Загрузка

Числовые последовательности

Если девяносто восьмой член арифметической прогрессии равен $$-21$$, а сотый ее член равен $$-15$$, то разность этой прогрессии равна:

  1. Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, увеличенному на одно и тоже число $$d$$. Число $$d$$ называют разностью арифметической прогрессии.
  2. Свойство $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

    $$a_{n}=\frac{1}{2}\left ( a_{n-1}+a_{n+1} \right )$$.

Согласно условию задачи $$a_{98}=-21$$, а $$a_{100}=-15$$.

По свойству $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_{99}=\frac{1}{2}(a_{98}+a_{100})$$, $$a_{99}=\frac{1}{2}(-21-15)=-18$$.

Найдем разность этой прогрессии:

$$d=a_{99}-a_{98}=-18+21=3$$.

Разность прогрессии можно найти по формуле: $$d=a_{n+1}-a_{n}$$.

Выберите один из вариантов

Если третий член арифметической прогрессии равен $$17$$, а ее шестой член равен $$23$$, то сумма первых десяти членов этой прогрессии равна:

  1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

    $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ ,

    где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.
  2. Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:

    $$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$ ,

    где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

  1. Так как $$a_3=17$$ и $$a_3=a_1+2d$$, а $$a_6=23$$ и $$a_6=a_1+5d$$,

    то решим систему уравнений:

    $$a_1+2d=17$$ и $$a_1+5d=23$$.

    Вычитая из второго уравнения первое, получим: $$3d=6$$, откуда $$d=2$$. Тогда $$a_1=13$$.
  2. Найдем сумму первых десяти членов этой прогрессии:

    $$S_{10}=\frac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=(2a_1+9d)\cdot 5$$;

    $$S_{10}=(2\cdot 13+9\cdot 2)\cdot 5=240$$.

Сумму $$n$$ первых членов арифметической прогрессии можно найти и по формуле: $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$.

Выберите один из вариантов

Если второй член арифметической прогрессии равен $$-12$$, а ее десятый член равен $$20$$, то сумма членов этой прогрессии с десятого по пятнадцатый равна:

  1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

    $$a_n=a_1+d(n-1)$$,

    где $$a_1$$ – первый член, $$d$$ – разность прогрессии.
  2. Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:

    $$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$.

  1. Так как $$a_{2}=-12$$ и $$a_2=a_1+d$$, а $$a_{10}=20$$ и $$a_{10}=a_1+9d$$ ,

    то решим систему уравнений:

    $$a_1+d=-12$$ и $$a_1+9d=20$$.

    Вычитая из второго уравнения первое, получим:

    $$8d=32$$, откуда $$d=4$$. Тогда $$a_1=-16$$.
  2. Найдем сумму первых девяти членов прогрессии:

    $$S_9=\frac{2a_1+8d}{2}\cdot 9=\frac{-32+32}{2}\cdot 9=0.$$
  3. Найдем сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии:

    $$S_{15}=\frac{2a_1+14d}{2}\cdot 15=(a_1+7d)\cdot 15=(-16+28)\cdot 15=180.$$
  4. Найдем сумму ее членов с десятого по пятнадцатый:

    $$S_{15}-S_9=180-0=180.$$

Сумма членов арифметической прогрессии с $$n$$-го по $$m$$-ый равна $$S_m-S_{n-1}$$.

Выберите один из вариантов

Количество всех натуральных двузначных чисел, при делении которых на $$5$$ в остатке получаем $$3$$, равно:

Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$,

где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

  1. Так как наименьшее двузначное число, кратное $$5$$, равно $$10$$, а остаток равен $$3$$, то $$a_1=13$$.
  2. Так как наибольшее двузначное число, кратное $$5$$, равно $$95$$, а остаток равен $$3$$, то $$a_n=98$$. Очевидно, что $$d=5$$.
  3. Согласно формуле $$n$$-го члена запишем:

    $$98=13+5(n-1)$$, $$5(n-1)=85$$, $$n-1=17$$, $$n=18$$.

Числа, кратные числу $$5$$, можно записать в виде $$5k$$, где $$k\in N$$, а числа, при делении которых на $$5$$ в остатке получаем $$r$$, в виде $$5k+r$$, где $$r$$ принимает одно из значений: $$1,$$ $$2,$$ $$3,$$ $$4.$$

Выберите один из вариантов

Если при делении шестого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается $$7$$, а при делении девятого члена на второй в частном получается $$11$$ и в остатке $$1$$, то первый член этой прогрессии равен:

Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$,

где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

Согласно условию задачи запишем:

  1. $$\frac{a_{6}}{a_{2}}=7$$ или $$a_6=7a_2$$, $$a_1+5d=7(a_1+d)$$,
    $$a_1+5d=7a_1+7d$$, $$2d=-6a_1$$, $$d=-3a_1$$;
  2. $$\frac{a_9}{a_2}=11+\frac{1}{a_2}$$ или $$a_9=11a_2+1$$, $$a_1+8d=11(a_1+d)+1$$,
    $$a_1+8d=11a_1+11d+1$$, $$3d+10a_1=-1$$.

    Подставляя $$d=-3a_1$$ в уравнение $$3d+10a_1=-1$$, получим:
    $$-9a_1+10a_1=-1$$, откуда $$a_1=-1$$.

Если при делении числа $$a$$ на число $$b$$ в частном получают число $$c$$, а в остатке число $$r$$, то записывают: $$\frac{a}{b}=c+\frac{r}{b}$$ или $$a=bc+r$$.

Выберите один из вариантов

Если известны $$b_{n-2}=\frac{4}{3}$$ и $$b_n=\frac{16}{27}$$ члены геометрической прогрессии, то ее знаменатель равен:

  1. Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же число $$q$$. Число $$q$$ называют знаменателем геометрической прогрессии.
  2. Свойство $$n$$-го члена геометрической прогрессии: $$b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$$.

  1. По свойству $$n$$-го члена геометрической прогрессии запишем:

    $$b_{n-1}=\sqrt{b_{n-2}\cdot b_n}$$ или $$b_{n-1}=\sqrt{\frac{4}{3} \cdot \frac{16}{27}}=\frac{8}{9}$$.
  2. Найдем знаменатель прогрессии:

    $$q=\frac{b_n}{b_{n-1}}$$, $$q=\frac{16}{27} \cdot \frac{9}{8}=\frac{2}{3}$$.

Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$$.

Выберите один из вариантов

Если второй член бесконечной убывающей геометрической прогрессии равен $$1$$, а сумма всех ее членов равна $$4$$, то знаменатель этой прогрессии равен:

  1. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:

    $$b_n=b_1 \cdot q^{n-1}$$,

    где $$b_1$$ – первый член прогрессии $$(b_1 \neq 0)$$, $$q$$ – знаменатель прогрессии $$(q \neq 1)$$.
  2. Если $$\left | q \right |<1$$, то члены прогрессии бесконечно убывают.

    Сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии находят по формуле:

    $$S=\frac{b_1}{1-q}$$.
  3. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab + b^2$$.

По формуле $$n$$-го члена $$b_2=b_1 \cdot q$$ или $$b_1 \cdot q = 1$$.
Так как сумма прогрессии равна $$4$$, то $$\frac {b_1}{1-q}=4$$.
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{b_1 \cdot q \cdot (1-q)}{b_1}=\frac{1}{4}$$,

$$\frac{q \cdot (1-q)}{1}=\frac{1}{4}$$,
$$4q^2-4q+1=0$$,
$$(2q-1)^2=0$$,
откуда $$2q-1=0$$, а $$q=0,5$$.

Различайте формулы:

  1. $$S_n=\frac{b_1 \cdot (1-q^n)}{1-q}$$ – сумма $$n$$ первых членов любой геометрической прогрессии;
  2. $$S=\frac{b_1}{1-q}$$ – сумма всех членов только бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Выберите один из вариантов

Если третий член геометрической прогрессии больше ее второго члена на $$18$$, а шестой меньше пятого на $$144$$, то сумма пяти первых членов этой прогрессии равна:

  1. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:

    $$b_n=b_1 \cdot q^{n-1}$$,

    где $$b_1$$ – первый член прогрессии $$(b_1 \neq 0)$$, $$q$$ – знаменатель прогрессии $$(q \neq 1)$$.
  2. Формула суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии:

    $$S_n=\frac{b_1 \cdot (1-q^n)}{1-q}$$.

  1. Согласно условию задачи запишем: $$\left\{\begin{array}{l} b_3-b_2=18,\\b_5-b_6=144;\end{array}\right.\left\{ \begin{array}{l} b_1 \cdot q^2-b_1 \cdot q=18,\\ b_1 \cdot q^4-b_1 \cdot q^5=144;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l} b_1 \cdot q(q-1)=18,\\ b_1 \cdot q^4(1-q)=144.\end{array}\right.$$
  2. Разделим второе уравнение на первое:

    $$q^3=-8$$, $$q=-2$$.
  3. Подставим это значение в первое уравнение:

    $$-2b_1(-2-1)=18$$, $$6b_1=18$$, $$b_1=3$$.
  4. Найдем сумму пяти первых членов этой прогрессии:

    $$S_5=\frac {b_1 \cdot (1-q^5)}{1-q}$$, $$S_5=\frac{3(1+32)}{1+2}=33$$.

Решая системы уравнений в задачах на геометрическую прогрессию, чаще всего удобнее выполнять деление этих уравнений.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$\left ( 1+0,5\sqrt{2}+0,5+... \right )\left ( 2-\sqrt{2} \right )$$ равно:

  1. Если $$\left | q \right |<1$$, то члены прогрессии бесконечно убывают.
  2. $$S=\frac{b_1}{1-q}$$ – сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

  1. Предположим, что в первой скобке записаны три числа бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а число $$1$$ – ее первый член. В таком случае должно выполняться равенство:

    $$\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=q<1$$.

    Действительно, $$\frac {0,5\sqrt2}{1}=\frac{\sqrt2}{2}$$ и $$\frac{0,5}{0,5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$.

    Следовательно, $$b_1=1$$, а $$q=\frac{\sqrt2}{2}$$.
  2. Тогда: $$1+0,5\sqrt2+0,5+...=\frac{1}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt2}$$, а

    $$(1+0,5\sqrt2+0,5+...)(2-\sqrt2)=2$$.

Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$$.

Введите ответ в поле

Три числа, сумма которых равна $$18$$, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Если второе число уменьшить в $$2$$ раза, а третье – на $$2$$, то получим три последовательных члена геометрической прогрессии, сумма которых будет равна:

  1. Если $$d>0$$, то арифметическая прогрессия возрастающая последовательность,
    а если $$d<0$$, то – убывающая последовательность.
  2. Свойство $$n$$-го члена геометрической прогрессии: $$b_n=\sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$$.

  1. Пусть числа $$a_1=x-d$$, $$a_2=x$$ и $$a_3=x+d$$ – члены данной арифметической прогрессии.
    Тогда:
    $$x-d+x+x+d=18$$,
    откуда $$3x=18$$, $$x=6$$.
    Следовательно, $$a_1=6-d$$, $$a_2=6$$ и $$a_3=6+d$$.
  2. Запишем члены геометрической прогрессии:
    $$b_1=6-d$$, $$b_2=3$$ и $$b_3=4+d$$.
    По свойству $$n$$-го члена получим:
    $$b^2_2=b_1 \cdot b_3$$, $$(6-d)(4+d)=9$$, $$24+2d-d^2=9$$, $$d^2-2d-15=0$$,
    откуда $$d_1=5$$, а $$d_2=-3$$.
    Но так как прогрессия убывающая, то $$d=-3$$.
  3. Тогда $$b_1=9$$, $$b_2=3$$ и $$b_3=1$$, а их сумма равна $$13$$.

Члены данной арифметической прогрессии можно было записать так:

$$a_1$$, $$a_2=a_1+d$$, $$a_3=a_1+2d$$.

Тогда их сумму находят так:

$$a_1+a_1+d+a_1+d=18$$, $$3a_1+2d=18$$.

Однако такой способ решения не рациональный.

Введите ответ в поле