Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\sqrt{\varphi (x)}$$, то
ОДЗ $$\left\{\begin{matrix} {f(x)} \geq 0, & & \\ g(x)\geq 0, & & \\ \varphi (x) \geq 0.& & \end{matrix}\right.$$
Перенесем отрицательное слагаемое в правую часть уравнения $$\sqrt{f(x)}=\sqrt{\varphi (x)}+\sqrt{g(x)}$$ и дважды возведем обе его части в квадрат при условии, что обе части уравнений не отрицательны.

1. ОДЗ: $$\begin{cases}2-x\geq 0, \\ x+3\geq 0; \end{cases}$$ $$\begin{cases}x\leq 2, \\ x\geq -3;\end{cases}$$ $$x\in [-3; 2]$$. 
2. Запишем уравнение в виде $$\sqrt[]{2-x}=\sqrt{x+3}+1$$ и возведем обе его части в квадрат:
   $$\left(\sqrt[]{2-x}\right)^2=\left(\sqrt{x+3}+1\right)^2$$,
    $$2-x=x+3+1+2\sqrt{x+3}$$,
   $$2\sqrt{x+3}=-2-2x$$,
   $$\sqrt{x+3}=-1-x$$. 
3. Полученное уравнение имеет решение при $$-1-x\geq 0$$, откуда $$x\leq -1$$.
   Возведем обе его части в квадрат:
   $$\left (\sqrt{x+3}\right)^2=(-1-x)^2$$,
   $$x^2+x-2=0$$, откуда по теореме Виета $$x_{1}+x_{2}=-1,$$ а $$x_{1}x_{2}=-2$$.
4. Тогда $$x_{1}=-2$$, а $$x_{2}=1$$.
   Число $$1$$ не является корнем уравнения, так как не удовлетворяет условию $$x\leq -1$$.

Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательные.

Если уравнение имеет вид $$\sqrt[3]{f(x)}=\varphi (x)$$, то возведя обе части уравнения в куб, получим равносильное ему уравнение $$f(x)=\varphi^{3} (x)$$.

1. ОДЗ: так как $$1+x^{2}>0$$, то $$x\in R$$. 
2. Решение уравнения:
    $$\left (\sqrt[3]{\sqrt{1+x^{2}}-10} \right )^{3}=(-2)^{3}$$, $$({\sqrt{1+x^{2}}-10} )=-8$$, $$(\sqrt{1+x^{2}})=2$$, $$(\sqrt{1+x^{2}} )^2=2 ^2$$, $$1+x^{2}=4$$, $$x=\pm \sqrt{3}$$. 
3. Произведение корней уравнения: $$x_{1}\cdot x_{2}=-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=-3$$.

1. Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.
2. Возводить уравнение в нечетную степень можно и при отрицательной правой части.

1. Иррациональным называют уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.
2. Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов четной степени.
3. Дробным называют уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби.
4. Область допустимых значений дробного уравнения не содержит тех значений переменной, которые обращают в нуль знаменатель дроби.

1. $$x-2\leq 0$$, откуда $$x\leq 2$$; 
2. $$x^{2}-9=0$$, откуда $$x=\pm 3$$.

Область допустимых значений выражения $$\sqrt[3]{2x+1}$$ – множество всех действительных чисел.

Если уравнение имеет вид $$f(x)\cdot g(x)=0$$, то на ОДЗ оно равносильно совокупности уравнений:

$$f(x)=0$$ или $$g(x)=0$$.

1. ОДЗ: $$16-x^2\geq 0$$, $$ x^2\leq 16,\left | x \right |\leq 4$$, $$x\in [-4;4]$$. 
2. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
   1) $$8-x=0$$, откуда $$x=8$$;
   2) $$16-x^2=0$$, откуда $$x=\pm 4$$. 
3. Так как число $$8$$ не принадлежит ОДЗ уравнения, то оно не является его корнем. 
4. Произведение корней уравнения: $$-4\cdot 4=-16$$.

1. Выражение, записанное под знаком корня четной степени, не должно быть отрицательным.
2. Совокупность уравнений мы решали на ОДЗ.

1. Теорема Виета: сумма корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение его корней равно $$\frac{c}{a}$$.
2. Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам: 
   $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, 
   где дискриминант $$D=b^2-4ac \geq0$$.

1. Запишем уравнение в виде:
   $$\sqrt{2x^2-x-15}=4x^2-2x-30-15$$,
   $$\sqrt{2x^2-x-15}=2(2x^2-x-15)-15$$. 
2. Полагая $$\sqrt{2x^2-x-15}=y$$, получим:
   $$y=2y^2-15$$, $$2y^{2}-y-15=0$$, откуда $$D=1+120=121$$, $$y_{1}=\frac{1-11}{4}=-2,5$$, $$y_{2}= \frac{1+11}{4}=3$$. 
3. Решим уравнения:
   1) $$\sqrt{2x^2-x-15}=-2,5$$, откуда $$x\in \varnothing$$;
   2) $$\sqrt{2x^2-x-15}=3$$, $$2x^2-x-15=9$$, $$2x^2-x-24=0$$, откуда по теореме, обратной теореме Виета, $$x_{1}x_{2}=\frac{-24}{2}=-12$$.

1. Значение корня четной степени не может быть отрицательным.
2. Применяя теорему Виета, необходимо находить дискриминант уравнения, потому что, если он отрицательный, то уравнение вовсе не имеет корней.

Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ , то, возведя обе части уравнения в квадрат, при условии, что $$g(x)\geq 0$$, получим: 

$$f(x)=g^{2}(x)$$.

Если $$1-x\geq 0$$ или $$x\leq 1$$, то:

$$2x+1=(1-x)^2$$, $$2x+1=1-2x+x^2$$, $$x^2-4x=0$$,

$$x(x-4)=0$$, откуда $$x_{1}=0, x_{2}=4$$. 

Число $$4$$ не удовлетворяет условию $$x\leq 1$$, следовательно, не является корнем этого уравнения.

Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.

Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам: 

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, 

где $$D=b^2-4ac \geq0$$.

1. Полагая $$\sqrt[4]{2-x}=y$$, получим:
    $$2y^2-5y-12=0$$, откуда $$D=25+96=121$$, $$y_{1}=\frac{5-11}{4}=-\frac{3}{2}$$, $$ y_{2}=\frac{5+11}{4}=4$$. 
2. Решим уравнения:
   1) $$\sqrt[4]{2-x}=-\frac{3}{2}$$, откуда $$x\in \varnothing$$;
   2) $$\sqrt[4]{2-x}=4$$, откуда $$2-x=256$$, $$x=-254$$.

Значение корня четной степени не может быть отрицательным.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
   $$\left (\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)} \right )^{2}=\left (\varphi (x) \right )^{2}$$. 
2. «Уединим» радикал, приведем подобные слагаемые и снова возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии, что обе части и этого уравнения не отрицательные.

1. ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} 2-x\geq 0, \\ 3-x\geq 0; \end{matrix}\right.$$ $$ \left\{\begin{matrix} x\leq 2, \\ x \leq 3. \end{matrix}\right.$$
   Следовательно, $$ x\leq 2$$. 
2. Так как обе части уравнения не отрицательны на ОДЗ, то можем возводить его в квадрат:
   $$\left (\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x} \right )^{2}=1$$, $$2-x+3-x+2\sqrt{(2-x)(3-x)})=1$$, $$2\sqrt{x^2-5x+6}=2x-4$$, $$\sqrt{x^2-5x+6}=x-2$$. 
3. Полученное уравнение имеет решение при $$x\geq 2$$.
   Следовательно, корнем может быть только число $$2$$.
   Проверка: $$\sqrt{2-2}+\sqrt{3-2}=1$$, $$1=1$$.

Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.

Формула квадрата суммы (разности):
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

1. Пусть $$\sqrt[3]{x-1}=a$$, откуда $$x-1=a^3$$, и пусть $$\sqrt{2-x}=b\geq 0$$, откуда $$2-x=b^2$$. 
2. Складывая равенства $$x-1=a^3$$ и $$2-x=b^2$$, получим: $$a^3+b^2=1$$. 
3. Запишем систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix} a-b=1, \hfill \\ a^3+b^2=1. \end{matrix}\right.$$ 
4. Выразим переменную $$b$$ из первого уравнения системы: $$b=a-1$$. 
5. Подставим значение $$b$$ во второе уравнение системы:
   $$a^3+(a-1)^2=1,$$ $$a^3+a^2-2a=0$$, $$a(a^2+a-2)=0$$, откуда $$a_{1}=0, a_{2}=1, a_{3}=-2$$. 
6. Тогда, $$b_{1}=-1, b_{2}=0, b_{3}=-3$$.
   Так как $$b\geq 0$$, то $$\sqrt{2-x}=0$$, откуда $$x=2$$.

Выражение $$\sqrt[3]{f(x)}$$ может быть как положительным, так и не положительным, а выражение $$\sqrt{f(x)}$$ всегда неотрицательное.

Если уравнение имеет вид $$\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}=\varphi (x)$$, то выполняют преобразования:
$$\sqrt[3]{f(x)}=\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)}$$,

$$(\sqrt[3]{f(x)})^3=(\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)})^3$$,

$$f(x)=(\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)})^3$$.
Далее, как правило, следует подстановка: 

$$\sqrt[3]{g(x)}=a$$.

1. Запишем уравнение в виде: $$\sqrt[3]{3+2x}=2-\sqrt[3]{1-2x}$$. 
   Возведем его в третью степень:
   $$(\sqrt[3]{3+2x})^3=(2-\sqrt[3]{1-2x})^3$$, $${3+2x}=8-12\sqrt[3]{1-2x}+6(\sqrt[3]{1-2x})^2-1+2x$$, $$2-6\sqrt[3]{1-2x}+3(\sqrt[3]{1-2x})^2=0$$. 
2. Полагая $$\sqrt[3]{1-2x}=a$$, получим:
   $$3a^2-6a+2=0$$, где $$D=36-24=12$$, $$a_{1}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}$$, $$a_{2}=\frac{6+2\sqrt{3}}{6}$$. 
3. Рассмотрим уравнения: $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{1}$$ и $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{2}$$.
   Возведя их в третью степень, получим линейные уравнения, каждое из которых имеет по одному корню. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

1.  Уравнения $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{1}$$ и $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{2}$$ решать не обязательно, так как необходимо определить количество корней, а не сами корни. 
2. Уравнение $$\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}=\varphi (x)$$ можно решить иначе.
   Согласно формуле $$a^3\pm b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$, получим:
   $$\left (\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)} \right )^3=\varphi ^3(x)$$, $$f(x)+g(x)+3\sqrt[3]{f(x)g(x)}\cdot \varphi(x)=\varphi ^3(x)$$.
   «Уединяя» радикал и снова возводя обе части уравнения в третью степень, получим уравнение, не содержащее переменную под знаком радикала.