Загрузка

Неравенства

Равносильными являются неравенства: 
 1) $$15-5x\leq0$$ ; 
 2) $$10-x\leq4x-5$$ ; 
 3) $$2(x-3)\geq2x-3$$ ; 
 4) $$(x-3)(x+3)\geq x(x-1)-6$$.
Выполним равносильные преобразования неравенств: 
1) $$15-5x\leq0$$, $$-5x\leq-15$$,  $$x\geq3$$; 
2) $$10-x\leq4x-5$$, $$-5x\leq-15$$,  $$x\geq3$$; 
3) $$2x-6\geq2x-3$$,  $$0\geq3$$; 
4) $$x^2-9\geq x^2-x-6$$,  $$x\geq3$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$|x-5|\leq5$$ равно:
1. $$\left\{\begin{array}{l} x-5\leq5 , \\ x-5\geq-5; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} x\leq10 , \\ x\geq0; \end{array}\right.$$ $$x\in[0;10]$$. 
2. $$(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10):11=5.$$
Выберите несколько вариантов ответов
При $$x\geq0$$ не имеют решений неравенства: 
1) $$\sqrt x>2$$; 
2) $$\sqrt x>-2$$; 
3) $$\sqrt x<2$$; 
4) $$\sqrt x<-2$$; 
5) $$\sqrt x\leq0$$.
Не имеет решений неравенство $$\sqrt x<-2$$, так как $$\sqrt x\geq0$$,   $$а-2<0$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Наибольшее целое число, которое не является решением неравенства $$5^{x+5}>625$$, равно:
$$5^{x+5}>5^4$$,  $$x+5>4$$,  $$x>-1$$. Следовательно, $$x\neq-1$$.
Выберите несколько вариантов ответов
При $$x=1$$ не имеют решений неравенства: 
 1) $$log_{2}x>log_{3}(x+1)$$; 
 2) $$log_{x}5\leq-1$$; 
 3) $$lg(1-x^2)\geq x$$; 
 4) $$log_{2-x}(x+3)^3<0$$; 
 5) $$log_{5x}6>log_{7}(2-x)$$.

Не имеют решений неравенства: 
$$log_{x}5\leq-1$$, так как $$log_{1}5$$ не существует; 
$$lg(1-x^2)\geq x$$, так как $$lg_{}0$$ не существует;     
$$log_{2-x}(x+3)^3<0$$, так как $$log_{1}4^3$$ не существует.
Выберите несколько вариантов ответов
Сумма длин промежутков, образующих решение системы неравенств $$\left\{\begin{array}{l} x^2\leq2 , \\ x^2\geq1, \end{array}\right.$$ равна:
1. Решение первого неравенства системы: 
$$(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\leq0$$, $$x\in[-\sqrt2;\sqrt2]$$ (рис. 1). 
2. Решение второго неравенства системы: 
$$(x-1)(x+1)\geq0$$, $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ (рис. 2). 
3. Решение системы неравенств: 
$$x\in[-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2]$$. 
4.$$(-1+\sqrt2)+(\sqrt2-1)=2\sqrt2-2$$.
                                                            
Выберите несколько вариантов ответов
Среднее арифметическое всех целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств $$\left\{\begin{array}{l} |x|\geq-1 , \\ |2-x|\leq1, \end{array}\right.$$ равно:
1. Решение первого неравенства: $$x\in R$$ . 
2. Решение второго неравенства: 
$$-1\leq x-2\leq1$$,  $$1\leq x\leq3$$. 
3. Решение системы неравенств: $$1\leq x\leq3$$. 
Тогда, $$(1+2+3):3=2$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Длина промежутка, на котором на ОДЗ не выполняется неравенство $$x-15\sqrt x+56>0$$, равна:
1. ОДЗ: $$x\geq0$$. 
2. Найдем нули функции $$f(x)=x-15\sqrt x+56$$ . 
Полагая $$\sqrt x=a$$, получим: 
 $$a^2-15a+56=0$$, откуда $$a_1=7$$, $$a_2=8$$. 
Тогдa: $$x_1=49$$, $$x_2=64$$.
 3. Решение неравенства (рис. 3): $$[0;49]\cup[64;+\infty)$$. 
4. $$64-49=15$$.
                                   
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых решений неравенства $$5^{2+x}+5^{2-x}>50$$ на отрезке $$[-5,5;1,3]$$ равно:
1. $$25\cdot5^x+\frac{25}{5^x}>50$$,  $$5^{2x}-2\cdot5^x+1>0$$,  $$(5^x-1)^2>0$$, откуда $$x\neq0$$. 
2. Целые решения на заданном промежутке:
 –5; –4; –3; –2; –1;  1.
Выберите несколько вариантов ответов
Решением неравенства $$log_{x}\sqrt3+log_{\sqrt3}3x\geq0$$ является промежуток:
1. ОДЗ: $$x>0$$ и $$x\neq1$$. 
2. $$\frac{1}{2log_{3}x}+2(1+log_{3}x)\geq0$$.
3. Найдем нули функции $$f(x)=\frac{1}{2log_{3}x}+2log_{3}x+2$$. 
Полагая $$log_{3}x=a$$, получим: $$4a^2+4a+1=0$$, 
 откуда $$a=-0,5$$. 
Тогда, $$log_{3}x=-0,5$$, 
откуда $$x=\frac{1}{\sqrt3}$$. 
3. Решение неравенства: $$(1;+\infty)$$ и $$3^{-0,5}$$ (рис. 4).                                                                                                                                                                                        
Выберите несколько вариантов ответов