Загрузка

Логарифмические уравнения

Область определения уравнения $$log_{x+2} x^2 =2x-3$$ имеет вид:

Логарифмическим называют уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, то есть уравнение вида:
$$log_{g(x)} f(x)= \varphi (x)$$, где $$f(x)>0, g(x)>0, g(x)\neq 1$$.
Функция $$f(x)$$ – аргумент логарифмической функции, а функция $$g(x)$$– ее основание.

Уравнение имеет решение, если:
$$\left\{\begin{matrix} x^2>0,\hfill \\ x+2>0,\hfill \\ x+2\neq 1\hfill \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0,\hfill \\ x>-2,\hfill \\ x\neq -1\hfill \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in$$$$(-2;-1)\cup (-1;0)\cup (0;+\infty ).$$

Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание положительное и к тому же не равно числу 1.

Выберите один из вариантов

Произведение корней уравнений $$log_{3}^{2} x=4$$ и $$log_{3} x^2=2$$ равно:

  1. Если уравнение имеет вид $$f^2(x)$$ $$=a$$, то оно равносильно совокупности уравнений $$f(x)=a$$ и $$f(x)=-a$$ при условии, что $$a\geq 0$$ .
  2. Если уравнение имеет вид $$log_{a}f(x)=b$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=a^b$$ при условии, что $$a>0$$ и $$a\neq 1; f(x)>0$$.
  1. Решим уравнение $$log^{2}_{3}x=4$$. ОДЗ: $$x>0$$. Тогда:
    1. $$log_{3} x =2$$ , откуда $$x=3^2=9$$;
    2. $$log_{3} x =-2$$, откуда $$x=3^{-2}=\frac{1}{9}$$.
  2. Решим уравнение $$log_{3} x^2=2$$. ОДЗ: $$x\neq 0$$. Тогда, $$x^2=3^2$$, откуда $$x=\pm 3$$.
  3. Найдем произведение всех корней уравнений:
    $$9\cdot \frac{1}{9}\cdot 3\cdot (-3)=-9$$.

Неравенство $$x^2\geq 0$$ выполняется при $$x\in R$$ , а неравенство $$x^2>0$$ выполняется при $$x\in R/ x\neq 0$$.

Выберите один из вариантов

Сумма квадратов корней уравнения $$log_{0,5}(2x^2-1)=-2$$ равна:

  1. Если уравнение имеет вид $$log_{a}f(x)=b$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=a^b$$ при условии, что $$a>0$$ и $$a\neq 1; f(x)>0$$.
  2. Определение степени: $$\left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^n$$.
  1. ОДЗ: $$2x^2>1,$$ $$x^2 > 0,5,$$ $$\left |x \right |>\sqrt{0,5}.$$
  2. Тогда, $$log_{\frac{1}{2}}(2x^2-1)=-2 \Leftrightarrow 2x^2-1=\left (\frac{1}{2} \right )^{-2}$$, откуда $$2x^2=1+4,$$ $$x=\pm \sqrt{2,5}.$$
  3. Так как оба корня принадлежат ОДЗ, то найдем сумму их квадратов: $$2,5+2,5=5$$ .

Если аргумент логарифма всегда положительный, а его основание положительное и к тому же не равно 1, то значение логарифма может быть положительным, отрицательным или числом 0. Так, в записи $$log_{a}b=c$$ , число $$b>0$$, число $$a>0$$ и $$a\neq 1$$, $$c$$ – любое число.

Выберите один из вариантов

Корень уравнения $$log_{x-1}2x=0$$ принадлежит множеству чисел:

Если уравнение имеет вид $$log_{g(x)}f(x)=\varphi (x)$$, где $$f(x)>0,$$ $$g(x)>0,$$ $$g(x) \neq 1$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=g(x)^{\varphi (x)}$$ .

  1. ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} 2x>0,\hfill\\ x-1>0,\\ x-1\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0,\\ x>1,\\ x\neq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in (1;2)\cup (2;+\infty ).$$
  2. Получим $$2x=(x-1)^{0}$$ , откуда $$2x=1,$$ $$x=0,5.$$
  3. Так как число $$0,5$$ не принадлежит ОДЗ, то оно не является корнем этого уравнения.

Элементы множества можно заключать в фигурные скобки.

Например, запись $$\left\{ 2;5; 6,2; 10\right\}$$ означает, что мы имеем множество чисел: $$2; 5; 6,2$$ и $$10.$$

Выберите один из вариантов

Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$lg$$ $$log_{2}(3+x)=0$$ равна:

Если уравнение имеет вид $$log_{a} f(x)=b$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=a^{b}$$ при условии, что $$a>0$$ и $$a\neq 1$$ $$; f(x)>0$$.

  1. ОДЗ:
    $$\begin{cases} 3+x> 0,\hfill\\ log_{2}(3+x)> 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x> -3,\hfill\\3+x>1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x> -3, \\ x> -2 \end{cases} \Leftrightarrow x> -2$$.
  2. Тогда, $$log_{2}(3+x)=1$$, $$3+x=2,$$ $$x=-1.$$

Так как $$-1> -2$$ , то число – 1 – корень уравнения.

Десятичный логарифм числа $$a$$ записывают $$lg a$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2 lg(x+1)-lg2=lg (x^3+1)$$ равно:

  1. Свойство логарифмов:
    $$log _{a}bc=log _{a}b+log _{a}c$$.
  2. Если уравнение имеет вид $$log_{a} f(x)=log_{a}g(x)$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=g(x)$$ при условии, что
    $$a>0$$ и $$a\neq 1; f(x)>0$$, $$g(x)> 0$$.
  3. Формула суммы (разности) кубов:
    $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2}).$$
  4. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx=c=0$$ находят по формулам:
    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где дискриминант $$D=b^2-4ac$$ $$\geq 0$$.
  1. ОДЗ: $$x>-1$$.
  2. Применяя свойства логарифмов, получим:
    $$lg(x+1)^2=lg(x^3+1)+lg2,$$
    $$lg(x+1)^2=lg 2(x^3+1),$$
    $$(x+1)^2=2(x^3+1),(x+1)^2-2(x+1)(x^2-x+1)=0,$$
    $$(x+1)(x+1-2x^2+2x-2)=0,$$
    $$(x+1)(2x^2-3x+1)=0$$.
    Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:
    1. $$x+1=0$$ , откуда $$x=-1\notin$$ ОДЗ;
    2. $$2x^2-3x+1=0$$ , откуда $$D=1$$, $$x_{1}=1,$$ $$x_{2}=0,5$$ (оба корня принадлежат ОДЗ).
  3. Найдем среднее арифметическое корней этого уравнения:
    $$\frac{1+0,5}{2}=0,75$$.

Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают $$log_{10}b=lg b$$.

Выберите один из вариантов

Сумма корней (или куб корня, если он единственный) уравнения $$log_{7}\sqrt{\frac{2x}{x-1}}=log_{49}\frac{x-1}{2x}$$ равна:

  1. Свойства логарифмов:
    $$log_{a^{m}}b=\frac{1}{m}log_{a}b;$$ $$log_{a}b^{m}=mlog_{a}b.$$
  2. Если уравнение имеет вид $$log_{a} f(x)=log_{a}g(x)$$ , то оно равносильно уравнению
    $$f(x)=g(x)$$ при условии, что $$a> 0$$ и $$a\neq 1$$; $$f(x)> 0$$, $$g(x)> 0$$.
  3. Квадрат суммы (разности):
    $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
  4. Корни квадратного уравнения$$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам:
    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,
    где дискриминант $$D=b^2-4ac\geq 0$$.
  5. Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна $$-\frac{b}{a}$$ , а произведение его корней равно $$\frac{c}{a}$$.
  1. ОДЗ: $$\frac{2x}{x-1}>0$$.
  2. По свойствам логарифмов:

    $$(log_{7}{\frac{2x}{x-1}})^{\frac{1}{2}}= log_{7^{2}}\frac{x-1}{2x}, $$

    $${\frac{1}{2}} log_{7}{\frac{2x}{x-1}} ={\frac{1}{2}}log_{7}\frac{x-1}{2x}$$,

     $$log_{7}\frac{2x}{x-1}=log_{7}\frac{x-1}{2x}$$, $${\frac{2x}{x-1}} =\frac{x-1}{2x}.$$

    Тогда, $$4x^2=(x-1)^2,$$ $$4x^2=x^2-2x+1,$$ $$3x^2+2x-1=0,$$

    откуда: $$D=16,$$ $$x_{1}=-1,$$ $$x_{2}=\frac{1}{3}.$$

    Так как $$x_{2}=\frac{1}{3}$$ не принадлежит ОДЗ, то данное уравнение имеет один корень $$x_{1}=-1$$  и  $$(-1)^3$$$$=-1$$.

  1. Сумму корней уравнения $$3x^2+2x-1=0$$ можно было бы найти по теореме Виета.
    Но мы не воспользовались этой возможностью, так как не были уверены в том, что оба корня принадлежат ОДЗ.
  2. Решая уравнение $${\frac{2x}{x-1}} =\frac{x-1}{2x},$$ мы использовали основное свойство пропорции: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow bc=ad$$.
Выберите один из вариантов

Полусумма корней уравнения $$log_{0,5}^{2} x-log_{2} x^2-3=0$$ равна:

  1. Если $$x>0,$$ то $$log_{a} x^2 \Leftrightarrow 2 log_{a} x$$ .
  2. Если $$x\in R/x\neq 0$$ , то выражение $$log_{a} x^2$$ не равносильно выражению $$2 log_{a} x$$ (так как при $$x<0$$ выражение $$2 log_{a} x$$ вовсе лишено смысла), но равносильно выражению $$2 log_{a} \left |x \right |$$ .
    Следовательно, $$log_{a} x^2 = 2 log_{a} \left |x \right |$$.
  1. ОДЗ: $$x>0$$ .
  2. По свойствам логарифмов:

    $$ (log_{2^{-1}}x)^{2}-2log_{2}x-3=0,$$

    $$ (-log_{2}x )^{2} -2log_{2}x-3=0,$$

    $$(log_{2}x)^{2} -2log_{2}x-3=0.$$

  3. Решая квадратное уравнение относительно $$log_{2}x$$ , получим:
    $$log_{2}x=3$$, откуда $$x=8$$ или $$log_{2}x=-1$$, откуда $$x=0,5$$.
  4. Найдем полусумму корней уравнения:
    $$\frac{8+0,5}{2}=4,25$$.

Если $$x>0$$, то $$log_{a} x^2$$$$= 2 log_{a} x$$, а если знак $$x$$ не известен, то $$log_{a} x^2 = 2 log_{a} \left |x \right |$$.

Выберите один из вариантов

Частное от деления большего и меньшего корней уравнения $$log_{0,2}x+log_{5x}25=0$$ равно:

  1. Свойства логарифмов:

    $$log_{a}b=\frac{1}{log_{b} a};$$ $$log_{a}b^{n}=n\cdot log_{a}b ;$$ $$log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c;$$ $$log_{a}a=1.$$

  2. Определение логарифма: $$log_{a}b=c\Leftrightarrow b=a^{c}$$.
  1. ОДЗ: $$x>0$$ и $$x\neq 0,2.$$
  2. Выполним преобразования:

    $$log_{5^{-1}}x+log_{5x}5^2=0,$$

    $$-log_{5}x+2log_{5x}5=0,$$

    $$-log_{5}x+\frac{2}{log_{5}5x}=0,$$

    $$-log_{5}x+\frac{2}{log_{5}5+log_{5}x}=0,$$

    $$\frac{2}{1+log_{5}x}=log_{5}x$$.

  3. Полагая $$log_{5}x=a$$ , получим:
    $$\frac{2}{1+a}=a$$ , $$a^2+a-2=0$$ , откуда $$a_{1}=-2,$$ $$a_{2}=1.$$
  4. Тогда: $$log_{5}x=-2$$ и $$x=\frac{1}{25}$$; $$log_{5}x=1$$ и $$x=5$$.
  5. Разделим больший корень уравнения на меньший его корень:
    $$5: \frac{1}{25}=5\cdot 25=125.$$

Если аргумент логарифма всегда положительный, а его основание положительное и к тому же не равно 1, то значение логарифма может быть положительным, отрицательным или числом 0.

Введите ответ в поле

Произведение корней уравнения $$2x^{log_{2}x+1}=10^{lg4x}$$ равно:

  1. Основное логарифмическое тождество: $$a^{log_{a}b}=b$$.
  2. Определение логарифма: $$log_{a}b=c\Leftrightarrow b=a^{c}$$.
  3. Свойство степеней: $$(a^n)^m=a^{nm}$$.
  1. ОДЗ: $$x>0$$.
  2. Выполним преобразования: $$2x^{log_{2}x+1}=4x$$.
  3. Полагая $$log_{2}x=a$$ , а $$x=2^a$$ , запишем:
    $$2\cdot (2^{a})^{a+1}=4\cdot 2^{a},$$ $$(2^{a})^{a+1}=2\cdot 2^a,$$ $$(2^{a})^{a+1}= 2^{a+1},$$ $$a^2+a=a+1,$$ $$a^2=1,$$ $$a=\pm 1.$$
    Тогда, $$x_{1}=2,$$ $$x_{2}=\frac{1}{2}.$$
  4. Найдем произведение корней этого уравнения: $$2\cdot \frac{1}{2}=1$$ .

Справедливо равенство: $$10^{lgb}=b$$.

Введите ответ в поле