Загрузка

Арифметическая прогрессия

Если два первых члена арифметической прогрессии соответственно равны $$3$$ и $$2$$, то сумма пяти первых членов равна:

Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$,
где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

Согласно условию задачи:
$$a_{1}=3$$, $$a_{2}=2$$.
Найдем разность прогрессии:
$$d=a_{2}-a_{1}$$,
$$d=2-3=-1$$.
Найдем сумму пяти первых членов прогрессии:
$$S_{5}=\frac{2a_{1}+4d}{2}\cdot 5$$, 
$$S_{5}=(a_{1}+2d) \cdot 5$$, $$S_{5}=(3-2) \cdot 5=5$$.

Задачу можно решить иначе.

Зная $$a_{1}=3$$ и $$d=-1$$, запишем $$5$$ первых членов прогрессии:

$$3$$; $$2$$; $$1$$, $$0$$; $$-1$$.

Найдем их сумму:

$$3+2+1+0-1=5$$.

Введите ответ в поле

Количество всех натуральных двузначных чисел, при делении которых на $$5$$ в остатке получаем $$3$$, равно:

  1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

    $$a_n=a_1+d(n-1)$$,

    где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

1. Так как наименьшее двузначное число, кратное $$5$$, равно $$10$$, а остаток равен $$3$$, то $$a_1=13$$.
2. Так как наибольшее двузначное число, кратное $$5$$, равно $$95$$, а остаток равен $$3$$, то $$a_n=98$$. Очевидно, что $$d=5$$.
3. Согласно формуле $$n$$-го члена запишем:

$$98=13+5(n-1)$$
$$5(n-1)=85$$, 
$$n-1=17$$
$$n=18$$.

Сумма членов арифметической прогрессии с $$n$$-го по $$m$$-ый равна:

 $$S_m-S_{n-1}$$.

Выберите один из вариантов

Если второй член арифметической прогрессии равен $$-12$$, а ее десятый член равен $$20$$, то сумма членов этой прогрессии с десятого по пятнадцатый равна:

  1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

    $$a_n=a_1+d(n-1)$$,

    где $$a_1$$ – первый член, $$d$$ – разность прогрессии.
  2. Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:

    $$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$.

1 .Так как $$a_{2}=-12$$ и $$a_2=a_1+d$$, а $$a_{10}=20$$ и $$a_{10}=a_1+9d$$ , то решим систему уравнений:

$$a_1+d=-12$$ и $$a_1+9d=20$$.

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

$$8d=32$$, откуда $$d=4$$
Тогда $$a_1=-16$$.
2. Найдем сумму первых девяти членов прогрессии:

$$S_9=\frac{2a_1+8d}{2}\cdot 9$$, 
$$S_9=\frac{-32+32}{2}\cdot 9=0$$.
3. Найдем сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии:

$$S_{15}=\frac{2a_1+14d}{2}\cdot 15$$, 
$$S_{15}=(a_1+7d)\cdot 15$$, 
$$S_{15}=(-16+28)\cdot 15=180$$.
4. Найдем сумму ее членов с десятого по пятнадцатый:

$$S_{15}-S_9=180-0=180.$$

Сумма членов арифметической прогрессии с $$n$$-го по $$m$$-ый равна:

 $$S_m-S_{n-1}$$.

Выберите один из вариантов

Сумма трехзначных чисел, не превосходящих число $$150$$ и кратных числу $$4$$, равна:

Сумму $$n$$ первых членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

$$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$.

1. Так как наименьшее трехзначное число, кратное числу $$4$$, равно $$100$$, то $$a_{1}=100$$.
2. Так как наибольшее двухзначное число, не превосходящее число $$150$$ и кратное числу $$4$$, равно $$148$$, то $$a_{n}=148$$.
3. Найдем количество членов прогрессии, учитывая что $$d=4$$:
$$148=100+4\cdot (n-1)$$, откуда $$n=13$$.
4. Согласно формуле n-го члена получим:
$$S_{13}=\frac{100+148}{2}\cdot 13=1612$$.

Число делится на $$4$$, если две последние цифры в записи этого числа образуют число, которое делится на $$4$$.

Число $$148$$ делится $$4$$, так как число $$48$$ делится $$4$$.

Введите ответ в поле

Если третий член арифметической прогрессии равен $$-7$$, а второй ее член равен $$-2$$, то пятый член этой прогрессии равен:

  1. Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, увеличенному на одно и тоже число $$d$$. Число $$d$$ называют разностью арифметической прогрессии.
  2. Свойство $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

    $$a_{n}=\frac{1}{2}\left ( a_{n-1}+a_{n+1} \right )$$.

Согласно условию задачи:

 $$a_{2}=-2$$, а $$a_{3}=-7$$.

Найдем разность этой прогрессии:
$$d=a_{3}-a_{2}$$, 
$$d=-7+2=-5$$.

Найдем первый член прогрессии:
$$a_{1}=a_{2}-d$$,
$$a_{1}=-2+5=3$$.
Найдем пятый член прогрессии:
$$a_{5}=a_{1}+4d$$,
$$a_{5}=3+4 \cdot(-5)=-17$$.

Задачу можно решить иначе:

1) $$d=-7+2=-5$$;

2) $$a_{4}=a_{3}+4$$, $$a_{4}=-7-5=-12$$;

3) $$a_{5}=a_{4}+d$$, $$a_{5}=-12-5=-17$$.

Введите ответ в поле

Если при делении шестого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается $$7$$, а при делении девятого члена на второй в частном получается $$11$$ и в остатке $$1$$, то первый член этой прогрессии равен:

Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$,

где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

1.  Так как $$\frac{a_{6}}{a_{2}}=7$$, то 

$$a_6=7a_2$$

$$a_1+5d=7(a_1+d)$$,

$$a_1+5d=7a_1+7d$$
$$2d=-6a_1$$
$$d=-3a_1$$;

2. Так как $$\frac{a_9}{a_2}=11+\frac{1}{a_2}$$, то 
$$a_9=11a_2+1$$
$$a_1+8d=11(a_1+d)+1$$,
$$a_1+8d=11a_1+11d+1$$
$$3d+10a_1=-1$$.

3. Подставляя $$d=-3a_1$$ в уравнение $$3d+10a_1=-1$$, получим:
$$-9a_1+10a_1=-1$$, откуда $$a_1=-1$$.

Если при делении числа $$a$$ на число $$b$$ в частном получают число $$c$$, а в остатке число $$r$$, то записывают: 

$$\frac{a}{b}=c+\frac{r}{b}$$ или $$a=bc+r$$.

Выберите один из вариантов

Если сумма второго и шестого членов арифметической прогрессии равна $$10$$, а произведение четвертого и пятого равно $$35$$, то разность прогрессии равна:

  1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

    $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ ,

    где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

1. Решим систему уравнений:
$$\begin{cases}a_{2}+a_{6}=10,\\a_{4}\cdot a_{5}=35; \end{cases}$$ $$\begin{cases}(a_{1}+d)+(a_{1}+5d)=10,\\(a_{1}+3d) \cdot (a_{1}+4d)=35; \end{cases}$$ $$\begin{cases}a_{1}+3d=5,\\(a_{1}+3d) \cdot (a_{1}+4d)=35; \end{cases}$$ $$\begin{cases}a_{1}+3d=5,\\a_{1}+4d=7. \end{cases}$$
Вычитая из второго уравнения первое, получим:
$$d=2$$.

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему, увеличенному на одно и то же число $$d$$.

Введите ответ в поле

Если третий член арифметической прогрессии равен $$17$$, а ее шестой член равен $$23$$, то сумма первых десяти членов этой прогрессии равна:

1. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$,

где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

2. Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$,
где $$a_1$$ – первый член прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии.

1.  Так как $$a_{3}=17$$ и $$a_{3}=a_{1}+2d$$, а $$a_{6}=23$$ и $$a_{6}=a_{1}+5d$$, то решим систему уравнений:

$$a_{1}+2d=17$$ и  $$a_{1}+5d=23$$.

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

$$3d=6$$, откуда $$d=2$$.

Тогда $$a_{1}=13$$.

2. Найдем сумму десяти первых членов этой прогрессии:

$$S_{10}=\frac{2a_{1}+9d}{2}\cdot 10$$,

$$S_{10}=2a_{1}+9d\cdot 5$$,

$$S_{10}=(2\cdot 13+ 9\cdot 2)\cdot 5=240$$.

Сумму n первых членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

$$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$.

Выберите один из вариантов

Если третий член арифметической прогрессии равен $$2$$, разность прогрессии равна $$0,5$$, а сумма всех ее членов равна $$27$$, то количество членов прогрессии равно:

Формула суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$,

где $$a_1$$ – первый член, $$d$$ – разность прогрессии.

Согласно условию задачи:

$$a_{3}=2$$; $$d=0,5$$; $$S_{n}=27$$.

Найдем первый член прогрессии:

$$a_{3}=a_{1}+2d$$, 

$$2=a_{1}+1$$, откуда $$a_{1}=1$$.

По формуле суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии получим:

$$27=\frac{2\cdot 1+0,5(n-1)}{2}\cdot n$$,

$$(2+0,5n-0,5)\cdot n=54$$,

$$0,5n^{2}+1,5n-54=0$$,

$$n^{2}+3n-108=0$$,

откуда $$D=441$$, $$n=9$$.

Уравнение $$n^{2}+3n-108=0$$ имеет два действительных корня:

$$n_{1}=\frac{-3+21}{2}=9$$, $$n_{2}=\frac{-3-21}{2}=-12$$.

Число $$-12$$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество членов прогрессии не может выражаться отрицательным числом.

Введите ответ в поле

Если девяносто восьмой член арифметической прогрессии равен $$-21$$, а сотый ее член равен $$-15$$, то разность этой прогрессии равна:

Свойство $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n+1})$$.

Согласно условию задачи:
$$a_{98}=-21$$, $$a_{100}=-15$$.
По свойству n-го члена арифметической прогрессии:
$$a_{99}=\frac{1}{2}(a_{98}+a_{100})$$, 
$$a_{99}=\frac{1}{2}(-21-15)=-18$$.
Найдем разность этой прогрессии:
$$d=a_{99}-a_{98}=-18+21=3$$.

Задачу можно решить иначе:

$${\begin{cases}a_{1}+97d=-21,\\a_{1}+99d=-15;\end{cases}}$$ 

$$2d=-15+21$$, откуда $$d=3$$. 

Выберите один из вариантов