1. Построение графика функции $$y=kf(x)$$: каждую ординату точки графика функции $$y=f(x)$$ увеличиваем в $$k$$ раз (растяжение графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Oy$$ при $$k>1$$ и сжатие – при $$0 ).
2. Чтобы построить график функции $$y=f(x+a)$$, необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Ox$$ влево на $$a$$ единичных отрезков при $$a>0$$ или вправо при $$a<0$$.
3. Функция $$y=cos x$$. $$D(f):x\in R$$, $$E(f): y\in[-1;1]$$.

Эту задачу можно решать и графически.

1. Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 0$$.
   $$D(f):x\in R$$; $$E(f):y\in (0;+\infty )$$.
2. Если $$a>0$$, то показательная функция монотонно возрастает, а если $$0 < a < 1$$, то функция монотонно убывает.
3. Построение графика функции $$y=f(\left |x \right |)$$: часть графика функции $$y=f(x)$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси.

Простые числа делятся только сами на себя и на число $$1$$. Число $$1$$ ни простое и ни составное.

1. Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
   $$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$.
2. Для функции $$y=tg x$$, $$T_{0}=\pi$$.
3. Для функции $$y=sin x$$, $$T_{0}=2\pi$$.

Если число $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то числа вида $$n\cdot T_{0}$$, где $$n\in N$$, также являются периодами этой функции.

1. Логарифмической называют функцию вида $$y=log_{a}x$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$. $$D(f):x\in (0;+\infty ); E(f):y\in R$$.
2. Если основание логарифмической функции $$a>1$$, то функция монотонно возрастает, а если $$0, то функция монотонно убывает.
3. Построение графика функции $$y=f(-x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Oy$$.

1. Построим схематически график функции $$y=log_{0,5}(-x)$$ (рис. 2.6).

   

2. Построим график функции$$y=log_{0,5}(-x)$$, отражая симметрично оси $$Oy$$ график функции $$y=log_{0,5}x$$ (рис. 2.6).
3. Функция $$y=log_{0,5}(-x)$$ отрицательна на промежутке $$(-\infty ;-1)$$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно: $$-2$$.

Если функция отрицательна, то ее график расположен под осью абсцисс, а если она положительна, то график расположен над осью абсцисс.

1. Построение графика функции $$y=f(kx)$$: каждую абсциссу точек графика функции $$y=f(x)$$ уменьшаем в $$k$$ раз (сжатие графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$OX$$ при $$k>1$$ и растяжение – при $$0 ).
2. Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
   $$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$.
3. Для функции $$y=cos x$$, $$T_{0}=2\pi$$.

1. Построим график функции $$y=cos x$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$ (рис. 2.9).
2. Построим график функции $$y=cos 2x$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$, найдя ее наименьший период: $$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$$ (рис. 2.10).

   

3. Параллельно оси абсцисс построим прямую $$y=\frac{1}{\sqrt{5}}$$.
4. Графики данных функций на отрезке $$[0;2\pi ]$$ пересекаются в четырех точках.

Если функция $$y=f(x)$$ тригонометрическая, то преобразование $$y=f(kx)$$ изменяет период этой функции.

1. Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$. $$D(f):x\in R;
   E(f):y\in(0;+\infty )$$.
2. Если $$a> 1$$, то функция $$y=a^{x}$$ монотонно возрастает, а если $$0< a< 1$$, то функция монотонно убывает.
3. Построение графика функции $$y=-f(x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Ox$$.

1. Построим схематично график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).

   

2. Построим график функции $$y=-0,2^{x}$$, отражая симметрично оси $$Ox$$ график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).
3. Область значений функции $$y=-0,2^{x}$$ промежуток $$(-\infty ;0)$$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$-1$$.

Ось $$Ox$$ – это ось абсцисс, а ось $$Oy$$ – ось ординат.

1. К обратным тригонометрическим функциям относят функции:
   $$y=arcsin x$$, $$y=arccos x$$, $$y=arctg x$$ и $$y=arcctg x$$.
2. Для функции $$y=sin x$$ обратная функция $$y=arcsin x$$ определена только на отрезке $$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$.
3. Для функции $$y=cosx$$ обратная функция $$y=arccosx$$ определена только на отрезке $$[0;\pi ]$$ .

1. Найдем середину отрезка$$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$, на котором обратима функция$$y=sin x$$. Получим:
   $$\left (-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2} \right )$$$$:2=0$$.
2. Найдем середину отрезка $$[0;\pi ]$$, на котором обратима функция $$y=cosx$$. Получим:
   $$(0+\pi ):2=\frac{\pi }{2}$$.
3. Найдем полусумму середин отрезков:
   $$\left (0+\frac{\pi}{2} \right ) :2=\frac{\pi }{4}$$$$=0,25\pi$$.

1. Для функции $$y=tg x$$ обратная функция $$y=arctg x$$ определена только на интервале $$\left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$$.
2. Для функции $$y=ctg x$$ обратная функция $$y=arcctg x$$ определена на интервале $$(0;\pi)$$.

Построение графика функции $$y=f(x)+b$$:
график функции $$y=f(x)$$ сдвигаем вдоль оси $$Oy$$ на $$b$$ единичных отрезков вверх при $$b> 0$$ или вниз при $$b< 0$$.

1. Сдвигая график функции, мы сдвигаем и его горизонтальные асимптоты $$y=\pi$$ и $$y=0$$ (прямые, которые график не может пересекать).
2. Число $$\pi$$ иррациональное: $$\pi$$$$=3,14159...$$

1. Числовое множество $$x\in \left \{ \right.R/x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n \left. \right \}$$$$,n\in Z$$ симметричное, так как в нем отсутствуют только пары противоположных чисел: $$\frac{\pi }{2}$$ и $$-\frac{\pi }{2}$$, $$\frac{3\pi }{2}$$ и $$- \frac{3\pi }{2}$$, …
2. Множество $$(0;+\infty )$$ не симметричное, так как оно содержит только положительные числа и не содержит чисел им противоположных.

1. Построим схематически графики функций $$y=log_{2}x$$ и $$y=sin x$$ (рис. 2.13).

   

2. Неравенство $$log_{2}x\leq sin x$$ выполняется на промежутке $$(0;2)$$, так как на этом промежутке график функции $$y=log_{2}x$$ расположен ниже графика функции $$y=sin x$$ . Этому промежутку принадлежит одно целое число: $$1$$.

Значение $$1$$ функция $$y=sin x$$ принимает при $$x=\frac{\pi }{2}<2$$, так как $$sin \frac{\pi }{2}=1$$, а функция $$y=log_{2}x$$ значение $$1$$ принимает при $$x=2$$, так как $$log_{2}2=1$$.