq 0$$, откуда $$x\in [0;1]$$ (рис. 3). 
3. $$(0+1):2=0,5$$ .
                                                                             
Выберите один из вариантов
Наименьшее натуральное решение неравенства $$\log _{2^{-1}}(5+x)\geq 2\log_{2^{-1}}(x-5)$$ равно:
1. ОДЗ: $$x>5$$.
2. $$5+x\leq (x-5)^{2} ,  x^{2}-11x+20\geq 0$$ ,
 $$x\in \left [\frac{11+\sqrt{41}}{2};+\infty \right )$$ (рис. 4). 
Так как $$\frac{11+\sqrt{41}}{2}\approx 8,7$$ ,то $$x=9$$ .
                                                                   
Выберите один из вариантов
Количество целых решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\frac{x^{2}-4}{x+2}\leq x-2,\\ &\frac{1}{x}-\frac{6}{x}\geq 1 \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равно:
$$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\frac{x^{2}-4}{x+2}-(x-2)\leq 0,\\ &\frac{5}{x}+1\leq 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$  $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\frac{0}{x+2}\leq 0,\\ &\frac{5+x}{x}\leq 0. \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$
1. Решение первого неравенства системы: 
$$x\in R/x\neq -2$$ . 
2. Решение второго неравенства системы: 
$$x\in [-5;0)$$ (рис.5). 
3. Целые решения системы неравенств: 
 $$–5$$;$$ –4$$;$$ –3$$; $$–1$$.
                                                           
Введите ответ в поле
Сумма всех целых положительных чисел, не удовлетворяющих условию 
$$\frac{x^{3}}{\left | x-4 \right |}\geq x^{2}-8x+16$$ , равна:
1. Если $$x<4$$ , то $$\frac{x^{3}}{-(x-4)}\geq (x-4)^{2}$$ , $$-x^{3}\geq (x-4)^{3}$$ , $$-x\geq x-4$$ , $$x\leq 2$$ – решение неравенства на этом промежутке. 
2. Если $$x>4$$ , то $$\frac{x^{3}}{(x-4)}\geq (x-4)^{2}$$ , $$x^{3}\geq (x-4)^{3}$$, $$x\geq x-4$$ , $$0\geq-4$$ ,следовательно, $$x>4$$  – решение неравенства на этом промежутке.
3. Решение неравенства: $$x\in \left ( -\infty;2 \right ]\cup (4;+\infty )$$. 
4. $$3+4=7$$ .
Введите ответ в поле
Количество всех целых решений неравенства $$\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}}\leq\sqrt{2+x} $$ равно:
1. ОДЗ: $$0< x\leq 4$$ .
2. $$\left (\sqrt{2+\sqrt{x}}+\sqrt{2-\sqrt{x}} \right )^{2}\leq 2+x$$ , 
$$2+\sqrt{x}+2\sqrt{4-x}+2-\sqrt{x}\leq 2+x$$ , 
$$2\sqrt{4-x}\leq x-2$$ , где $$x\geq 2$$ ,
 $$16-4x\leq x^{2}-4x+4$$ , $$x^{2}\geq 12$$ , $$\left | x \right |\geq 2\sqrt{3}$$ . 
3. Решение неравенства: $$\left | 2\sqrt{3};4 \right |$$ . 
4. Целое решение: 4.
Введите ответ в поле
Наименьшее целое решение неравенства  $$2\sqrt{18^{^x}}+8\cdot3^{x}< 6^{x}$$ равно:
1. Преобразуем неравенство: 
$$\frac{2\sqrt{18^{^x}}}{3^{0,5x}\cdot 6^{0,5x}}+\frac{8\cdot3^{x}}{3^{0,5x}\cdot 6^{0,5x}}< \frac{6^{x}}{3^{0,5x}\cdot 6^{0,5x}}$$ , 
$$2+\frac{8}{2^{0,5x}}-2^{0,5x}< 0$$ , 
$$2^{x}-2\cdot2^{0,5x}-8>0$$ . 
2. Найдем нули функции $$f(x)=2^{x}-2\cdot2^{0,5x}-8$$ . 
Полагая $$2^{0,5x}=a$$ , получим: 
$$a^{2}-2a-8=0$$ , откуда $$a_{1}=-2$$ , $$a_{2}=4$$ . 
Тогда, $$2^{0,5x}=4$$ , откуда $$x=4$$ . 
3. Решение неравенства (рис. 6): $$(4;+\infty )$$ .
                                                                         
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое целых неотрицательных чисел, не удовлетворяющих неравенству $$\sqrt{x^{2}-16x+63}\cdot\log _{x}2\geq 0$$ , равно:
1. ОДЗ: $$x>0$$ , $$x\neq1$$  и  $$x^{2}-16x+63\geq 0$$ , откуда 
$$x\in (0;1)\cup (1;7]\cup[9;+\infty)$$ (рис. 7).
2. Нули функции $$f(x)=\sqrt{x^{2}-16x+63}\cdot\log _{x}2$$ :
 $$x_{1}=7$$ , $$x_{2}=9$$ . 
3. Решение неравенства (рис. 8): 
$$x\in (1;7]\cup[9;+\infty)$$. 
4. $$(0+1+8):3=3$$ .
                                                                                                                                                                                                    
Введите ответ в поле