Загрузка

Неравенства

Среднее арифметическое целых решений неравенства $$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}\leq 0$$  равно:
1. Решения неравенства (рис. 1): 
$$x\in (-2;-1) \cup (-1;1]$$ . 
2. $$(0+1):2=0,5$$ .
                                                               
Выберите один из вариантов
Количество целых решений неравенства $$\left | (\sqrt{7}+\left | x \right |) \left (\left | x \right |-7 \right )\right|< 0$$  равно:
Так как $$\sqrt{7}+\left | x \right |> 0$$ , то $$\left | x \right |-7< 0$$ ,
откуда $$x\in (-7;7)$$ . 
Целые решения: 
 $$–6$$; $$–5$$; $$–4$$; $$–3$$; $$–2$$; $$–1$$;  $$0$$;  $$1$$;  $$2$$;  $$3$$;  $$4$$;  $$5$$;  $$6$$.
Выберите один из вариантов
Середина промежутка, который образуют все решения неравенства $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3}\geq 1$$ , равна:
1.  ОДЗ:  $$x\geq 3$$ . 
2. $$(\sqrt{x+2})^{2}\geq (1+\sqrt{x-3})^{2}$$ , 
$$x+2\geq 1+2\sqrt{x-3}+x-3$$ , 
$$2\geq \sqrt{x-3}$$ , $$x-3\leq 4$$ , $$x\leq 7$$ . 
3.  Решение неравенства: $$[3;7]$$ .
4. $$(3+7):2=5$$ .
Выберите один из вариантов
Произведение всех целых чисел, которые образуют решение неравенства $$0,3^{x}-3\cdot0,3^{x+1}< 10^{-1}$$ на промежутке $$[-3;4)$$ , равно:
1.  $$0,3^{x}(1-3\cdot0,3)< 0,1$$ , 
$$0,3^{x}< 1$$ , откуда $$x> 0$$ .
2. $$1\cdot2\cdot3=6$$ .
Выберите один из вариантов
Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$\log_{2}(2+x)+\log_{2}(2-x)< 3$$ , равна:
1.  ОДЗ: $$x\in (-2;2)$$ .
2.  $$\log_{2}(2+x)(2-x)< 3$$ , 
$$4-x^{2}< 8$$ , 
$$x^{2}> -4$$ , 
Следовательно, $$x\in (-2;2)$$ . 
3.   $$2+2=4$$ .
Выберите один из вариантов
Наибольшее целое число, не принадлежащее области определения функции $$y=\frac{\sqrt{x^{2}-2x-24}}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$$, равно:
1.  Область определения: 
$$x^{2}-2x-24\geq 0$$  и  $$x> -1$$ ,
откуда $$x\in [6;+\infty )$$ (рис. 2).
2.  $$x\neq 5$$ .
                                                                   
Введите ответ в поле
Площадь фигуры, удовлетворяющей условию $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \left | y \right |+\left | x \right |\leq 4,\\ &\ \left | y \right |+\left | x \right |\geq 2, \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равна:
Неравенству $$\left | y \right |+\left | x \right |\leq 4$$   удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата и на его границе.  
Неравенству $$\left | y \right |+\left | x \right |\geq 2$$   удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных вне квадрата и на его границе (рис. 3). 
По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ найдем площади квадратов: 
$$S_{1}=\frac{8^{2}}{2}=32$$ , $$S_{2}=\frac{4^{2}}{2}=8$$ . 
Тогда, $$S=32-8=24$$ .
                                                                       
Введите ответ в поле
Целое решение (или сумма всех целых решений) неравенства $$\sqrt[4]{15+x}-\sqrt[4]{2-x}-1\geq 0$$      равно:
1. Рассмотрим функцию: $$f(x)=\sqrt[4]{15+x}-\sqrt[4]{2-x}-1$$ . 
$$D(f): -15\leq x\leq 2$$ .
Найдем нули функции, решая уравнение
$$\sqrt[4]{15+x}=1+\sqrt[4]{2-x}$$ .
Так как функция $$y=\sqrt[4]{15+x}$$   монотонно возрастает, а функция  $$y=1+\sqrt[4]{2-x}$$   монотонно убывает, то уравнение имеет не более одного корня. 
Убедимся, что $$x=1$$ – корень уравнения:
$$\sqrt[4]{15+1}=1+\sqrt[4]{2-1}$$ , $$2=2$$ .
2. Решение неравенства (рис. 4): $$[1;2]$$ . 
3.  $$1+2=3$$ .
                                                                            
Введите ответ в поле
Количество целых чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\frac{\sqrt{{7-8\cdot7^{x}}+49^{x}}}{x^{2}-16}$$ и удовлетворяющих условию $$x^{2}\leq 49$$ , равно:
1. Решим неравенство  $$49^{x}-8\cdot7^{x}+7\geq 0$$ . 
Найдем корни уравнения: $$49^{x}-8\cdot7^{x}+7=0$$ .
Получим: $$7^{x}=1$$ , откуда  $$x=0$$ ; $$7^{x}=7$$ , откуда  $$x=1$$ . 
Решение неравенства: $$x\in [-7;0]\cup[1;7]$$ (рис. 5). 
2. Учитывая, что $$x\neq \pm 4$$ , получим: 
$$–7$$; $$–6$$; $$–5$$; $$–3$$; $$–2$$; $$–1$$;  $$0$$;  $$1$$;  $$2$$;  $$3$$;  $$5$$;  $$6$$;  $$7$$.
                                                                         
Введите ответ в поле
Сумма целых неотрицательных решений неравенства   $$\log _{10-x}(x^{2}+8x+15)>\log _{10-x}15 $$   равна:
1. Выполним преобразования: 
$$\log_{10-x}\frac{x^{2}+8x+15}{15}> 0$$ . 
2. Рассмотрим функцию:
$$f(x)=\log_{10-x}\frac{x^{2}+8x+15}{15}$$ . 
$$D(f)$$: $$x<10$$ , $$x\neq 9$$ , $$x^{2}+8x+15> 0$$ ,
откуда $$x\in (-\infty ;-5)\cup(3;9)\cup(9;10)$$ (рис. 6).
Нули функции:  $$\frac{x^{2}+8x+15}{15}=1$$ , $$x^{2}+8x=0$$ , 
откуда $$x=-8$$ , $$x=0$$ . 
3. Решение неравенства (рис. 7): 
$$x\in (-\infty ;-8)\cup(0;9)$$ . 
4.  $$1+2+3+4+5+6+7+8=45$$ .
                                                                
Введите ответ в поле