Загрузка

Неравенства

Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$3(x+2)(3-x)>0$$ равно:
1. Решения неравенства (рис. 1): $$x\in(-2;3)$$. 
2. $$(-1+0+1+2):4=0,5$$.
                                                     
Выберите несколько вариантов ответов
Решение неравенства $$|(\sqrt2-x)(x+\sqrt2)|>(x-1)(x+1)$$ имеет вид:
$$\left [\begin{matrix} x^2-2>x^2-1,\hfill\\ x^2-2<-x^2+1; \end{matrix}\right.$$ $$\left [\begin{matrix} 0>1,\hfill\\ x^2<1,5; \end{matrix}\right.$$ $$|x|<\sqrt{1,5}$$, 
откуда $$x\in(-\sqrt{1,5};\sqrt{1,5})$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Множество всех решений неравенства $$3^{\sqrt x-3}\geq-3^3$$ имеет вид:
ОДЗ: $$x\geq0$$. 
Неравенство выполняется на ОДЗ.
Выберите несколько вариантов ответов
Длина промежутка, который является решением неравенства $$log_{0,3}(x+3)>2$$, равна:
ОДЗ: $$x>-3$$. 
2. $$x+3<0,09$$, откуда $$x<-2,91$$. 
3. $$-2,91+3=0,09$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Все решения неравенства $$\sqrt{x-3}+4\geq x$$ удовлетворяют условию:
1. Запишем неравенство в виде: $$\sqrt{x-3}+4-x\geq0$$. 
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x-3}+4-x$$. 
$$D(f):x\geq3$$. 
Найдем нули функции: 
$$\sqrt{x-3}=x-4$$, где $$x\geq4$$, 
$$x-3=x^2-8x+16$$, $$x^2-9x+19=0$$, 
 откуда $$x_1=\frac{9-\sqrt5}{2}$$ (посторонний корень), $$x_2=\frac{9+\sqrt5}{2}$$. 
3. Решение неравенства: $$\left[3;\frac{9+\sqrt5}{2}\right]$$ (рис. 2).
                                                    
Выберите несколько вариантов ответов
Количество целых решений неравенства  $$2x-1<x^2<2x+1$$ равно:
$$\left\{ \begin{aligned} x^2&>2x-1,\\ x^2&<2x+1; \end{aligned} \right.$$ $$\left\{ \begin{aligned} (x-1)^2&>0,\\ x^2-2x-1&<0. \end{aligned} \right.$$ 
1. Решение первого неравенства системы: 
$$x\in R/x\neq1$$. 
2. Решение второго неравенства системы: 
$$x\in(1-\sqrt2;1+\sqrt2)$$ (рис. 3). 
3. Целые решения системы неравенств: $$0$$ и $$2$$.
                                                                 
Введите ответ в поле
Сумма всех целых решений неравенства $$x^3+6x^2+12|x|+8>0$$, принадлежащих промежутку $$[0;8)$$, равна:
Так как $$x\geq0$$, то $$x^3+6x^2+12x+8>0$$, $$(x+2)^2>0$$, $$x>-2$$. 
Решение неравенства: $$x\geq0$$. 
Тогда, $$0+1+2+3+4+5+6+7=28$$.
Введите ответ в поле
Сумма длин промежутков, которые образуют решения неравенства $$5x^2+2\leq11\sqrt{x^2}$$, увеличенная в $$1\frac{2}{3}$$ раза, равна:
1. Запишем неравенство в виде: $$5|x|^2-11|x|+2\leq0$$. 
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=5|x|^2-11|x|+2$$. 
Нули функции: 
 $$|x|=0,2$$, откуда $$x=\pm0,2$$ или $$|x|=2$$, откуда $$x=\pm2$$. 
3. Решение неравенства (рис. 4): $$[-2;-0,2]\cup[0,2;2]$$. 
4. $$\frac{5}{3}\cdot(-0,2+2+2-0,2)=6$$.
                                              
Введите ответ в поле
Количество целых решений неравенства $$\left(\frac{5}{6}\right)^{x^2}<1,2^{36-2x^2}\leq\left(\frac{25}{36}\right)^{-x^2}$$ равно:
1. $$1,2^{-x^2}<1,2^{36-2x^2}\leq1,2^{2x^2}$$, $$\left\{ \begin{aligned} 36-2x^2>-x^2,\\ 36-2x^2\leq2x^2; \end{aligned} \right.$$ $$\left\{ \begin{aligned} x^2<36, \\ x^2\geq9; \end{aligned} \right.$$ $$\left\{ \begin{aligned} |x|<6, \\ |x|\geq3; \end{aligned} \right.$$ $$x\in(-6;-3]\cup[3;6)$$. 
2. Целые решения неравенства: $$–5; –4; –3; 3; 4; 5$$.
Введите ответ в поле
Разность наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства $$log_3(x^2+6x+9)\geq log_3(x^2+6x+5)$$ равна:
1. ОДЗ: $$(x+3)^2>0$$ и $$(x+1)(x+5)>0$$, откуда 
 $$x\in(-\infty;-5)\cup(-1;+\infty)$$ (рис.5).
2. $$x^2+6x+9\geq x^2+6x+5$$, откуда $$9\geq5$$, 
Следовательно, $$x\in(-\infty;-5)\cup(-1;+\infty)$$. 
3. $$-6-1=-7$$.
                                                        
Введите ответ в поле