Загрузка

Рациональные уравнения

Количество чисел, не принадлежащих области определения уравнения $$\frac{x-5}{x^{2}-25}+\frac{x}{x^{2}-4x-25}=0$$, равно:

  1. Равенство, содержащее переменную, называют уравнением и записывают $$f(x)=0$$ или $$f(x)=g(x)$$.
  2. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения $$f(x)=g(x)$$ называют общую часть областей определения функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$.

Имеем дробное рациональное уравнение. Области определения уравнения не принадлежат числа, которые обращают в нуль знаменатели дробей. Найдем их:

  1. $$x^{2}-25=0,x^{2}=25,$$ откуда $$x_{1}=5$$ , а $$x_{2}=-5$$ ;
  2. $$x^{2}-4x-25=0$$, откуда $$D=16+100=116$$.
Поскольку $$D>0$$, то уравнение имеет два иррациональных корня. Области определения уравнения не принадлежат четыре числа.

Корни уравнения $$x^{2}-4x-25=0$$ находить не обязательно, поскольку нам необходимо узнать количество корней, а не сами корни.

Выберите один из вариантов

Все корни уравнения  $$\frac{2x+5}{3}-\frac{x-1,5}{2}=\frac{x-17}{6}$$ принадлежат множеству чисел:

  1. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получаем верное равенство, называют корнем (решением) уравнения.
  2. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
  3. Обозначения числовых множеств:
    1. N – множество натуральных чисел;
    2. Z – множество целых чисел;
    3. Q – множество рациональных чисел;
    4. R – множество действительных чисел;
    5. $$\varnothing$$ – пустое множество.

Имеем целое рациональное уравнение, обе части которого умножим на число 6: $$\frac{6\cdot (2x+5)}{3}-\frac{6\cdot (x-1,5)}{2}=\frac{6\cdot (17+x)}{6}$$.
Получим:
$${2\cdot (2x+5)}-{3\cdot (x-1,5)}=17+x,$$
$$2x+10-3x+4,5-x-17=0$$,
$$-2,5\neq 0$$.
Уравнение корней не имеет. Записывают: $$x\in \varnothing$$ .

Данное уравнение мы умножили на число 6, чтобы избавиться от обыкновенных дробей. В противном случае нам пришлось бы приводить эти дроби к общему знаменателю, а затем применять свойство пропорции.

Выберите один из вариантов

Сумма корней уравнения $$3x^{2}-4x-1=0$$ больше их произведения на:

  1. Теорема Виета: сумма корней квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение корней равно $$\frac{c}{a}$$.
  2. Теорема, обратная теореме Виета: числа $$m$$ и $$n$$ являются корнями квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ $$(a\neq 0)$$, если их сумма равна $$-\frac{b}{a}$$ , а произведение равно $$\frac{c}{a}$$ .
  1. Запишем: $$x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}=0$$ . Так как $$D>0$$ , то по теореме Виета $$x_{1}+x_{2}=\frac{4}{3}$$ , а $$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{3}$$.
  2. Найдем, на сколько сумма корней уравнения больше их произведения:
    $$\frac{4}{3}-\left ( -\frac{1}{3} \right )=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$$ .
  1. Корни данного уравнения находить не обязательно.
  2. Применяя теорему Виета, всегда определяйте знак дискриминанта уравнения. Если дискриминант отрицательный, то уравнение вовсе не имеет корней.
  3. Обращайте внимание на коэффициент при $$x^{2}$$ .
Выберите один из вариантов

Если число $$\frac{22}{5+\sqrt{3}}$$ – корень приведенного квадратного уравнения, то сумма коэффициентов этого уравнения равна:

Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида: $$x^{2}+px+q=0$$. Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна – $$p$$, а произведение его корней равно $$q$$.
Числа 1, $$p$$ и $$q$$– коэффициенты этого уравнения.

  1. Преобразуем данный корень уравнения:
    $$x_{1}=\frac{22\cdot (5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}=\frac{22\cdot (5+\sqrt{3})}{25-3}=5+\sqrt{3}$$.
    Тогда, $$x_{2}=5-\sqrt{3}$$.
  2. Найдем сумму и произведение корней уравнения:
    $$x_{1}+x_{2}=\left (5+\sqrt{3} \right )+\left (5-\sqrt{3} \right )=10$$,
    $$x_{1}x_{2}=\left (5+\sqrt{3} \right )\left (5-\sqrt{3} \right )=25-3=22$$.
  3. По теореме Виета запишем: $$x^{2}-10x+22=0$$.
  4. Найдем сумму коэффициентов уравнения: $$1-10+22=13$$ .

Если известен один из иррациональных корней уравнения, то всегда можем найти и другой его корень, так как корни сопряженные. В случае рациональных корней узнать второй корень не представляется возможным.

Выберите один из вариантов

Если $$k$$ – количество, а $$p$$ – произведение корней уравнения $$5x^{4}+19x^{2}-4=0$$ ,
то значение $$pk$$ равно:

  1. Уравнение вида $$ax^{4}+bx^{2}+c=0$$, где $$a,b$$ и $$c$$ – действительные числа и $$a\neq 0$$ называется биквадратным уравнением. С помощью подстановки $$x^{2}=y$$ это уравнение сводится к квадратному уравнению $$ay^{2}+by+c=0$$.
  2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$ .
  3. Выражение $$D=b^{2}-4ac$$ называют дискриминантом этого уравнения.
  4. Если $$D>0$$ , то уравнение имеет два различных действительных корня.
    Если $$D=0$$ , то уравнение имеет два равных действительных корня.
    Если $$D<0$$, то уравнение не имеет действительных корней.
  1. Полагая $$x^{2}=y$$ , запишем $$5y^{2}+19y-4=0$$ , откуда:
    $$D=19^{2}+80=441=21^{2}$$ ,
    $$y_{1}=\frac{-19-21}{10}=-4$$, $$y_{2}=\frac{-19+21}{10}=\frac{1}{5}$$
    Тогда:
    1. $$x^{2}=-4$$ , откуда $$x\in \varnothing$$;
    2. $$x^{2}=0,2$$ , откуда $$x=\pm \sqrt{0,2}$$ .
  2. Следовательно, $$k=2$$, $$p=-\sqrt{0,2}\cdot \sqrt{0,2}=-0,2$$ , а $$pk=-0,2\cdot2=-0,4$$ .

Выражение $$a^{2}$$  всегда не отрицательное: $$a^{2}\geq 0$$.

Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{x-2}{x^{2}+3x-10}=\frac{6x}{x^{2}+7x+10}$$ равно:

  1. Разложение квадратного трехчлена на множители:
    $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – его корни.
  2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$ , где $$D=b^{2}-4ac\geq 0.$$
  3. Уравнения $$f(x)=0$$ и $$g(x)=0$$ являются равносильными, если они имеют равные корни (либо не имеют корней), т. е. множества их решений совпадают. Записывают: $$f(x)=0 \Leftrightarrow g(x)=0$$.
  1. Разложим знаменатели дробей на множители, предварительно найдя корни многочленов:
    1. $$x^{2}+3x-10=0$$ ; так как по теореме Виета $$x_{1}+x_{2}=-3$$ , а $$x_{1}x_{2}=-10$$ ,
      то $$x_{1}=-5$$ , $$x_{2}=2$$ ;
    2. $$x^{2}+7x+10=0$$; так как $$x_{1}+x_{2}=-7$$ , а $$x_{1}x_{2}=10$$, то $$x_{1}=-5$$ , $$x_{1}=-2$$.
  2. Получим: $$\frac{x-2}{(x+5)(x-2)}=\frac{6x}{(x+5)(x+2)}$$ .
    ОДЗ: $$x\neq -5;-2;2$$ .
  3. Заменим данное уравнение равносильным ему на ОДЗ уравнением:
    $$\frac{1}{(x+5)}=\frac{6x}{(x+5)(x+2)},\frac{1}{1}=\frac{6x}{(x+2)}, 6x=x+2, x=0,4$$.

При умножении обеих частей уравнения на выражения $$x+5$$ и сокращения дроби на $$x-2$$ мы не потеряли корни, так как эти выражения не должны обращаться в нуль.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$x^{3}+2x^{2}-1=0$$ равно:

  1. Теорема о целых корнях: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
  2. Следствие: при отыскании целых корней многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмотреть делители свободного члена.
  3. Деление многочленов выполняется аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток 0 или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
  1. Делители числа –1: 1 и – 1. Проверка:
    1. если $$x=1$$ , то $$1+2-1\neq 0$$, следовательно, число 1 – не корень уравнения;
    2. если $$x=-1$$ , то $$-1+2-1= 0$$, следовательно, число – 1 – корень уравнения.
  2. Разделим уравнение на $$x+1$$ :
  3. В свою очередь уравнение $$x^{2}+x-1=0$$ имеет два различных действительных корня
    ( $$D>0$$), сумма которых равна –1.
  4. Найдем среднее арифметическое всех корней уравнения: $$\frac{-1-1}{3}=-\frac{2}{3}$$.

Корни уравнения $$x^{2}+x-1=0$$ находить не обязательно, они к тому же иррациональные.

Выберите один из вариантов

Произведение всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения
$$(x-5)(x-2)(x-3)(x-4)=8$$ равно:

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна –$$p$$, а произведение его корней равно $$q$$.

  1. Преобразуем уравнение:
    $$((x-5)(x-2))((x-3)(x-4))=8$$, $$(x^{2}-7x+10)(x^{2}-7x+12)=8.$$
  2. Полагая $$x^{2}-7x+11$$$$=a$$, получим:
    $$(a-1)(a+1)=8,a^{2}-1=8,a^{2}=9, a=\pm 3$$.
    Если $$a=3$$, то $$x^{2}-7x+8=0$$ ($$D>0$$ ) и $$x_{1}x_{2}=8$$.
    Если $$a=-3$$ , то $$x^{2}-7x+14=0$$ ( $$D<0$$) и $$x\in \varnothing$$.
  3. Данное уравнение имеет 2 корня, а их произведение рано 8.
  1. Можно применять и другие подстановки. Например, $$x^{2}-7x=a$$
  2. Если мы имеем выражения $$f(x)+a$$ и $$f(x)+b$$ , а числа $$a$$ и $$b$$ четные, то целесообразно применять подстановку $$f(x)+\frac{a+b}{2}$$.
Выберите один из вариантов

Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x=-1$$ равна:

Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна $$-p$$, а произведение его корней равно $$q$$.

  1. Поскольку $$x\neq 0$$, то разделим уравнение на $$x^{2}$$:
    $$x^{2}-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0, x^{2}+\frac{1}{x^{2}} -5 \left (x+\frac{1}{x} \right )+8=0$$.
  2. Положим, $$x+\frac{1}{x}=a$$ , и возведем обе части этого равенства в квадрат:
    $$\left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=a^{2}$$ , откуда $$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2x\cdot \frac{1}{x}=a^{2},x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=a^{2}-2$$ .
  3. Уравнение примет вид: $$a^{2}-2-5a+8=0$$

    или $$a^{2}-5a+6=0$$ ( $$D>0$$), откуда $$a_{1}=2$$, $$a_{2}=3$$.

  4. Рассмотрим два уравнения:
    1. $$x+\frac{1}{x}=2$$ или $$x^{2}-2x+1=0$$ ($$D>0$$ ), откуда $$x_{1}+x_{2}=2$$ ;
    2. $$x+\frac{1}{x}=3$$ или $$x^{2}-3x+1=0$$ ($$D>0$$ ), откуда $$x_{1}+x_{2}=3$$ .
  5. Следовательно, сумма корней уравнения $$x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x=-1$$ равна 5.

Если $$x+\frac{1}{x}=a$$ , то выражение $$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$$ равно $$a^{2}-2$$ , а не $$a^{2}$$.

Введите ответ в поле

Количество упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений$$\left\{\begin{matrix} x+xy+y=3, & \\ x^{2}y+xy^{2}=-4, & \end{matrix}\right.$$ равно:

Система уравнений симметричная, если в результате замены переменной $$x$$ на переменную $$y$$, а переменной $$y$$ на переменную $$x$$, получаем ту же систему.

Если $$(a;b)$$ – решение этой системы, то и $$(b;a)$$ также решение системы.

  1. Запишем систему в виде $$\left\{\begin{matrix} xy+(x+y)=3 , & \\ xy(x+y)=-4. & \end{matrix}\right.$$
  2. Полагая , $$xy=a$$, а $$x+y=b$$ , получим: $$\left\{\begin{matrix} a+b=3, & \\ ab=-4. & \end{matrix}\right.$$
    Этой системе удовлетворяют две пары чисел: $$(4;-1)$$ и $$(-1;4)$$ (их можно легко подобрать).
    Если $$a=-1$$ , а $$b=4$$, то $$\left\{\begin{matrix} x+y=4, & \\ xy=-1. & \end{matrix}\right.$$
    Из первого уравнения системы выразим $$y$$: $$y=4-x$$ . Подставляя это значение во второе уравнение системы, получим: $$4x-x^{2}=-1,x^{2}-4x-1=0$$ .
    Так как $$D=20>0$$, то уравнение, а значит и система уравнений, имеют два решения.
    Если $$a=4$$ , а $$b=-1$$ , то $$\begin{cases}x+y=-1,\\xy=4.\end{cases}$$
    Из первого уравнения системы выразим $$y$$: $$y=-1-x$$ . Подставляя это значение во второе уравнение системы, получим: $$-x-x^{2}=4, x^{2}+x+4=0$$.
    Так как $$D<0$$ , то уравнение, а значит и система уравнений, решений не имеют.

Решая подбором симметричную систему уравнений, всегда необходимо рассматривать два случая.
Например, если $$x=a$$, а $$y=b$$, то верно, что и $$x=b$$ , а $$y=a$$.

Введите ответ в поле