Загрузка

Иррациональные уравнения

Уравнение $$\frac{\sqrt[3]{2x+1}}{\sqrt{x-2}}$$$$=\frac{x+2}{x^{2}-9}$$ не имеет смысла при:

  1. Иррациональным называют уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.
  2. Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов четной степени.
  3. Дробным называют уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби.
  4. Область допустимых значений дробного уравнения не содержит тех значений переменной, которые обращают в нуль знаменатель дроби.

Так как уравнение дробно-иррациональное, то оно лишено смысла в случае, когда $$x-2\leq 0$$ или $$x\leq 2$$ и $$x^{2}-9=0$$ или $$x=\pm 3$$ . Иначе при $$x\leq 2$$ и $$x=3$$.

Область допустимых значений выражения $$\sqrt[3]{2x+1}$$ – множество всех действительных чисел.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{2x+1}=1-x$$ равно:

Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ , то, возведя обе части уравнения в квадрат, при условии, что $$g(x)\geq 0$$, получим: $$f(x)=g^{2}(x)$$.

Если $$1-x\geq 0$$ или $$x\leq 1$$, то $$2x+1=(1-x)^2$$ ,$$2x+1=1-2x+x^2,x^2-4x=0,x(x-4)=0$$, откуда $$x_{1}=0, x_{2}=4$$. Число 4 не удовлетворяет условию $$x\leq 1$$, следовательно, не является корнем этого уравнения.

Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.

Выберите один из вариантов

Произведение корней уравнения $$\sqrt[3]{\sqrt{1+x^{2}}-10}=-2$$ равно:

Если уравнение имеет вид $$\sqrt[3]{f(x)}=\varphi (x)$$, то возведя обе части уравнения в куб, получим равносильное ему уравнение $$f(x)=\varphi^{3} (x)$$.

ОДЗ: так как $$1+x^{2}>0$$, то $$x\in R$$.
Тогда: $$\left (\sqrt[3]{\sqrt{1+x^{2}}-10} \right )^{3}=(-2)^{3}$$,
$$({\sqrt{1+x^{2}}-10} )=-8$$,
$$(\sqrt{1+x^{2}})=2 ,(\sqrt{1+x^{2}} )^2=2 ^2$$,
$$1+x^{2}=4 ,x^2=3$$,
$$x=\pm \sqrt{3}$$ и $$x_{1}x_{2}=-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=-3$$.

  1. Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.
  2. Возводить уравнение в нечетную степень можно и при отрицательной правой части.
Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}=1$$ равно:

Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\varphi (x)$$ , то
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} {f(x)} \geq 0, & & \\ g(x)\geq 0, & & \\ \varphi (x) \geq 0.& & \end{matrix}\right.$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$\left (\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)} \right )^{2}=\left (\varphi (x) \right )^{2}.$$
«Уединим» радикал, приведем подобные слагаемые и снова возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии, что обе части и этого уравнения не отрицательные.

  1. ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} 2-x\geq 0, & \\ 3-x\geq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 2, & \\ x \leq 3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\leq 2.$$
  2. Так как обе части уравнения не отрицательны на ОДЗ, то можем возводить его в квадрат:
    $$\left (\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x} \right )^{2}=1, 2-x+3-x+2\sqrt{(2-x)(3-x)})=1$$,
    $$2\sqrt{x^2-5x+6}=2x-4,\sqrt{x^2-5x+6}=x-2.$$
    Это уравнение имеет решение при $$x\geq 2$$.
    Учитывая ОДЗ уравнения $$\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}=1$$ , видим, что его корнем может быть только число 2. Проверка: $$\sqrt{2-2}+\sqrt{3-2}=1, 1=1$$.

Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательны.

Выберите один из вариантов

Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt[]{2-x}-\sqrt{x+3}=1$$ равна:

Если уравнение имеет вид $$\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\sqrt{\varphi (x)}$$, то
ОДЗ $$\left\{\begin{matrix} {f(x)} \geq 0, & & \\ g(x)\geq 0, & & \\ \varphi (x) \geq 0.& & \end{matrix}\right.$$
Перенесем отрицательное слагаемое в правую часть уравнения $$\sqrt{f(x)}=\sqrt{\varphi (x)}+\sqrt{g(x)}$$ и дважды возведем обе его части в квадрат при условии, что обе части уравнений не отрицательны.

  1. ОДЗ:$$\left\{\begin{matrix} 2-x\geq 0,\\ x+3\geq 0; \\ \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x\leq 2,\hfill \\ x\geq -3;\\ \end{matrix}\right. x\in [-3;2].$$
  2. Запишем уравнение в виде $$\sqrt[]{2-x}=\sqrt{x+3}+1$$ и возведем обе его части в квадрат:
    $$(\sqrt[]{2-x})^2=(\sqrt{x+3}+1)^2, 2-x=x+3+1+2\sqrt{x+3},$$
    $$2\sqrt{x+3}=-2-2x,\sqrt{x+3}=-1-x$$.
    Это уравнение имеет решение при $$-1-x\geq 0$$ или $$x\leq -1$$ .
    Возводя обе его части в квадрат, получим:
    $$x+3=1+2x+x^2$$ или $$x^2+x-2=0$$, откуда по теореме Виета $$x_{1}+x_{2}=-1,$$ а $$x_{1}x_{2}=-2$$ . Тогда $$x_{1}=-2$$, а $$x_{2}=1$$.
    Очевидно, что число 1 не является корнем уравнения.

Возводить уравнение в четную степень можно только при условии, что обе его части не отрицательные.

Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left (8-x \right )\sqrt{16-x^2}=0$$ равно:

Если уравнение имеет вид $$f(x)\cdot g(x)=0$$, то на ОДЗ оно равносильно совокупности уравнений:$$f(x)=0$$ или $$g(x)=0$$.

  1. ОДЗ: $$16-x^2\geq 0, x^2\leq 16,\left | x \right |\leq 4,x\in [-4;4]$$.
  2. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
    1. $$8-x=0$$, откуда $$x=8$$;
    2. $$16-x^2=0$$, откуда $$x=\pm 4$$.
  3. Так как число 8 не принадлежит ОДЗ уравнения, то оно не является его корнем.
  4. Произведение корней уравнения равно: $$-4\cdot 4=-16$$.
  1. Выражение, записанное под знаком корня четной степени, не должно быть отрицательным.
  2. Совокупность уравнений мы решали на ОДЗ.
Выберите один из вариантов

Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2\sqrt{2-x}-5^4\sqrt{2-x}=12$$ равна:

Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где$$D=b^2-4ac$$$$\geq0$$ .

  1. Полагая $$\sqrt[4]{2-x}=y$$, получим $$2y^2-5y-12=0$$ , откуда $$D=25+96=121,$$$$y_{1}=\frac{5-11}{4}=-\frac{3}{2}, y_{2}=\frac{5+11}{4}=4$$.
  2. Решим уравнения:
    1. $$\sqrt[4]{2-x}=-\frac{3}{2}$$ , откуда $$x\in \varnothing$$;
    2. $$\sqrt[4]{2-x}=4$$ , откуда $$2-x=256, x=-254$$.

Значение корня четной степени не может быть отрицательным.

Выберите один из вариантов

Произведение всех корней уравнения $$\sqrt{2x^2-x-15}=4x^2-2x-45$$ равно:

  1. Теорема Виета: сумма корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение его корней равно $$\frac{c}{a}$$.
  2. Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где дискриминант $$D=b^2-4ac \geq0 .$$
  1. Запишем уравнение в виде
    $$\sqrt{2x^2-x-15}=4x^2-2x-30-15,$$
    $$\sqrt{2x^2-x-15}=2(2x^2-x-15)-15$$.
  2. Полагая $$\sqrt{2x^2-x-15}=y$$ , получим:
    $$y=2y^2-15$$ или $$2y^2-y-15=0,$$
    откуда $$D=1+120=121,y_{1}=\frac{1-11}{4}=-2,5, y_{2}= \frac{1+11}{4}=3.$$
  3. Решим уравнения:
    1. $$\sqrt{2x^2-x-15}=-2,5$$, откуда $$x\in \varnothing$$;
    2. $$\sqrt{2x^2-x-15}=3, 2x^2-x-15=9,2x^2-x-24=0$$, откуда по теореме Виета $$x_{1}x_{2}=\frac{-24}{2}=-12$$ .
  1. Значение корня четной степени не может быть отрицательным.
  2. Применяя теорему Виета, необходимо находить дискриминант уравнения, потому что, если он отрицательный, то уравнение вовсе не имеет корней.
Выберите один из вариантов

Количество корней уравнения $$\sqrt[3]{3+2x}+\sqrt[3]{1-2x}=2$$ равно:

Если уравнение имеет вид $$\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}=\varphi (x)$$, то, выполняют преобразования:
$$\sqrt[3]{f(x)}=\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)},(\sqrt[3]{f(x)})^3=(\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)})^3,$$ $$f(x)=(\varphi (x)-\sqrt[3]{g(x)})^3$$.
Далее, как правило, следует подстановка $$\sqrt[3]{g(x)}=a$$ .

  1. Запишем уравнение в виде $$\sqrt[3]{3+2x}=2-\sqrt[3]{1-2x}$$ и возведем его в третью степень:
    $$(\sqrt[3]{3+2x})^3=(2-\sqrt[3]{1-2x})^3,$$
    $${3+2x}=8-12\sqrt[3]{1-2x}+6(\sqrt[3]{1-2x})^2-1+2x,$$
    $$2-6\sqrt[3]{1-2x}+3(\sqrt[3]{1-2x})^2=0.$$
  2. Полагая $$\sqrt[3]{1-2x}=a$$, получим:
    $$3a^2-6a+2=0, D=36-24=12,$$ $$a_{1}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}, a_{2}=\frac{6+2\sqrt{3}}{6}$$.
  3. Рассмотрим уравнения $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{1}$$ и $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{2}$$ .
    Возведя их в третью степень, получим линейные уравнения, каждое из которых имеет по одному корню. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.
  1. Уравнения $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{1}$$ и $$\sqrt[3]{1-2x}=a_{2}$$ решать вовсе не обязательно, так как необходимо определить количество корней, а не сами корни.
  2. Уравнение $$\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}=\varphi (x)$$ можно решить иначе.
    Согласно формуле $$a^3\pm b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$, получим:
    $$\left (\sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)} \right )^3=\varphi ^3(x)$$, $$f(x)+g(x)+3\sqrt[3]{f(x)g(x)}\cdot \varphi(x)=\varphi ^3(x)$$.
    «Уединяя» радикал и снова возводя обе части уравнения в третью степень, получим уравнение, не содержащее переменную под знаком радикала.
Введите ответ в поле

Модуль суммы всех корней (или корень, если он единственный) уравнения$$ \sqrt[3]{x-1}-\sqrt{2-x}=1$$ равен:

Формула квадрата суммы (разности):
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

  1. Пусть $$\sqrt[3]{x-1}=a$$ , откуда $$x-1=a^3$$ ,
    и пусть $$\sqrt{2-x}=b\geq 0$$ , откуда $$2-x=b^2$$ .
  2. Складывая равенства $$x-1=a^3$$ и $$2-x=b^2$$ , получим: $$a^3+b^2=1$$.
  3. Запишем систему уравнений $$\left\{\begin{matrix} a-b=1, \hfill \\ a^3+b^2=1. \end{matrix}\right.$$
    Выразим переменную $$b$$ из первого уравнения системы: $$b=a-1$$.
    Подставим значение $$b$$ во второе уравнение системы:
    $$a^3+(a-1)^2=1,$$ $$a^3+a^2-2a=0,$$ $$a(a^2+a-2)=0,$$ откуда $$a_{1}=0, a_{2}=1, a_{3}=-2$$ .
    Тогда, $$b_{1}=-1, b_{2}=0, b_{3}=-3$$.
    Так как $$b\geq 0$$, то $$\sqrt{2-x}=0$$ , откуда $$x=2$$.

Выражение $$\sqrt[3]{f(x)}$$ может быть как положительным, так и не положительным, а выражение $$\sqrt{f(x)}$$ всегда не отрицательное.

Введите ответ в поле