1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии: 
   $$a_n=a_1+d(n-1)$$, 
   где $$a_1$$ – первый член, $$d$$ – разность прогрессии.
2. Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии: 
   $$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$.

1. Так как $$a_{2}=-12$$ и $$a_2=a_1+d$$, а $$a_{10}=20$$ и $$a_{10}=a_1+9d$$ , то решим систему уравнений:
   $$a_1+d=-12$$ и $$a_1+9d=20$$.
   Вычитая из второго уравнения первое, получим:
   $$8d=32$$, откуда $$d=4$$.
   Тогда $$a_1=-16$$. 
2. Найдем сумму первых девяти членов прогрессии:
   $$S_9=\frac{2a_1+8d}{2}\cdot 9$$, $$S_9=\frac{-32+32}{2}\cdot 9=0$$. 
3. Найдем сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии:
   $$S_{15}=\frac{2a_1+14d}{2}\cdot 15$$, $$S_{15}=(a_1+7d)\cdot 15$$, $$S_{15}=(-16+28)\cdot 15=180$$. 
4. Найдем сумму ее членов с десятого по пятнадцатый:
   $$S_{15}-S_9=180-0=180$$.

Сумма членов арифметической прогрессии с $$n$$-го по $$m$$-ый равна:

 $$S_m-S_{n-1}$$.

1. Составим систему уравнений:
   
   $$\begin{cases}a_{2}+a_{6}=10,\\a_{4}\cdot a_{5}=35; \end{cases}$$ $$\begin{cases}(a_{1}+d)+(a_{1}+5d)=10,\\(a_{1}+3d) \cdot (a_{1}+4d)=35; \end{cases}$$ $$\begin{cases}a_{1}+3d=5,\\(a_{1}+3d) \cdot (a_{1}+4d)=35; \end{cases}$$ $$\begin{cases}a_{1}+3d=5,\\a_{1}+4d=7. \end{cases}$$
2. Вычитая из второго уравнения первое, получим: $$d=2$$.

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему, увеличенному на одно и то же число $$d$$.

1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:
   $$a_n=a_1+d(n-1)$$,
   где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии. 
2. Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:
   $$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$,
   где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

1. Так как $$a_{3}=17$$ и $$a_{3}=a_{1}+2d$$, а $$a_{6}=23$$ и $$a_{6}=a_{1}+5d$$, то решим систему уравнений:  
   $$a_{1}+2d=17$$ и $$a_{1}+5d=23$$.
   Вычитая из второго уравнения первое, получим:
   $$3d=6$$, откуда $$d=2$$.
   Тогда $$a_{1}=13$$. 
2. Найдем сумму десяти первых членов этой прогрессии:
   $$S_{10}=\frac{2a_{1}+9d}{2}\cdot 10$$, $$S_{10}=(2a_{1}+9d)\cdot 5$$, $$S_{10}=(2\cdot 13+ 9\cdot 2)\cdot 5=220$$.

Сумму n первых членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

$$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$.

Сумму $$n$$ первых членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

$$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$.

1. Так как наименьшее трехзначное число, кратное числу $$4$$, равно $$100$$, то $$a_{1}=100$$. 
2. Так как наибольшее двухзначное число, не превосходящее число $$150$$ и кратное числу $$4$$, равно $$148$$, то $$a_{n}=148$$. 
3. Найдем количество членов прогрессии, учитывая что $$d=4$$: 
   $$148=100+4\cdot (n-1)$$, откуда $$n=13$$.
4. Согласно формуле $$n$$-го члена получим:
   $$S_{13}=\frac{100+148}{2}\cdot 13=1$$ $$612$$.

Число делится на $$4$$, если две последние цифры в записи этого числа образуют число, которое делится на $$4$$.

Число $$148$$ делится $$4$$, так как число $$48$$ делится $$4$$.

1. Найдем разность прогрессии:
   $$d=a_{2}-a_{1}$$, $$d=2-3=-1$$. 
2. Найдем сумму пяти первых членов прогрессии:
   $$S_{5}=\frac{2a_{1}+4d}{2}\cdot 5$$, $$S_{5}=(a_{1}+2d) \cdot 5$$, $$S_{5}=(3-2) \cdot 5=5$$.

1. Зная $$a_{1}=3$$ и $$d=-1$$, запишем $$5$$ первых членов прогрессии:
   $$3$$; $$2$$; $$1$$, $$0$$; $$-1$$. 
2. Найдем их сумму: $$3+2+1+0-1=5$$.

1. Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, увеличенному на одно и тоже число $$d$$.
   Число $$d$$ называют разностью арифметической прогрессии.
2. Свойство $$n$$-го члена арифметической прогрессии:
   $$a_{n}=\frac{1}{2}\left ( a_{n-1}+a_{n+1} \right )$$.

1. Найдем разность этой прогрессии:
   $$d=a_{3}-a_{2}$$, $$d=-7+2=-5$$. 
2. Найдем первый член прогрессии:
   $$a_{1}=a_{2}-d$$, $$a_{1}=-2+5=3$$. 
3. Найдем пятый член прогрессии:
   $$a_{5}=a_{1}+4d$$, $$a_{5}=3+4 \cdot(-5)=-17$$.

1. $$d=-7+2=-5$$; 
2. $$a_{4}=a_{3}+4$$, $$a_{4}=-7-5=-12$$; 
3. $$a_{5}=a_{4}+d$$, $$a_{5}=-12-5=-17$$.

1. По свойству $$n$$-го члена арифметической прогрессии:
   $$a_{99}=\frac{1}{2}(a_{98}+a_{100})$$, $$a_{99}=\frac{1}{2}(-21-15)=-18$$. 
2. Найдем разность этой прогрессии:
   $$d=a_{99}-a_{98}$$, $$d=-18+21=3$$.

Задачу можно решить иначе:

$${\begin{cases}a_{1}+97d=-21,\\a_{1}+99d=-15;\end{cases}}$$ 

$$2d=-15+21$$, откуда $$d=3$$. 

1. Найдем первый член прогрессии:
   $$a_{3}=a_{1}+2d$$, $$2=a_{1}+1$$, откуда $$a_{1}=1$$. 
2. По формуле суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии получим:
   $$27=\frac{2\cdot 1+0,5(n-1)}{2}\cdot n$$; $$(2+0,5n-0,5)\cdot n=54$$;
   $$0,5n^{2}+1,5n-54=0$$; $$n^{2}+3n-108=0$$, откуда $$D=441$$, $$n=9$$.

1. Так как $$\frac{a_{6}}{a_{2}}=7$$, то
   $$a_6=7a_2$$, $$a_1+5d=7(a_1+d)$$, $$a_1+5d=7a_1+7d$$, $$2d=-6a_1$$, $$d=-3a_1$$. 
2. Так как $$\frac{a_9}{a_2}=11+\frac{1}{a_2}$$, то
   $$a_9=11a_2+1$$, $$a_1+8d=11(a_1+d)+1$$, $$a_1+8d=11a_1+11d+1$$, $$3d+10a_1=-1$$. 
3. Подставляя $$d=-3a_1$$ в уравнение $$3d+10a_1=-1$$, получим:
   $$-9a_1+10a_1=-1$$, откуда $$a_1=-1$$.

Если при делении числа $$a$$ на число $$b$$ в частном получают число $$c$$, а в остатке число $$r$$, то записывают: 

$$\frac{a}{b}=c+\frac{r}{b}$$ или $$a=bc+r$$.

1. Так как наименьшее двузначное число, кратное $$5$$, равно $$10$$, а остаток равен $$3$$, то $$a_1=13$$.
2. Так как наибольшее двузначное число, кратное $$5$$, равно $$95$$, а остаток равен $$3$$, то $$a_n=98$$, а $$d=5$$. 
3. Согласно формуле $$n$$-го члена запишем:
   $$98=13+5(n-1)$$, $$5(n-1)=85$$, $$n-1=17$$, $$n=18$$.

Сумма членов арифметической прогрессии с $$n$$-го по $$m$$-ый равна:

 $$S_m-S_{n-1}$$.