Загрузка

Неравенства

Количество целых чисел, являющихся решениями неравенства $$\frac{3x^{2}-16x+5}{x^{2}-2x-15}\leq 0$$ , равно:
1. Запишем неравенство в виде: $$\frac{(3x-1)(x-5)}{(x+3)(x-5)}\leq 0$$ . 
2. Решения неравенства (рис. 1): $$x\in \left(-3;\frac{1}{3} \right ]$$ . 
3. Целые решения неравенства: $$–2$$; $$–1$$; $$0$$ .
                                                       
Выберите один из вариантов
Количество целых неотрицательных решений неравенства $$2x^{2}-21\left | x \right |-11\leq 0$$  равно:
Найдем нули функции $$f(x)=2x^{2}-21\left | x \right |-11$$ :
1) $$\left | x \right |=-0,5$$ , откуда $$x\in \varnothing $$ ; 
2) $$\left | x \right |=11$$ , откуда $$x=\pm 11$$ . 
Решение неравенства (рис.2):
$$ x\in \left [ -11;11 \right ]$$ .
Целые неотрицательные решения: 
$$0$$; $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$; $$8$$; $$9$$; $$10$$; $$11$$ .
                                                              
Выберите один из вариантов
Число целых положительных решений неравенства $$ \sqrt{x^{2}-13x+36}\cdot \sqrt[3]{x-3}\leq 0$$ равно:
1.  ОДЗ:  $$x^{2}-13x+36\geq 0$$ , 
откуда $$x\in (-\infty ;4]\cup \left [9;+\infty   \right )$$ (рис. 3). 
2. Решение неравенства (рис. 4): 
$$x\in \left (-\infty ;3 \right ]\cup \left \{ 4;9 \right \}$$ . 
3. Целые положительные решения: $$1$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$9$$.
                                                              
Выберите один из вариантов
Множество решений неравенства $$5^{-x}+0,2^{x-1}< 0,2^{x}$$ имеет вид:
$$0,2^{x}+0,2^{x}\cdot 5< 0,2^{x}$$ , 
$$0,2^{x}< 0$$ , откуда  $$x\in \varnothing$$ .
Выберите один из вариантов
Множество всех решений неравенства $$\lg x+\log _{0,1}(1+x)>\log _{0,1}(x-1)$$ имеет вид:
1.  ОДЗ: $$x>1$$ . 
2. $$\lg x-\lg(1+x)+\lg(x-1)>0$$ ,
 $$\frac{x(x-1)}{1+x}>1$$ , $$\frac{x^{2}-2x-1}{1+x}>0$$ ,
 откуда $$x\in \left ( 1+ \sqrt{2};+\infty \right )$$ (рис. 5).
                                                                      
Выберите один из вариантов
Разность наибольших положительного и отрицательного чисел, принадлежащих области определения функции  $$f(x)=\sqrt{\frac{24-2x-x^{2}}{(x+1)^{3}}}$$ , равна:
1. $$\frac{24-2x-x^{2}}{(x+1)^{3}}\geq 0$$ , $$\frac{(x-4)(x+6)}{(x+1)^{3}}\leq 0$$ , 
откуда $$x\in \left ( -\infty ;-6 \right ]\cup \left (-1;4 \right ]$$ (рис. 6).
2.  $$4+6=10$$ .
                                                                 
Введите ответ в поле
Площадь фигуры (с точностью до целых), удовлетворяющей неравенствам $$\left | x+1 \right |+\left | y-2 \right |\geq 3$$ и $$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\leq 9$$ , равна:
Имеем квадрат и окружность с центрами в точке  $$А(-1;2)$$ (рис. 7). 
                                                                             
Неравенству $$\left | x+1 \right |+\left | y-2 \right |\geq 3$$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных вне квадрата и на его границе. 
Неравенству $$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\leq 9$$  удовлетворяют координаты всех точек круга.
По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ найдем площадь квадрата: $$S=\frac{6^{2}}{2}=18$$ .
По формуле $$S=\pi r^{2}$$ найдем площадь круга: $$S=9\pi$$ .
Тогда, $$S=9\pi -18\approx 9\cdot 3,14-18\approx 10$$ .
Введите ответ в поле
Количество всех целых решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ \sqrt{5x-x^{2}}\leq 5-x,\\ &\ 2\sqrt{5-x}\geq \sqrt{5x-x^{2}} \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ равно:
1.  ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\ 5x-x^{2}\geq 0,\\ &\ 5-x\geq 0; \end{aligned} &\end{matrix}\right.$$ $$0\leq x\leq 5$$ .
2. Решение первого неравенства системы: 
$$5x-x^{2}\leq 25-10x+x^{2}$$ , 
$$2x^{2}-15x+25\geq 0$$ , 
откуда $$x\in [0;2,5]\cup \left \{ 5 \right \}$$ (рис. 8). 
3. Решение второго неравенства системы: 
$$20-4x\geq 5x-x^{2}$$ , 
$$x^{2}-9x+20\geq 0$$ , 
откуда $$x\in [0;4]\cup \left \{ 5 \right \}$$ (рис. 9). 
4. Решение системы неравенств: $$x\in [0;2,5]\cup \left \{ 5 \right \}$$ .
5. Целые решения: $$0$$; $$1$$; $$2$$; $$5$$ .
                                                                          
Введите ответ в поле
Количество целых чисел, принадлежащих области определения функции $$f(x)=\frac{\sqrt{7-8\cdot 7^{x}+49^{x}}}{\sqrt{x^{2}-16}}$$ и удовлетворяющих условию $$x^{2}\leq 49$$ , равно:
1. Решим неравенство $$49^{x}-8\cdot 7^{x}+7\geq 0$$ . 
Найдем корни уравнения $$49^{x}-8\cdot 7^{x}+7= 0$$ :
 $$7^{x}=1$$ , откуда $$x=0$$ ; $$7^{x}=7$$ , откуда $$x=1$$ .
Решение неравенства (рис. 10): $$x\in \left [ -7;0 \right ]\cup \left [ 1;7 \right ]$$ .
2. Решим неравенство $$x^{2}-16> 0$$ , откуда $$\left | x \right |>4$$.
3. Решение системы неравенств: $$x\in \left [-7;4  \right)\cup \left ( 4;7 \right ]$$ .
4. Целые решения: $$–7$$; $$–6$$; $$–5$$; $$5$$; $$6$$; $$7$$ .                                                                                              
                                                                        
Введите ответ в поле
Сумма целых чисел, которые не являются решениями неравенства $$\log _{\log _{2}x}(x^{2}-10x+25)< 0$$ на отрезке $$[0;7]$$ , равна:
1. Рассмотрим функцию: 
$$f(x)=\log _{\log _{2}x}(x-5)^{2}$$ .
$$D(f)$$: $$x>0$$ , $$x\neq 5$$ , $$\log _{2}x>0$$ , $$\log _{2}x\neq 1$$ , 
откуда $$x>1$$ , $$x\neq 2$$ и $$x\neq 5$$ . 
Нули функции:
$$(x-5)^{2}=1$$ , $$x-5=\pm 1$$ , откуда $$x=6$$ или $$x=4$$ . 
2. Решение неравенства (рис. 11): 
$$x\in (1;2)\cup (4;5)\cup (5;6)$$ . 
3. $$1+2+3+4+5+6+7=28$$ .
                                                          
Введите ответ в поле