Загрузка

Неравенства

Количество целых неположительных решений неравенства $$x(3-\sqrt3)\geq\sqrt12-6$$   равно:
$$x(3-\sqrt3)\geq-2(3-\sqrt3)$$, откуда $$x\geq-2$$. 
Неположительные решения неравенства: 
$$–2; –1; 0.$$
Выберите несколько вариантов ответов
Разность квадратов наибольшего решения неравенства $$\left|\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+3}\right|\leq1$$ и обратного ему числа равна:
$$\left\{ \begin{aligned} \frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+3}&\leq1,\\ \frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+3}&\geq-1; \end{aligned} \right.$$ $$\left\{ \begin{aligned} \frac{4x-6}{x^2-2x+3}&\leq0,\\ \frac{2x^2}{x^2-2x+3}&\geq0; \end{aligned} \right.$$ $$\left\{ \begin{aligned} 2x-3\leq0,\\ x^2\geq0; \end{aligned} \right.$$ $$x\leq1,5$$. 
Тогда, $$\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{65}{36}.$$
Выберите один из вариантов
Множество всех решений неравенства $$\sqrt{x-3}+4\leq x$$ имеет вид:
1. Запишем неравенство в виде: $$\sqrt{x-3}+4-x\leq0$$. 
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x-3}+4-x$$. 
$$D(f):x\geq3$$.
Найдем нули функции: 
$$\sqrt{x-3}=x-4$$, где $$x\geq4$$, 
$$x-3=x^2-8x+16$$, 
$$x^2-9x+19=0$$,  
откуда $$x_1=\frac{9-\sqrt5}{2}$$ (посторонний корень), $$x_2=\frac{9+\sqrt5}{2}$$. 
3. Решение неравенства: $$[4,5+0,5\sqrt5;+\infty)$$ (рис. 1). 

                                                                       
Выберите несколько вариантов ответов
Сумма всех целых чисел, которые не являются решениями неравенства $$2^{x-4}\leq0,5^{16-x^2}$$, равна:
1. $$2^{x-4}>0,5^{16-x^2}$$, 
$$2^{x-4}>2^{x^2-16}$$, 
$$x-4>x^2-16$$, 
$$x^2-x-12<0$$, 
$$(x-4)(x+3)<0$$, 
$$x\in(-3;4)$$ (рис. 2). 
2. $$-2-1+0+1+2+3=3$$.
                                                                     
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых решений неравенства $$log_{\sqrt3}\sqrt x<2$$ равно:
1. ОДЗ: $$x>0$$. 
2. $$\sqrt x<3$$, откуда $$x<9$$. 
3. Целые решения: $$1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.$$
Выберите несколько вариантов ответов
Наименьшее целое решение неравенства $$4,5^{\frac{2(x-7)}{0,2}}>(0,5\cdot3^2)^{6x-5}$$  равно:
$$4,5^{10x-70}>4,5^{6x-5}$$, 
$$10x-70>6x-5$$, 
$$x>16,25$$.
Введите ответ в поле
Абсолютная величина наибольшего целого отрицательного решения неравенства $$2x^3+5x^2+x-2<0$$ равна:
Разложим многочлен на множители. Так как $$x=-1$$ – корень многочлена, то выполним деление:
                                                               
Получим: $$(x+1)(2x^2+3x-2)<0$$, 
откуда $$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;0,5)$$ (рис.3). 
Тогда, $$|-3|=3$$.
                                                               
Введите ответ в поле
Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства $$\frac{|x|+1}{|x|-1}<5$$ равна:
Если $$x<0$$, то $$\frac{-x+1}{-x-1}<5$$, $$\frac{x-1}{x+1}<5$$, $$\frac{-4x-6}{x+1}<0$$, $$\frac{2x+3}{x+1}>0$$, 
$$x\in(-\infty;-1,5)\cup(-1;0)$$ (рис. 4). 
Если $$x\geq0$$, то $$\frac{x+1}{x-1}<5$$, $$\frac{6-4x}{x-1}<0$$, $$\frac{2x-3}{x-1}>0$$, 
$$x\in[0;1)\cup(1,5;+\infty)$$ (рис. 5). 
Тогда, $$-2+2=0$$.
                                                             
Введите ответ в поле
Квадрат длины промежутка, который образует множество всех решений неравенства $$\sqrt{x^2+1}\geq x^2-1$$, равен:
1. Запишем неравенство в виде: $$\sqrt{x^2+1}-x^2+1\geq0$$. 
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x^2+1$$. 
Нули функции: 
$$x^2+1=(x^2-1)^2$$, где $$x^2\geq1$$, 
$$x^2+1=x^4-2x^2+1$$, 
$$x^4-3x^2=0$$, 
$$x^2(x^2-3)=0$$, 
откуда $$x=0$$ – посторонний корень или $$x=\pm\sqrt3$$. 
3. Решение неравенства (рис. 6): $$[-\sqrt3;\sqrt3]$$. 
4. $$(\sqrt3+\sqrt3)^2=12$$.
                                                                  
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое нечетных целых решений неравенства $$\frac{1}{log_{3}x+2}>\frac{1}{log_{3}x-2}$$ равно:
$$\frac{4}{(log_{3}x+2)(log_{3}x-2)}<0$$, откуда $$\frac{1}{9}\leq x<9$$ (рис. 7). 
Тогда, $$(1+3+5+7):4=4$$.
                                                                      
Введите ответ в поле