Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля ИТ
Сумма всех корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 8-5x \right |=3$$ равна:
- Поскольку правая часть данного уравнения положительна, то заменим его совокупностью уравнений:
1) $$8-5x=3$$, откуда $$x=1$$;
2) $$8-5x=-3$$, откуда $$x=2,2$$. - Найдем сумму корней уравнения: $$1+2,2=3,2$$.
Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.
Увеличенная в $$12$$ раз сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 2x-\left | 3-x \right | -1\right |=3\left | x \right |$$ равна:
- Свойство модуля:
$$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$. - Если уравнение имеет вид $$\left | f(x) \right |=g\left ( x \right )$$, то оно равносильно совокупности уравнений:
$$\left [\begin{matrix} f(x)=g\left ( x \right ),\\ f(x)=-g\left ( x \right ) \end{matrix}\right.$$ при $$g\left ( x \right )\geq 0$$. - Формула разности квадратов:
$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$(\left | 2x-\left | 3-x \right | -1\right |)^{2}=(3\left | x \right |)^{2}$$,
$$( 2x-\left | 3-x \right | -1)^{2}=(3 x )^{2}$$,
$$( 2x-\left | 3-x \right | -1)^{2}-(3 x )^{2}=0$$.
Применим формулу разности квадратов:
$$(2x-\left | 3-x \right |-1-3x)(2x-\left | 3-x \right |-1+3x)=0$$,
$$(-\left | 3-x \right |-1-x)(5x-\left | 3-x \right |-1)=0$$,
$$(\left | x-3 \right |+1+x)(-5x+\left | 3-x \right |+1)=0$$,
откуда $$\left | x-3 \right |+1+x=0$$ или $$-5x+\left | 3-x \right |+1=0$$ .
Решим каждое из уравнений.
- Уравнение $$\left | x-3 \right |=-1-x$$ (при условии, что $$-1-x\geq 0\Leftrightarrow x\leq -1$$ ) равносильно совокупности уравнений:
$$\left [\begin{matrix} x-3=-1-x,\\ x-3=1+x; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 2x=2,\\ -3=1; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=1,\\ x\in \varnothing .\end{matrix}\right.$$
Число $$1$$ не является корнем этого уравнения, так как не удовлетворяет условию $$x\leq -1$$. - Уравнение $$\left | 3-x \right |=5x-1$$ (при условии, что $$5x-1\geq 0$$ ) равносильно совокупности уравнений:
$$\left [\begin{matrix} x-3=5x-1,\hfill \\ x-3=-5x+1;\hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 4x=-2,\hfill \\ 6x=4; \hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=-0,5,\hfill \\ x=\frac{2}{3}.\hfill \end{matrix}\right.$$
Число $$-0,5$$ не является корнем этого уравнения, так как не удовлетворяет условию $$x\geq 0,2$$.
Число $$\frac{2}{3}$$ является корнем уравнения, так как удовлетворяет условию $$x\geq 0,2$$ .
Выражение, записанное под знаком модуля, можно умножать на число $$-1$$.
Например, $$\left | 3-x \right |=\left | x-3 \right |$$.
Число, обратное удвоенному произведению корней (или корню, если он единственный) уравнения $$\frac{2x+3}{ \left | 6+4x \right |}=5x$$, равно:
- Если уравнение содержит несколько модулей, например, имеет вид $$\left | f_{1}(x)^{} \right |\pm \left | f_{2}(x) \right |=g\left ( x \right )$$, то применяем метод интервалов:
1) находим нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения $$f_{1}(x)=0$$ и $$f_{2}(x)=0$$;
2) наносим нули функций на ОДЗ уравнения;
3) раскрываем модули на каждом промежутке;
4) решаем полученные уравнения;
5) производим отбор корней на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку. - Правило раскрытия модуля: если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.
- На промежутке $$\left ( -\infty ;-1,5 \right )$$ выражение $$3+2x$$ отрицательное.
Следовательно, $$\frac{2x+3}{-2\left ( 2x+3 \right )}=5x$$, $$\frac{1}{-2}=5x$$, $$x=-0,1$$.
Это число не принадлежит промежутку $$\left ( -\infty ;-1,5 \right )$$ и, значит, не является корнем уравнения. - На промежутке $$\left ( -1,5;+\infty \right )$$ выражение $$3+2x$$ положительное.
Следовательно, $$\frac{2x+3}{2(2x+3)}=5x$$, $$\frac{1}{2}=5x$$, $$x=0,1$$.
Это число принадлежит промежутку $$\left ( -1,5;+\infty \right )$$ и, значит, является корнем уравнения.
- Число $$-1,5$$ не включено ни в один из промежутков, так как оно обращает в нуль знаменатель дроби.
- Числа $$a$$ и $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$ взаимно обратные.
Сумма координат упорядоченных пар чисел, которые образуют множество решений системы уравнений $$\begin{cases} x-2\left | y \right |=-3, \\ \left | x \right |+y=3, \end{cases}$$ равна:
- Выразим переменную $$x$$ из первого уравнения системы: $$x=2\left | y \right |-3$$.
- Подставим полученное значение $$x$$ во второе уравнение системы:
$$\left | 2\left | y \right | -3\right |+y=3$$, $$\left | 2\left | y \right | -3\right |=3-y$$.
При $$y\leq 3$$ получим:
$$\left [\begin{matrix} 2\left | y \right |-3=3-y,\hfill \\ 2\left | y \right |-3=-3+y; \end{matrix}\right.$$ $$\left [\begin{matrix} 2\left | y \right |=6-y,\hfill \\ 2\left | y \right |=y. \hfill \end{matrix}\right.$$
В свою очередь:
1) при $$y\leq 3$$ получим: $$\left [\begin{matrix} 2y=6-y,\hfill \\ 2y=-6+y, \hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} y_{1}=2,\hfill \\ y_{2}=-6;\hfill \end{matrix}\right.$$
2) при $$0\leq y\leq 3$$ уравнение $$2\left | y \right |=y$$ равносильно $$y_{3}=0$$. - Зная, что $$x=2\left | y \right |-3$$, найдем все значения переменной $$x$$:
$$x_{1}=1$$, $$x_{2}=9$$, $$x_{3}=-3$$. - Найдем сумму координат всех пар чисел, которые образуют решение данной системы уравнений:
$$(1+2)+(9-6)+(-3+0)=3$$.
Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.
Произведение всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 3x-2 \right |=6-x$$ равно:
- Уравнение может иметь решение только при условии, что $$6-x\geq 0$$, откуда $$x\leq 6$$.
- Решим совокупность уравнений:
$$\left [\begin{matrix} 3x-2=6-x,\hfill\\ 3x-2=-6+x; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 4x=8,\hfill\\ 2x=-4; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=2,\hfill\\ x=-2. \end{matrix}\right.$$ - Оба корня удовлетворяют условию $$x\leq 6$$, а их произведение равно:
$$2\cdot \left ( -2 \right )=-4$$.
Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.
Сумма модулей корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 15-\left | 2-\left | x \right | \right | \right |=6$$ равна:
- Запишем уравнение в виде:
$$\left | \left | \left | x \right |-2 \right | -15\right |=6$$.
Поскольку правая часть данного уравнения положительна, то заменим его совокупностью уравнений:
$$\left [\begin{matrix} \left | \left | x \right |-2 \right |-15=6,\hfill\\ \left | \left | x \right |-2 \right |-15=-6; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} \left | \left | x \right |-2 \right |=21,\\ \left | \left | x \right |-2 \right |=9.\hfill \end{matrix}\right.$$ - Решим первое уравнение совокупности:
$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |-2=21,\hfill\\ \left | x \right |-2=-21; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |=23,\hfill\\ \left | x \right |=-19; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=\pm 23,\\ x\in \varnothing .\hfill \end{matrix}\right.$$ - Решим второе уравнение совокупности:
$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |-2=9,\hfill\\ \left | x \right |-2=-9; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |=11,\hfill\\ \left | x \right |=-7; \hfill\end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=\pm 11,\hfill\\ x\in \varnothing . \hfill\end{matrix}\right.$$ - Найдем сумму модулей корней уравнения:
$$\left | 23 \right |+\left | -23 \right |+\left | 11 \right |+\left | -11 \right |=68$$.
- Справедливо равенство:
$$\left | a-b \right |=\left | b-a \right |$$. - Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.
Количество корней уравнения $$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |+2x=0$$ равно:
- Если уравнение содержит несколько модулей, например, имеет вид $$\left | f_{1}(x) \right |\pm \left | f_{2}(x) \right |=g\left ( x \right )$$, то применяем метод интервалов:
1) находим нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения $$f_{1}(x)=0$$ и $$f_{2}(x)=0$$;
2) наносим нули функций на ОДЗ уравнения;
3) раскрываем модули на каждом промежутке;
4) решаем полученные уравнения;
5) производим отбор корней на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку. - Правило раскрытия модуля: если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.
$$(-\infty ;-2]\cup (-2;3]\cup (3;+\infty )$$.
- На промежутке $$(-\infty ;-2]$$ выражения $$x-3$$ и $$x+2$$ отрицательные.
Следовательно, $$-(x-3)+(x+2)+2x=0$$, $$-x+3+x+2+2x=0$$, $$x=-2,5$$.
Число $$-2,5$$ принадлежит промежутку $$(-\infty ;-2]$$, значит, это число является корнем уравнения. - На промежутке $$(-2;3]$$ выражение $$x-3$$ отрицательное, а $$x+2$$ – положительное.
Следовательно, $$-(x-3)-(x+2)+2x=0$$, $$-x+3-x-2+2x=0$$, $$1=0$$.
Получили неверное числовое равенство. Значит, на промежутке $$(-2;3]$$ корней нет. - На промежутке $$(3;+\infty )$$ выражения $$x-2$$ и $$x+2$$ положительные.
Следовательно, $$(x-3)-(x+2)+2x=0$$, $$x-3-x-2+2x=0$$, $$x=2,5$$.
Число $$2,5$$ не принадлежит промежутку $$(3;+\infty )$$ и, значит, не является корнем уравнения.
Сравните уравнения:
1) $$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |=0$$;
2) $$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |+2x=0$$.
Чтобы решить первое уравнение, необходимо записать его в виде
$$\left | x-3 \right |=\left | x+2 \right |$$ и возвести обе его части в квадрат:
$$\left | x-3 \right |^{2}=\left | x+2 \right |^{2}$$,
$$(x-3)^{2}=(x+2)^{2}$$,
$$x^{2}-6x+9=x^{2}+4x+4$$,
$$x=0,5$$.
Второе уравнение так решать нельзя, поскольку «мешает» слагаемое $$2x$$.
Такие уравнения решают методом интервалов.
Сумма квадратов всех действительных корней уравнения $$x^{2}-2\left | x \right |-15=0$$ равна:
- $$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$;
- $$\left | a \right |\geq 0$$.
- Запишем уравнение в виде:
$$\left | x \right |^{2}-2\left | x \right |-15=0$$.
Решая квадратное уравнение относительно $$\left | x \right |$$, получим:
1) $$\left | x \right |=5$$, откуда $$x=\pm 5$$;
2) $$\left | x \right |=-3$$, откуда $$x\in \varnothing$$. - Найдем сумму квадратов корней уравнения: $$5^{2}+(-5)^{2}=50$$.
Это уравнение можно решать, вводя подстановку:
$$\left | x \right |=a$$.
- $$\left | x \right |=12$$;
- $$\left | x \right |=-12$$ ;
- $$\left | x \right |=0$$;
- $$\left | x \right |=-1-x^{2}$$;
- $$\left | x \right |=1+2x$$.
Свойство модуля:
$$\left | a\right |\geq 0$$.
- Уравнение $$\left | x\right |=12$$ имеет решение, так как его правая часть положительная.
- Уравнение $$\left | x\right |=-12$$ не имеет решений, так как его правая часть отрицательная.
- Уравнение $$\left | x \right |=0$$ имеет решение, так как его правая часть не отрицательная.
- Уравнение $$\left | x\right |=-1-x^{2}$$ не имеет решений, так как его правая часть отрицательная.
- Уравнение $$\left | x\right |=1+2x$$ имеет решение только при условии, что $$1+2x\geq 0$$ .
Выражение $$-1-x^{2}$$ всегда отрицательное, так как $$-1< 0$$ и $$-x^{2}\leq 0$$.
Произведение всех различных корней уравнения $$\left | 5x+2x^{2} +3\right |=\left | 1-x^{2} \right |$$ равно:
- Свойство модуля:
$$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$. - Формула разности квадратов:$$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$.
- Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$\left ( \left | 5x+2x^{2}+3 \right | \right )^{2}=\left ( \left | 1-x^{2} \right | \right )^{2}$$, $$\left ( 5x+2x^{2}+3 \right )^{2}=\left ( 1-x^{2} \right )^{2}$$, $$\left ( 5x+2x^{2}+3 \right )^{2}-\left ( 1-x^{2} \right )^{2}=0$$. - Применим формулу разности квадратов:
$$\left ( 5x+2x^{2}+3-1+x^{2} \right )\left ( 5x+2x^{2}+3+1-x^{2} \right )=0$$, $$\left ( 3x^{2}+5x+2 \right )\left ( x^{2}+5x+4 \right )=0$$. - Решим совокупность уравнений:
1) $$3x^{2}+5x+2=0$$ $$\left ( D> 0 \right )$$, откуда $$x_{1}=-1$$, $$x_{1}=-\frac{2}{3}$$
2) $$x^{2}+5x+4=0$$, откуда $$x_{3}=-4$$, $$x_{4}=-1$$. - Найдем произведение всех различных корней уравнения:
$$-1\cdot \left (-\frac{2}{3} \right )\cdot (-4)=-2\frac{2}{3}$$.
Произведение корней уравнений $$3x^{2}+5x+2=0$$ $$\left ( D> 0 \right )$$ и $$x^{2}+5x+4=0$$$$\left ( D> 0 \right )$$ можно найти по теореме Виета.
Но в данном случае мы не можем применить эту теорему, так как уравнения могут иметь равные (не различные, как оговорено в условии) корни. Так и оказалось в действительности!