Загрузка

Тождественные преобразования показательных выражений

В результате упрощения выражения $$\sqrt{8^x\cdot {2}^{x^2}:{2}^{x-1}}$$ получим:

  1. Определение степени:

    $$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$$.

  2. Свойства степеней:

    $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$;

    $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$;

    $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$.

  3. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.

По свойствам степеней получим: 

$$A=\sqrt{2^{3x}\cdot {2}^{x^2}:{2}^{x-1}}$$, 

$$A=\sqrt{{2}^{3x+x^2-x+1}}$$, 

$$A=\sqrt{{2}^{x^2+2x+1}}={2}^{\frac{1}{2}(x+1)^2}$$.

Различайте записи:

$$\sqrt{{2}^{x^2+2x+1}}={2}^{\frac{1}{2}(x+1)^2}$$ и $$2^{\sqrt{x^{2}+2x+1}}=2^{(x+1)^{2\frac{1}{2}}}=2^{\left | x+1 \right |}$$.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $$\left ( \left ( \frac{\sqrt{5}}{2} \right )^{2x} \cdot \left ( \frac{4}{5} \right )^{-0,5x}\right )^{-\frac{2x}{3}}$$ получим:

  1. Определение степени:

    $$\left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}$$.

  2. Свойства степеней:

    $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$;

    $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$$.

Выполним действия:

1) $$\left (\frac{\sqrt{5}}{2}\right )^{2x}=\left (\left (\frac{\sqrt{5}}{2}\right )^{2}\right )^{x}=\left ( \frac{5}{4}\right )^{x}$$;

2) $$\left (\frac{4}{5}\right )^{-0,5x}=\left (\frac{5}4{}\right )^{0,5x}=\left (\frac{5}{4}\right )^{\frac{x}{2}}$$;

3) $$\left (\frac{5}{4}\right )^{x}\cdot \left (\frac{5}{4}\right )^{\frac{x}{2}}=\left (\frac{5}{4}\right )^{x+\frac{x}{2}}=\left (\frac{5}{4}\right )^{\frac{3x}{2}}$$;

4)$$\left (\left (\frac{5}{4}\right )^{\frac{3x}{2}}\right )^{-\frac{2x}{3}}=\left (\frac{5}{4}\right )^{\frac{3x}{2}\left (-\frac{2x}{3}\right )}=\left (\frac{4}{5}\right )^{x^{2}}$$.

Справедливо равенство: 

$$(a^{n})^{m}=(a^{m})^{n}$$.

Выберите один из вариантов

Результат сокращения дроби $$\frac{192^{0,5x}\cdot 0,5^{3x}}{\sqrt{3^{x}}}$$ имеет вид:

  1. Определение степени:

    $$a^{0}=1$$;

    $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$.

  2. Свойства степеней:

    $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n};$$

    $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$;

    $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$.

Число $$192$$ разложим на простые множители: 

$$192=3\cdot 64=3\cdot 2^{6}$$.

По свойствам степеней получим:

$$A=\frac{(3\cdot 2^{6})^{0,5x}\cdot (2^{-1})^{3x}}{(3^{x})^{0,5}}$$, 

$$A=\frac{3^{0,5x}\cdot 2^{3x}\cdot 2^{-3x}}{3^{0,5x}}$$, 

$$A=2^{3x}\cdot 2^{-3x}=2^{3x-3x}=2^{0}$$$$=1$$.

Любое число (за исключением числа $$0$$) в степени нуль равно $$1$$.

Выберите один из вариантов

Количество натуральных чисел, принадлежащих области определения выражения $$5^{\sqrt{7-x}}+25^{\frac{x}{\sqrt[3]{x-5}}}$$, равно:

Область определения выражения состоит из всех значений переменной $$x$$, при которых это выражение не лишено смысла.

Выражение $$7-x$$ не может быть отрицательным, так как оно записано под знаком корня четной степени.

Выражение $$x-5$$ записано под знаком корня нечетной степени, следовательно, оно может быть как положительным, так и отрицательным, но не должно обращаться в нуль, так как стоит в знаменателе дроби.

Тогда запишем: 

$$\left\{ \begin{array}{lcl} 7-x\geq 0,\\ x-5\neq 0;\\ \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{lcl} x\leq 7,\\ x\neq 5;\\ \end{array} \right.$$ $$ x\in (-\infty ;5)\in (5;7]$$.

Запишем натуральные числа, принадлежащие области определения данного выражения: $$1;2;3;4;6;7.$$

  1. Число $$0$$ не является натуральным.
  2. Число $$5$$ исключено из промежутка $$(-\infty ;7]$$.
Выберите один из вариантов

Если значение выражения $$3^{2x}-4\cdot 3^{x}+4$$ равно $$9$$, то значение выражения $$27^{x}$$ равно:

  1. Свойство степеней:

    $$(a^{n})^{m}=(a^{m})^{n}$$.

  2. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.

  1. Применим формулу квадрата разности:

    $$3^{2x}-2\cdot 2\cdot 3^{x}+4=(3^{x}-2)^{2}$$.

  2. Решим уравнение $$(3^{x}-2)^{2}=9$$:

    а) $$3^{x}-2=3$$, откуда $$3^{x}=5$$;

    б) $$3^{x}-2=-3$$, откуда $$3^{x}=-1$$ (равенство не верное).

  3. Учитывая, что $$27^{x}=(3^{3})^{x}=(3^{x})^{3}$$ и $$3^{x}=5$$, получим:

    $$27^{x}=5^{3}=125$$.

  1. Уравнение $$f^{2}(x)=a$$ при $$a\geq 0$$ имеет два решения:

    $$f(x)=\sqrt{a}$$ и $$f(x)=-\sqrt{a}$$.

  2. Выражение $$a^{x}$$ всегда только положительное.
Введите ответ в поле

В результате сокращения дроби $$\frac{21^{2x}\cdot 9^{x+1}}{49^{x}\cdot 3^{4x-2}}$$ получим:

  1. Определение степени:

    $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$.

  2. Свойства степеней:

    $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$;

    $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$;

    $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$;

    $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$$.

По свойствам степеней получим:

$$A=\frac{(3\cdot 7)^{2x}\cdot 9^{x}\cdot 9}{(7^{2})^{x}\cdot 3^{4x}\cdot 3^{-2}}$$, 
$$A=\frac{3^{2x}\cdot 7^{2x}\cdot 3^{2x}\cdot 9}{7^{2x}\cdot 3^{4x}\cdot 3^{-2}}$$,

$$A=\frac{3^{4x}\cdot 9}{3^{4x}\cdot 3^{-2}}=\frac{9}{3^{-2}}=81$$.

Эту задачу можно решить иначе:

$$A=\frac{(21^{2})^{x}\cdot 9^{x}\cdot 9}{49^{x}\cdot (3^{4})^{x}\cdot 3^{-2}}$$,
$$A=\left (\frac{21^{2}\cdot 9}{49\cdot 3^{4}} \right )^{x}\cdot 9\cdot 3^{2}$$,

$$A=\left (\frac{3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 3^{2}}{7^{2}\cdot 3^{4}} \right )^{x}\cdot 81=81$$.

Выберите один из вариантов

Если значение выражения $$\frac{2^{-x}+2^{x}}{2^{x}-2^{-x}}$$ равно $$2$$, то значение выражения $$4^{x}$$ равно:

Определение степени: 

$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$.

  1. Полагая $$2^{x}=a$$, запишем:

    $$\frac{\frac{1}{a}+a}{a-\frac{1}{a}}=\frac{a(\frac{1}{a}+a)}{a(a-\frac{1}{a})}=\frac{1+a^{2}}{a^{2}-1}$$.

  2. Решим уравнение:

    $$\frac{1+a^{2}}{a^{2}-1}=2$$, $$\frac{1+a^{2}}{a^{2}-1}=\frac{2}{1}$$, $$2a^{2}-2=1+a^{2}$$, $$a^{2}=3$$.

  3. Так как $$4^{x}=(2^{x})^{2}=a^{2}$$, то $$4^{x}=3$$.

Свойство пропорции: 

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc$$.

Введите ответ в поле

В результате упрощения выражения $$\sqrt[n]{\sqrt[3]{2}^{\frac{6n}{m+n}}}:\sqrt[m]{\sqrt[3]{2}^{\frac{6m}{m-n}}}$$ получим:

  1. Определение степени:

    $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$.

  2. Свойства степеней:

    $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$;

    $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$;

    $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$.

  3. Формула разности квадратов:

    $$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$.

По свойствам степеней получим:
$$A=2^{\frac{6n}{m+n}\frac{1}{n}\frac{1}{3}}: 2^{\frac{6m}{m-n}\frac{1}{m}\frac{1}{3}}$$, 

$$A=2^{\frac{2}{m+n}}:2^{\frac{2}{m-n}}$$,

$$A=2^{\frac{2}{m+n}-\frac{2}{m-n}}$$,

$$A=2^{\frac{2(m-n-m-n)}{(m+n)(m-n)}}=2^{\frac{-4n}{m^{2}-n^{2}}}$$,
$$A=(2^{4})^{\frac{n}{n^{2}-m^{2}}}= 16^{\frac{n}{n^{2}-m^{2}}}$$.

Мы умножили числитель и знаменатель дроби $$\frac{-4n}{m^{2}-n^{2}}$$ на число $$-1$$ и получили $$\frac{4n}{n^{2}-m^{2}}$$.

Выберите один из вариантов

В результате преобразования выражения $$5^{x}-5^{x-1}+0,2\cdot 5^{x+2}-10\cdot 5^{x-2}$$ получим:

  1. При вынесении общего множителя за скобку необходимо каждое слагаемое разделить на этот множитель.
  2. Свойство степеней:

    $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$.

Вынесем за скобки множитель $$5^{x-2}$$

В скобках получим:
$$5^{x-(x-2)}-5^{x-1-(x-2)}+0,2\cdot 5^{x+2-(x-2)}-10\cdot 5^{x-2-(x-2)}$$.

Тогда:

$$A=5^{x-2}(5^{2}-5^{1}+0,2\cdot 5^{4}-10\cdot 5^{0})$$,

$$A=\frac{5^{x}\cdot 135}{25}=5,4\cdot 5^{x}$$.

За скобки можно было вынести $$5^{x}$$, но мы выносили $$5^{x-2}$$ с тем расчетом, чтобы в скобках получить целые числа.

Выберите один из вариантов

Укажите выражения, не имеющие смысла при $$x\in R$$:

1) $$2^{\frac{2}{x}}$$;

2) $$-0,2^{x}$$;

3) $$(-4)^{x}$$;

4) $$2^{\sqrt{x}}$$;

5) $$(\sqrt{2})^{-x}$$.

Показательным называют выражение вида $$a^{f(x)}$$, где $$a$$ – действительное число, причем $$a> 0$$ и $$a\neq 1$$.

Рассмотрим каждое из приведенных выражений:

1) основание степени $$2$$, но $$x\neq 0$$, следовательно, при $$x\in R$$ выражение лишено смысла;

2) основание степени $$0,2$$ $$(-0,2^{x}= -(0,2^{x}))$$ и $$x\in R$$, следовательно, выражение не лишено смысла;

3) основание степени $$-4$$, следовательно, выражение лишено смысла;

4) основание степени $$2$$, но $$x\geq 0$$, следовательно, при $$x\in R$$ выражение лишено смысла;

5) это выражение не лишено смысла.

Показательные выражения $$a^{f(x)}$$ целесообразно рассматривать только при условии, что $$a> 0$$ и $$a\neq 1$$, так как при $$a= 1$$ всегда будем получать тождество $$1^{f(x)}= 1$$, а при $$a< 0$$ выражение $$(-a)^{^{f(x)}}$$ может быть лишено смысла.

Выберите один из вариантов