Трансцендентные функции ИТ
Наибольшее целое число из промежутка, на котором функция $$y=\textrm{log}_{0,5}(-x)$$ отрицательна, равно:
- Логарифмической называют функцию вида $$y=\textrm{log}_{a}x$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$.
$$D(f):x\in (0;+\infty ); E(f):y\in R$$. - Если основание логарифмической функции $$a>1$$, то функция монотонно возрастает, а если $$0\lt a\lt 1$$
- Построение графика функции $$y=f(-x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Oy$$.
- Построим схематически график функции $$y=\textrm{log}_{0,5}(-x)$$ (рис. 2.6).
- Построим график функции$$y=\textrm{log}_{0,5}(-x)$$, отражая симметрично оси $$Oy$$ график функции $$y=\textrm{log}_{0,5}x$$ (рис. 2.6).
- Функция $$y=\textrm{log}_{0,5}(-x)$$ отрицательна на промежутке $$(-\infty ;-1)$$.
Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$-2$$.
Если функция отрицательна, то ее график расположен под осью абсцисс, а если она положительна, то график расположен над осью абсцисс.
Введите ответ в поле
Полусумма середин промежутков, на которых функции $$y=\sin {x}$$ и $$y=\cos {x}$$ обратимы, равна:
- К обратным тригонометрическим функциям относят функции:
$$y=\textrm{arcsin} x$$, $$y=\textrm{arccos}x$$, $$y=\textrm{arctg} x$$ и $$y=\textrm{arcctg} x$$. - Для функции $$y=\sin {x}$$ обратная функция $$y=\textrm{arcsin} x$$ определена только на отрезке $$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$.
- Для функции $$y=\cos{x}$$ обратная функция $$y=\textrm{arccos}x$$ определена только на отрезке $$[0;\pi ]$$ .
- Найдем середину отрезка$$\left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$$, на котором обратима функция$$y=\sin {x}$$.
Получим: $$\left (-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right ):2=0$$. - Найдем середину отрезка $$[0;\pi ]$$, на котором обратима функция $$y=\cos{x}$$. Получим:
$$(0+\pi ):2=\frac{\pi }{2}$$. - Найдем полусумму середин отрезков:
$$\left(0+\frac{\pi}{2}\right ):2=\frac{\pi}{4}$$.
- Для функции $$y=\textrm{tg} x$$ обратная функция $$y=\textrm{arctg} x$$ определена только на интервале $$\left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$$.
- Для функции $$y=\textrm{ctg} x$$ обратная функция $$y=\textrm{arcctg} x$$ определена на интервале $$(0;\pi)$$.
Выберите один из вариантов
Наименьшее простое число, принадлежащее области значений функции $$y=2^{\left |x \right |}$$, равно:
- Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 0$$.
$$D(f):x\in R$$; $$E(f):y\in (0;+\infty )$$. - Если $$a>0$$, то показательная функция монотонно возрастает, а если $$0 < a < 1$$
- Построение графика функции $$y=f(\left |x \right |)$$: часть графика функции $$y=f(x)$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси.
1. Построим схематически график функции $$y=2^{x}$$ (рис. 2.11). 
2. Построим схематически график функции $$y=2^{\left |x \right |}$$.
Для этого часть графика функции $$y=2^{x}$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. 2.12).
Для этого часть графика функции $$y=2^{x}$$ правее оси $$Oy$$ оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. 2.12).
3. Область значений функции $$y=2^{\left |x \right |}$$: промежуток $$[ 1;+\infty)$$.
Наименьшее простое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$2$$.
Наименьшее простое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$2$$.
Простые числа делятся только сами на себя и на число $$1$$. Число $$1$$ ни простое и ни составное.
Введите ответ в поле
Сумма наименьших периодов функций $$y=\textrm{tg}(-3x)$$ и $$y=0,5\textrm{sin}\left ( \frac{\pi }{8} +\frac{3x}{2}\right )$$ равна:
- Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
$$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$. - У функции $$y=\textrm{tg} x$$ основной период $$T_{0}=\pi$$.
- У функции $$y=\sin {x}$$ основной период $$T_{0}=2\pi$$.
1. Найдем наименьший период функции $$y=\textrm{tg} (-3x)$$:
$$T=\frac{\pi }{3}$$.
2. Найдем наименьший период функции $$y=0,5\textrm{sin}\left (\frac{\pi }{8}+\frac{3x}{2} \right )$$:
$$T= \frac{2\pi\cdot 2 }{3}=\frac{4\pi }{3 }$$.
3. Найдем сумму наименьших периодов этих функций:
$$\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$$.
Если число $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то числа вида $$n\cdot T_{0}$$, где $$n\in N$$, также являются периодами этой функции.
Выберите один из вариантов
Количество точек пересечения графиков функций $$y=\cos {2x}$$ и $$y=\frac{1}{\sqrt{5}}$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$ равно:
- Построение графика функции $$y=f(kx)$$: каждую абсциссу точек графика функции $$y=f(x)$$ уменьшаем в $$k$$ раз (сжатие графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$OX$$ при $$k>1$$ и растяжение – при $$0\lt k\lt 1$$
- Если $$T_{0}$$ наименьший период функции $$y=f(x)$$, то наименьший период функции $$y=f(kx)$$ находят по формуле:
$$T=\frac{T_{0}}{\left |k \right |}$$. - У функции $$y=\cos {x}$$ основной период $$T_{0}=2\pi$$.
- Построим график функции $$y=\cos {x}$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$ (рис. 2.9).
- Построим график функции $$y=\cos {2x}$$ на отрезке $$[0;2\pi ]$$, найдя ее наименьший период:
$$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$$ (рис. 2.10).
- Параллельно оси абсцисс построим прямую $$y=\frac{1}{\sqrt{5}}$$.
- Графики данных функций на отрезке $$[0;2\pi ]$$ пересекаются в четырех точках.
Если функция $$y=f(x)$$ тригонометрическая, то преобразование $$y=f(kx)$$ изменяет период этой функции.
Введите ответ в поле
Количество целых чисел, принадлежащих области значений функции $$f(x)=2\cos \left (x+\frac{\pi }{3} \right )$$, равно:
- Построение графика функции $$y=kf(x)$$: каждую ординату точки графика функции $$y=f(x)$$ увеличиваем в $$k$$ раз (растяжение графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Oy$$ при $$k>1$$ и сжатие – при $$0\lt k\lt 1$$
- Чтобы построить график функции $$y=f(x+a)$$, необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $$y=f(x)$$ вдоль оси $$Ox$$ влево на $$a$$ единичных отрезков при $$a>0$$ или вправо при $$a<0$$.
- Функция $$y=\cos {x}$$.
$$D(f):x\in R$$, $$E(f): y\in[-1;1]$$.
1. Так как область значений функции $$y=\cos {x}$$ отрезок $$[-1;1]$$, то запишем:
$$-1\leq cos x\leq 1$$.
2. Так как преобразование $$y=f(x+a)$$ не изменяет область значений функции, то запишем:
$$-1\leq cos \left (x+\frac{\pi }{3} \right )\leq 1$$.
3. Умножим последнее равенство на $$2$$:
$$-2\leq 2cos \left (x +\frac{\pi }{3} \right )\leq 2$$.
4. Отрезку $$[-2;2]$$ принадлежат целые числа:
$$-2$$, $$-1$$, $$0$$, $$1$$, $$2$$ .
Эту задачу можно решать и графически.
Введите ответ в поле
Сумма модулей наименьшего и наибольшего целых чисел, принадлежащих области значений функции $$y=\textrm{arcctg}x-\frac{\pi }{2}$$, равна:
Построение графика функции $$y=f(x)+b$$:
график функции $$y=f(x)$$ сдвигаем вдоль оси $$Oy$$ на $$b$$ единичных отрезков вверх при $$b> 0$$ или вниз при $$b< 0$$.
1. Построим схематически график функции $$y=\textrm{arcctg}x$$ (рис. 2.7). 
2. Построим график функции $$y=\textrm{arcctg} x - \frac{\pi }{2}$$.
Для этого график функции $$y=\textrm{arcctg} x$$ сдвигаем вдоль оси $$Oy$$ на $$\frac{\pi }{2}$$ отрезков вниз (рис. 2.8).
Для этого график функции $$y=\textrm{arcctg} x$$ сдвигаем вдоль оси $$Oy$$ на $$\frac{\pi }{2}$$ отрезков вниз (рис. 2.8).
3. Область значений функции $$y=\textrm{arcctg} x-\frac{\pi }{2}$$ – интервал $$\left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right )$$, которому принадлежат целые числа: $$-1$$, $$0$$ и $$1$$.
4. Найдем сумму модулей наименьшего и наибольшего из этих чисел:
$$\left | -1 \right |+\left | 1 \right |=1+1=2$$.
- Сдвигая график функции, мы сдвигаем и его горизонтальные асимптоты $$y=\pi$$ и $$y=0$$ (прямые, которые график не может пересекать).
- Число $$\pi$$ иррациональное: $$\pi$$$$=3,14159...$$
Введите ответ в поле
Четными являются функции:
1) $$ f(x)=2\textrm{tg}x^{2}$$;
2) $$ f(x)=3^{x}+3^{-x}$$;
3) $$ f(x)=\textrm{arcctg} x$$;
4) $$ f(x)=\textrm{lg}^{2}x$$;
5) $$ f(x)=2x\sin{2x}$$.
1. Функция $$y=f(x)$$ четна, если:
a) $$D(f)$$ – симметричное множество относительно начала отсчета;
b) $$f(x)=f(-x)$$.
2. Функция $$y=f(x)$$ нечетна, если:
a) $$D(f)$$ – симметричное множество относительно начала отсчета;
b) $$f(x)=-f(-x)$$.
3. Числовое множество симметричное, если, наряду с элементом $$a$$ оно содержит и элемент $$-a$$.
1. Функция $$f(x)=2\textrm{tg}x^{2}$$:
a) $$D(f):x\in \left \{ \right.R/x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n \left. \right \}$$$$, n\in Z$$;
b) $$f(-x)$$$$=2tg(-x)^{2}=2tgx^{2}$$ , следовательно, $$f(x)=f(-x)$$.
Функция четная.
2. Функция $$f(x)=3^{x}+3^{-x}$$:
a) $$D(f):x\in R$$;
b) $$f(-x)=3^{-x}+3^{x}$$, следовательно, $$f(x)=f(-x)$$.
Функция четная.
3. Функция $$f(x)=\textrm{arcctg} x$$:
a) $$D(f):x\in R$$;
b) $$f(-x)=\textrm{arcctg}(-x)=\pi -\textrm{arcctg}x$$.
Функция ни четная и ни нечетная.
4. Функция $$f(x)=\textrm{lg}^{2}x$$:
a) $$D(f):x>0$$.
Так как область определения функции не симметричное множество, то функция ни четная и ни нечетная.
5. Функция $$f(x)=2x\sin{2x}$$:
a) $$D(f):x\in R$$;
b) $$f(-x)=2(-x)\sin{(-2x)}=2x\sin {2x}$$, следовательно, $$f(x)=f(-x)$$.
Функция четная.
Четными являются функции: $$1$$, $$2$$ и $$5$$.
- Числовое множество $$x\in \left \{ \right.R/x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n \left. \right \}$$$$,n\in Z$$ симметричное, так как в нем отсутствуют только пары противоположных чисел:
$$\frac{\pi }{2}$$ и $$-\frac{\pi }{2}$$, $$\frac{3\pi }{2}$$ и $$- \frac{3\pi }{2}$$, … - Множество $$(0;+\infty )$$ не симметричное, так как оно содержит только положительные числа и не содержит чисел им противоположных.
Выберите один из вариантов
Количество целых чисел, для которых выполняется неравенство $$\textrm{log}_{2}x\leq \sin {x}$$, равно:
1. Логарифмическая функция: $$y=\textrm{log}_{a}x$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 0$$.
$$D(f):x\in (0;+\infty )$$;
$$D(f):x\in (0;+\infty )$$;
$$E(f):y\in R$$.
2. Если $$a>1$$, то логарифмическая функция монотонно возрастает, а если $$0\lt a\lt 1$$, то функция монотонно убывает.
3. Тригонометрическая функция $$y=\sin {x}$$.
$$D(f):x\in R$$;
$$E(f): y\in [-1;1]$$.
- Построим схематически графики функций $$y=\textrm{log}_{2}x$$ и $$y=\sin {x}$$ (рис. 2.13).
- Неравенство $$\textrm{log}_{2}x\leq \sin {x}$$ выполняется на промежутке $$(0;2)$$, так как на этом промежутке график функции $$y=\textrm{log}_{2}x$$ расположен ниже графика функции $$y=\sin {x}$$ .
Этому промежутку принадлежит одно целое число: $$1$$.
Значение $$1$$ функция $$y=\sin {x}$$ принимает при $$x=\frac{\pi }{2}<2$$, так как $$sin \frac{\pi }{2}=1$$, а функция $$y=\textrm{log}_{2}x$$ значение $$1$$ принимает при $$x=2$$, так как $$\textrm{log}_{2}2=1$$.
Введите ответ в поле
Наибольшее целое число из области значений функции $$y=-0,2^{x}$$ равно:
- Показательной называют функцию вида $$y=a^{x}$$, где $$a> 0$$ и $$a\neq 0$$. $$D(f):x\in R;
E(f):y\in(0;+\infty )$$. - Если $$a> 1$$, то функция $$y=a^{x}$$ монотонно возрастает, а если $$0< a< 1$$, то функция монотонно убывает.
- Построение графика функции $$y=-f(x)$$: график функции $$y=f(x)$$ отражаем симметрично оси $$Ox$$.
- Построим схематично график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).
- Построим график функции $$y=-0,2^{x}$$, отражая симметрично оси $$Ox$$ график функции $$y=0,2^{x}$$ (рис. 2.5).
- Область значений функции $$y=-0,2^{x}$$ промежуток $$(-\infty ;0)$$. Наибольшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$-1$$.
Ось $$Ox$$ – это ось абсцисс, а ось $$Oy$$ – ось ординат.
Выберите один из вариантов