Загрузка

Алгебраические функции

Укажите выражения, которые являются функциями:

1) $$5x-10y=8$$;

2) $$xy=-5$$;

3) $$\left | x \right |+ \left | y \right |=6$$;

4) $$y^{2}=x^{2}-1$$;

5) $$y=\sqrt{1+x^{2}}$$.

Функцией $$y=f(x)$$ называют такую зависимость переменной $$y$$ от переменной $$x$$, при которой каждому допустимому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$. При этом переменную $$x$$ называют независимой переменной или аргументом функции, а переменную $$y$$ – зависимой от $$x$$ переменной или значением функции.

Выразим явно $$y$$ в каждом из равенств:

  1. $$5x-10y=8$$, $$10y=5x-8$$, $$y=0,5x-0,8$$.
  2. Так как каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$, то это выражение является функцией. Например, пусть $$x=2$$, тогда $$y=0,5\cdot 2-0,8=0,2$$.

  3. $$xy=-5$$, $$y=\frac{-5}{x}$$ (где $$x\neq 0$$ ).
  4. Так как каждому значению $$x$$ cоответствует единственное значение $$y$$, то это выражение является функцией. Например, пусть $$x=1$$, тогда $$y=-5$$.

  5. $$\left | x \right |+\left | y \right |=6$$, $$\left | y \right |=6-\left | x \right |$$, $$y=\pm (6-\left | x \right |)$$, (где $$6-\left | x \right |\geq 0$$ ).
  6. Например, пусть $$x=3$$, тогда $$y=\pm 3$$ и выражение $$\left | x \right |+\left | y \right |=6$$ не является функцией.

  7. $$y^{2}=x^{2}-1$$, $$y=\pm \sqrt{x^{2}-1}$$ (где $$x^{2}\geq 1$$ ).
  8. Например, пусть $$x=4$$, тогда $$y=\pm \sqrt{15}$$ и выражение $$y^{2}=x^{2}-1$$ не является функцией.

  9. $$y=\sqrt{1+x^{2}}$$.
  10. Так как каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$, то это выражение является функцией. Например, пусть $$x=0$$, тогда $$y=1$$.

Выразить явно $$y$$ в равенстве $$f(x,y)=0$$ это значит, записать это равенство в виде $$y=f(x)$$.

Выберите один из вариантов

Графики функций $$f_{1}(x)=x^{3}+2x$$ и $$f_{2}(x)=-2x^{2}-1$$ пересекаются в точке:

Если точка $$A(x_{0};y_{0})$$ принадлежит графику функции $$y=f(x)$$ , то справедливо равенство $$y_{0}=f(x_{0})$$ .

Подставим координаты точек в каждое из уравнений:

1) рассмотрим точку $$A(1;-3)$$

$$ 1+2\neq -3$$, поскольку точка $$A$$ не принадлежит графику первой функции, то не имеет смысла проверять ее принадлежность графику второй функции;

2) рассмотрим точку $$B(5;3)$$

$$125+10\neq 3$$;

3) рассмотрим точку $$C(0;0)$$

$$0+0=0$$, но $$0-1\neq 0$$;

4) рассмотрим точку $$D(-1;-3)$$

$$-1-2=-3$$ и $$-2-1=-3$$;

5)рассмотрим точку $$E(1;-6)$$

$$1+2\neq -6$$.

Графики функций пересекаются в точке $$D(-1;-3)$$ .

  1. Если точка не принадлежит графику первой функции, то мы не проверяем ее принадлежность второму графику.
  2. Точку пересечения графиков функций $$y=f_{1}(x)$$ и $$y=f_{2}(x)$$ можно найти, решая систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} y=f_{1}(x) , & \\ y=f_{2}(x). & \end{matrix}\right.$$

Число решений системы равно числу точек пересечения линий. Если же система решений не имеет, то линии не пересекаются.

Однако в нашем случае этот способ решения не рациональный, так как могут возникнуть затруднения с решением уравнения $$x^{3}+2x=-2x^{2}-1$$.

Выберите один из вариантов

На множестве всех действительных чисел определены функции:

1) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$;

2) $$y=\sqrt{x+1}$$;

3) $$y=\left | x \right |+\left |2-x \right |$$;

4) $$y=\frac{x}{2+x}$$;

5) $$y=x^{2}+5x-1$$.

  1. Область определения функции $$D(f)$$ – множество всех допустимых значений переменной $$x$$.
  2. Множество всех действительных чисел обозначают $$R$$.

Запишем области определений данных функций:

1) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$, $$D(f): x\in R$$;

2) $$y=\sqrt{x+1}$$, $$D(f): x\geq -1$$;

3) $$y=\left | x \right |+\left |2-x \right |$$, $$D(f): x\in R$$;

4) $$y=\frac{x}{2+x}$$, $$D(f): x\in R/x\neq -2$$;

5) $$y=x^{2}+5x-1$$, $$D(f): x\in R$$.

На множестве всех действительных чисел определены функции $$1, 3$$ и $$5$$.

Находя область определения выражения, необходимо задавать себе вопрос: "При каком значении $$x$$ оно лишено смысла (нельзя найти значение этого выражения)?" Если таких чисел не найдется, то записать $$x\in R$$, а если найдутся, то исключить их из множества $$R$$.

Выберите один из вариантов

Нечетными являются функции:

1) $$f(x)$$$$=\left | 5-x \right |$$;

2) $$f(x) = x-2x^{2}+12$$;

3) $$f(x)= -25x$$;

4) $$f(x)=\frac{4x^{4}}{x^{2}+2}$$;

5) $$f(x)=\sqrt{2+x}$$.

1. Функция $$y=f(x)$$ четна, если:
a) $$D(f)$$ – симметричное множество относительно начала отсчета;
b) $$f(x)=f(-x)$$.
2. Функция $$y=f(x)$$ нечетна, если:
a) $$D(f)$$ – симметричное множество относительно начала отсчета;
b) $$f(x)=-f(-x)$$.
3. Числовое множество симметричное, если, наряду с элементом $$a,$$ оно содержит и элемент $$-a$$.
1. Функция $$f(x) =\left | 5-x \right |$$.  
$$D(f):x\in R$$ и $$f(-x)=\left | -5+x \right |$$,
следовательно, функция не является четной и не является нечетной.
2. Функция $$f(x) = x-2x^{2}+12$$. 
$$D(f):x\in R$$ и $$f(-x)=-x-2x^{2}+12$$,
следовательно, функция не является четной и не является нечетной.
3. Функция $$f(x)= -25x$$. 
$$D(f):x\in R$$ и $$f(-x)=25x$$,
следовательно, функция является нечетной.
4. Функция $$f(x)=\frac{4x^{4}}{x^{2}+2} .$$ 
$$D(f):x\in R$$ и $$f(-x)=\frac{4x^{4}}{x^{2}+2}$$,
следовательно, функция является четной.
5. Функция $$f(x)=\sqrt{2+x}$$. 
$$D(f): x\geq -2$$
(это множество не симметричное), следовательно, функция не является четной и не является нечетной.

Множество действительных чисел $$R$$ симметричное.

Выберите один из вариантов

Если некоторая прямая проходит через точку $$M(2;-2)$$ и параллельна прямой $$2x+4y=7$$, то ее уравнение имеет вид:

  1. Линейной называют функцию вида $$y=kx+b$$, где $$k$$ и $$b$$ – некоторые действительные числа. График линейной функции – прямая. Число $$k$$угловой коэффициент этой прямой.
  2. Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны, если $$k_{1}=k_{2}$$ и $$b_{1}\neq b_{2}$$.
 1. Уравнение прямой $$2x+4y=7$$ запишем в виде $$4y=-2x+7$$ или $$y=-0,5x+1,75$$. Угловой коэффициент этой прямой равен $$-0,5$$.
2. Так как искомая прямая $$y=kx+b$$ параллельна данной прямой, то $$k=-0,5$$, тогда $$y=-0,5x+b$$.
3. Так как искомая прямая проходит через точку $$M(2;-2)$$, то запишем:
$$-2=-0,5\cdot 2+b$$, откуда $$-2=-1+b$$, $$b=-1$$.
4. Запишем уравнение искомой прямой: 
$$y=-0,5x-1$$.

Если точка $$A(x_{0};y_{0})$$ принадлежит графику функции $$y=f(x)$$, то справедливо равенство $$y_{0}=f(x_{0})$$.

Выберите один из вариантов

Разность наибольшего целого числа из промежутка убывания и наименьшего целого числа из промежутка возрастания функции $$y=x^{2}+5x-2$$ равна:

  1. Функцию вида $$y=ax^{2}+bx+c$$, где $$a,b,c$$ – действительные числа $$(a\neq 0)$$, называют квадратичной.
  2. Графиком функции является парабола.
  3. Если $$a> 0$$, то ветви параболы направлены вверх, а если $$a<0$$, то – вниз.
  4. Координаты вершины параболы находят по формулам:
    $$x_{0}=\frac{-b}{2a}$$, $$y_{0}=f(x_{0})$$.
  5. Прямая $$x_{0}=\frac{-b}{2a}$$ – ось симметрии параболы.
1. Так как $$a=1> 0$$, то ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы:
$$x_{0}=\frac{-5}{2}=-2,5$$;
$$ y_{0}=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}-2=-8,25$$.
3. Запишем ось симметрии параболы: $$x_{0}=-2,5$$.
4.Построим схематически график функции (рис. 2.1).
                                                                                      
5. Функция убывает на промежутке $$(-\infty ;-2,5]$$; 
функция возрастает на промежутке $$[-2,5;+\infty)$$.
6. Найдем разность наибольшего целого числа из промежутка убывания и наименьшего целого из промежутка возрастания функции:
$$-3-(-2)=-3+2=-1$$.

Координаты вершины параболы в нашем случае находить не обязательно.

Выберите один из вариантов

Уравнение окружности с центром в точке $$P(3;-1)$$ и радиусом равным $$4$$ имеет вид:

  1. Если уравнение окружности имеет вид $$x^{2}+y^{2}=R^{2}$$,
    то ее центр находится в точке $$O(0;0)$$, а радиус равен $$R$$.
  2. Если уравнение окружности имеет вид $$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2},$$ то ее центр находится в точке $$O{}'(a;b)$$, а радиус равен $$R$$.

Так как $$a=3$$, $$b=-1$$, а $$R=4$$, то запишем:
$$(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=16$$.

Уравнение окружности можно записать иначе: 

$$\left | x-a \right |^{2}+\left | y-b \right |^{2}=R^{2}$$.

Выберите один из вариантов

Уравнение квадрата с центром в точке $$P(-3;0)$$ и диагональю равной $$4$$ имеет вид:

  1. Если уравнение квадрата имеет вид $$\left | x \right |+\left | y \right |=\frac{d}{2}$$, то точка $$O(0;0)$$ – точка пересечения диагоналей квадрата, а $$d$$ – длина его диагонали.
  2. Если уравнение квадрата имеет вид $$\left | x -a\right |+\left | y -b\right |=\frac{d}{2}$$, то точка $$O{}'(a;b)$$ – точка пересечения диагоналей квадрата, а $$d$$ – длина его диагонали.

Так как $$a=-3$$, $$b=0$$, а $$d=4$$, то запишем:
$$\left | x+3 \right |+\left | y \right |=2$$.

Различайте:

1) $$\left | x-a \right |^{2}+\left | y-b \right |^{2}=R^{2}$$– уравнение окружности;

2) $$\left | x-a \right |+\left | y-b \right |=\frac{d}{2}$$– уравнение квадрата.

Выберите один из вариантов

Если парабола проходит через точки $$A(1;2)$$ и $$B(-1;0)$$, а прямая $$x=0,5$$ – ось ее симметрии, то сумма координат вершины параболы, увеличенная в $$8$$ раз, равна:

1. Уравнение параболы имеет вид: 
$$y=ax^2+bx+c$$, где $$a,b,c$$ – действительные числа$$(a\neq 0)$$.
2. Прямая $$x_{0}=\frac{-b}{2a}$$ – ось симметрии параболы.
3. Координаты вершины параболы находят по формулам: 
$$x_{0}=\frac{-b}{2a}$$;
$$y_{0}=f(x_{0})$$.
1. Так как $$\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}$$, то $$b=-a$$
Уравнение параболы имеет вид: 
$$y=ax^2-ax+c$$.
2. Так как парабола проходит через точки $$A(1;2)$$ и $$B(-1;0)$$, то получим:
$$\left\{\begin{matrix} a-a+c=2, & \\ a+a+c=0; & \end{matrix}\right.$$  $$\left\{ \begin{array}{lcl} c=2 ,\\ 2a=-2;\\ \end{array} \right.$$  $$\left\{ \begin{array}{lcl} c=2 ,\\ a=-1.\\ \end{array} \right.$$
3. Запишем уравнение параболы: 
$$y=-x^{2}+x+2$$.
4. Найдем координаты вершины параболы: 
$$x_{0}=\frac{1}{2},y_{0}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=\frac{9}{4}$$.
5. Найдем увеличенную $$8$$ раз сумму координат вершины параболы:
$$8\cdot \left (\frac{1}{2}+\frac{9}{4} \right )=4+18=22$$.

Если точка $$A(x_{0};y_{0})$$ принадлежит графику функции $$y=f(x)$$, то справедливо равенство $$y_{0}=f(x_{0})$$.

Введите ответ в поле

Количество точек пересечения графиков функций $$y=\left | x^{2} -2 \left |x \right |-3 \right |$$ и $$y=3$$ равно:

  1. Построение графика функции $$y=f(\left |x \right |)$$: часть графика функции $$y=f(x)$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси.
  2. Построение графика функции $$y=\left |f(x) \right |$$: часть графика функции $$y=f(x)$$ над осью $$Ox$$ оставляем, а ту, что под осью, отражаем симметрично этой оси.
  3. Теорема Виета: если имеем приведенное квадратное уравнение вида $$x^{2}+px+q=0$$, то сумма корней этого уравнения равна коэффициенту при переменной $$x$$, записанному с противоположным знаком, а произведение его корней равно свободному члену уравнения: $$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1}\cdot x_{2}=q$$.
  4. Координаты вершины параболы $$y=ax^2+bx+c$$ находят по формулам: $$x_{0}=\frac{-b}{2a}, y_{0}=f(x_{0})$$.
1. Построим схематически график функции $$y=x^{2}-2x-3$$ (1) (рис. 2.2). 
Для этого найдем:
1) нули функции, решая уравнение $$x^{2}-2x-3=0$$, откуда $$x_{1}=-1, x_{2}=3$$;
2) точку пересечения графика функции с осью ординат: $$(0;-3)$$;
3)координаты вершины параболы: 
$$x_{0}=\frac{2}{2}=1$$; $$y_{0}=1-2-3=-4$$.
                                                                                
2. Построим схематически график функции& $$y=\left | x \right |^{2}-2\left |x \right |-3$$ (2). 
Для этого часть графика функции $$y=x^{2}-2x-3$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. 2.2).
3. Построим график функции $$y=\left |\left |x \right |^{2}-2\left |x \right |-3 \right |$$ (3). 
Для этого часть графика функции $$y=\left |x \right |^{2}-2\left |x \right |-3$$ над осью $$Ox$$ оставляем, а ту, что под осью, отражаем симметрично этой оси (рис. 2.3).
                                                                                   
4. Построим прямую $$y=3$$ (4) (рис. 2.4). 
Из рисунка 2.4 видим, что графики данных функций имеют $$5$$ точек пересечения.
                                                                                 
1. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Чтобы найти нули функции $$y=f(x)$$, необходимо решить уравнение $$f(x)=0$$.
2. Справедливо равенство: 
$$a^{2}=\left | a \right |^{2}$$
3. Количество точек пересечения графиков данных функций можно найти, решая систему уравнений: 
$$y=\left |x ^{2}-2\left |x \right |-3\right|$$ и $$y=3$$.
Введите ответ в поле