Загрузка

Трансцендентные функции

Наибольшее целое число из области значений функции $$y=-0,2^{x}$$ равно:

  1. Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$. $$D(f):x\in R;
    E(f):y\in(0;+\infty )$$
    .
  2. Если $$a> 1$$, то функция $$y=a^{x}$$ монотонно возрастает, а если $$0< a< 1$$, то функция монотонно убывает.
  3. Построение графика функции $$y=-f(x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Ox$$.
  1. Построим схематично график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).

  2. Построим график функции $$y=-0,2^{x}$$, отражая симметрично оси $$Ox$$ график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).
  3. Область значений функции $$y=-0,2^{x}$$ промежуток $$(-\infty ;0)$$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$-1$$.

Ось $$Ox$$ – это ось абсцисс, а ось $$Oy$$ – ось ординат.

Выберите один из вариантов

Наибольшее целое число из промежутка, на котором функция $$y=log_{0,5}(-x)$$ отрицательна, равно:

  1. Логарифмической называют функцию вида $$y=log_{a}x$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$. $$D(f):x\in (0;+\infty ); E(f):y\in R$$.
  2. Если основание логарифмической функции $$a>1$$, то функция монотонно возрастает, а если $$0, то функция монотонно убывает.
  3. Построение графика функции $$y=f(-x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Oy$$.
  1. Построим схематически график функции $$y=log_{0,5}(-x)$$ (рис. 2.6).

  2. Построим график функции$$y=log_{0,5}(-x)$$, отражая симметрично оси $$Oy$$ график функции $$y=log_{0,5}x$$ (рис. 2.6).
  3. Функция $$y=log_{0,5}(-x)$$ отрицательна на промежутке $$(-\infty ;-1)$$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно: $$-2$$.

Если функция отрицательна, то ее график расположен под осью абсцисс, а если она положительна, то график расположен над осью абсцисс.

Выберите один из вариантов

Полусумма середин промежутков, на которых функции $$y=sin x$$ и $$y=cos x$$ обратимы, равна:

  1. К обратным тригонометрическим функциям относят функции:
    $$y=arcsin x$$, $$y=arccos x$$, $$y=arctg x$$ и $$y=arcctg x$$.
  2. Для функции $$y=sin x$$ обратная функция $$y=arcsin x$$ определена только на отрезке $$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$.
  3. Для функции $$y=cosx$$ обратная функция $$y=arccosx$$ определена только на отрезке $$[0;\pi ]$$ .
  1. Найдем середину отрезка$$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$, на котором обратима функция$$y=sin x$$. Получим:
    $$\left (-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2} \right )$$$$:2=0$$.
  2. Найдем середину отрезка $$[0;\pi ]$$, на котором обратима функция $$y=cosx$$. Получим:
    $$(0+\pi ):2=\frac{\pi }{2}$$.
  3. Найдем полусумму середин отрезков:
    $$\left (0+\frac{\pi}{2} \right ) :2=\frac{\pi }{4}$$$$=0,25\pi$$.
  1. Для функции $$y=tg x$$ обратная функция $$y=arctg x$$ определена только на интервале $$\left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$$.
  2. Для функции $$y=ctg x$$ обратная функция $$y=arcctg x$$ определена на интервале $$(0;\pi)$$.
Выберите один из вариантов

Сумма модулей наименьшего и наибольшего целых чисел, принадлежащих области значений функции $$y=arcctg$$ $$x$$ $$-\frac{\pi }{2}$$, равна:

Построение графика функции $$y=f(x)+b$$:
график функции $$y=f(x)$$ сдвигаем вдоль оси $$Oy$$ на $$b$$ единичных отрезков вверх при $$b> 0$$ или вниз при $$b< 0$$.

  1. Построим схематически график функции $$y=arcctgx$$ (рис. 2.7).

  2. Построим график функции $$y=arcctg x - \frac{\pi }{2}$$. Для этого график функции $$y=arcctg x$$ сдвигаем вдоль оси $$Oy$$ на $$\frac{\pi }{2}$$ отрезков вниз (рис. 2.8).
  3. Область значений функции $$y=arcctg x-\frac{\pi }{2}$$ – интервал $$\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$$, которому принадлежат целые числа $$-1$$, $$0$$ и $$1$$.
  4. Найдем сумму модулей наименьшего и наибольшего из этих чисел: $$\left | -1 \right |+\left | 1 \right |=1+1=2$$.
  1. Сдвигая график функции, мы сдвигаем и его горизонтальные асимптоты $$y=\pi$$ и $$y=0$$ (прямые, которые график не может пересекать).
  2. Число $$\pi$$ иррациональное: $$\pi$$$$=3,14159...$$
Выберите один из вариантов

Количество целых чисел, принадлежащих области значений функции $$f(x)=2cos \left (x+\frac{\pi }{3} \right )$$, равно:

  1. Построение графика функции $$y=kf(x)$$: каждую ординату точки графика функции $$y=f(x)$$ увеличиваем в $$k$$ раз (растяжение графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Oy$$ при $$k>1$$ и сжатие – при $$0<k<1$$ ).
  2. Чтобы построить график функции $$y=f(x+a)$$, необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Ox$$ влево на $$a$$ единичных отрезков при $$a>0$$ или вправо при $$a<0$$.
  3. Функция $$y=cos x$$. $$D(f):x\in R$$, $$E(f): y\in[-1;1]$$.
  1. Так как область значений функции $$y=cos x$$ отрезок $$[-1;1]$$, то запишем: $$-1\leq cos x\leq 1$$.
  2. Так как преобразование $$y=f(x+a)$$ не изменяет область значений функции, то запишем:$$-1\leq cos \left (x+\frac{\pi }{3} \right )\leq 1$$.
  3. Умножим последнее равенство на $$2$$: $$-2\leq 2cos \left (x +\frac{\pi }{3} \right )\leq 2$$.
  4. Отрезку $$[-2;2]$$ принадлежат целые числа: $$-2$$, $$-1$$, $$0$$, $$1$$ и $$2$$ .

Эту задачу можно решать и графически.

Выберите один из вариантов

Сумма наименьших периодов функций $$y=tg(-3x)$$ и $$y=0,5sin\left ( \frac{\pi }{8} +\frac{3x}{2}\right )$$ равна:

  1. Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
    $$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$.
  2. Для функции $$y=tg x$$, $$T_{0}=\pi$$.
  3. Для функции $$y=sin x$$, $$T_{0}=2\pi$$.
  1. Найдем наименьший период функции $$y=tg (-3x)$$: $$T=\frac{\pi }{3}$$.
  2. Найдем наименьший период функции $$y=0,5sin\left (\frac{\pi }{8}+\frac{3x}{2} \right )$$:
    $$T= \frac{2\pi\cdot 2 }{3}=\frac{4\pi }{3 }$$.
  3. Найдем сумму наименьших периодов этих функций: $$\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$$.

Если число $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то числа вида $$n\cdot T_{0}$$, где $$n\in N$$, также являются периодами этой функции.

Выберите один из вариантов

Количество точек пересечения графиков функций $$y=cos 2x$$ и $$y=\frac{1}{\sqrt{5}}$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$ равно:

  1. Построение графика функции $$y=f(kx)$$: каждую абсциссу точек графика функции $$y=f(x)$$ уменьшаем в $$k$$ раз (сжатие графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$OX$$ при $$k>1$$ и растяжение – при $$0 ).
  2. Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
    $$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$.
  3. Для функции $$y=cos x$$, $$T_{0}=2\pi$$.
  1. Построим график функции $$y=cos x$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$ (рис. 2.9).
  2. Построим график функции $$y=cos 2x$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$, найдя ее наименьший период: $$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$$ (рис. 2.10).

  3. Параллельно оси абсцисс построим прямую $$y=\frac{1}{\sqrt{5}}$$.
  4. Графики данных функций на отрезке $$[0;2\pi ]$$ пересекаются в четырех точках.

    Если функция $$y=f(x)$$ тригонометрическая, то преобразование $$y=f(kx)$$ изменяет период этой функции.

    Выберите один из вариантов

    Четными являются функции:

    1. $$ f(x)=2tgx^{2}$$;
    2. $$ f(x)=3^{x}+3^{-x}$$;
    3. $$ f(x)=arcctg x$$;
    4. $$ f(x)=lg^{2}x$$;
    5. $$ f(x)=2xsin2x$$.
    1. Функция $$y=f(x)$$ четна, если:
      1. $$D(f)$$ – симметричное множество относительно начала отсчета;
      2. $$f(x)=f(-x)$$.
    2. Функция $$y=f(x)$$ нечетна, если:
      1. $$D(f)$$ – симметричное множество относительно начала отсчета;
      2. $$f(x)=-f(-x)$$.
    3. Числовое множество симметричное, если, наряду с элементом $$a,$$ оно содержит и элемент $$-a$$.
    1. Функция $$f(x)=2tgx^{2}$$:
      1. $$D(f):x\in \left \{ \right.R/x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n \left. \right \}$$$$, n\in Z$$;
      2. $$f(-x)$$$$=2tg(-x)^{2}=2tgx^{2}$$ , следовательно, $$f(x)=f(-x)$$.
        Функция четная.
    2. Функция $$f(x)=3^{x}+3^{-x}$$:
      1. $$D(f):x\in R$$;
      2. $$f(-x)=3^{-x}+3^{x}$$, следовательно, $$f(x)=f(-x)$$.
        Функция четная.
    3. Функция $$f(x)=arcctg x$$:
      1. $$D(f):x\in R$$;
      2. $$f(-x)=arcctg(-x)=\pi -arcctgx$$.
        Функция ни четная и ни нечетная.
    4. Функция $$f(x)=lg^{2}x$$:
      1. $$D(f):x>0$$.
        Так как область определения функции не симметричное множество, то функция ни четная и ни нечетная.
    5. Функция $$f(x)=2xsin2x$$:
      1. $$D(f):x\in R$$;
      2. $$f(-x)=2(-x)sin(-2x)=2xsin 2x$$, следовательно, $$f(x)=f(-x)$$.
        Функция четная.

    Четными являются функции $$1$$, $$2$$ и $$5$$.

    1. Числовое множество $$x\in \left \{ \right.R/x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n \left. \right \}$$$$,n\in Z$$ симметричное, так как в нем отсутствуют только пары противоположных чисел: $$\frac{\pi }{2}$$ и $$-\frac{\pi }{2}$$, $$\frac{3\pi }{2}$$ и $$- \frac{3\pi }{2}$$, …
    2. Множество $$(0;+\infty )$$ не симметричное, так как оно содержит только положительные числа и не содержит чисел им противоположных.
    Выберите один из вариантов

    Наименьшее простое число, принадлежащее области значений функции $$y=2^{\left |x \right |}$$, равно:

    1. Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 0$$.
      $$D(f):x\in R$$; $$E(f):y\in (0;+\infty )$$.
    2. Если $$a>0$$, то показательная функция монотонно возрастает, а если $$0, то функция монотонно убывает.
    3. Построение графика функции $$y=f(\left |x \right |)$$: часть графика функции $$y=f(x)$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси.
    1. Построим схематически график функции $$y=2^{x}$$ (рис. 2.11).
    2. Построим схематически график функции $$y=2^{\left |x \right |}$$. Для этого часть графика функции $$y=2^{x}$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. 2.12).

    3. Область значений функции $$y=2^{\left |x \right |}$$: промежуток $$[ 1;+\infty)$$. Наименьшее простое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$2$$.

    Простые числа делятся только сами на себя и на число $$1$$. Число $$1$$ ни простое и ни составное.

    Введите ответ в поле

    Количество целых чисел, для которых выполняется неравенство $$log_{2}x\leq sin x$$, равно:

    1. Логарифмическая функция: $$y=log_{a}x$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 0$$.
      $$D(f):x\in (0;+\infty ); E(f):y\in R$$.
    2. Если $$a>1$$, то логарифмическая функция монотонно возрастает, а если $$0, то функция монотонно убывает.
    3. Тригонометрическая функция $$y=sin x$$. $$D(f):x\in R$$$$; E(f): y\in [-1;1]$$.
    1. Построим схематически графики функций $$y=log_{2}x$$ и $$y=sin x$$ (рис. 2.13).

    2. Неравенство $$log_{2}x\leq sin x$$ выполняется на промежутке $$(0;2)$$, так как на этом промежутке график функции $$y=log_{2}x$$ расположен ниже графика функции $$y=sin x$$ . Этому промежутку принадлежит одно целое число: $$1$$.

    Значение $$1$$ функция $$y=sin x$$ принимает при $$x=\frac{\pi }{2}<2$$, так как $$sin \frac{\pi }{2}=1$$, а функция $$y=log_{2}x$$ значение $$1$$ принимает при $$x=2$$, так как $$log_{2}2=1$$.

    Введите ответ в поле