Загрузка

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

Не имеют решений уравнения:

  1. $$\left | x \right |=12$$;
  2. $$\left | x \right |=-12$$ ;
  3. $$\left | x \right |=0$$;
  4. $$\left | x \right |=-1-x^{2}$$;
  5. $$\left | x \right |=1+2x$$.

Свойство модуля: $$\left | a\right |\geq 0$$ .

  1. Уравнение $$\left | x\right |=12$$ имеет решение, так как его правая часть положительная.
  2. Уравнение $$\left | x\right |=-12$$ не имеет решений, так как его правая часть отрицательная.
  3. Уравнение $$\left | x \right |=0$$ имеет решение, так как его правая часть не отрицательная.
  4. Уравнение $$\left | x\right |=-1-x^{2}$$ не имеет решений, так как его правая часть отрицательная.
  5. Уравнение $$\left | x\right |=1+2x$$ имеет решение только при условии, что $$1+2x\geq 0$$ .

Выражение $$-1-x^{2}$$ всегда отрицательное, так как $$-1< 0$$ и $$-x^{2}\leq 0$$.

Выберите один из вариантов

Сумма всех корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 8-5x \right |=3$$ равна:

$$\left | f(x) \right |=a \Leftrightarrow$$ $$\left [\begin{matrix} f(x)=a, \\ f(x)=-a \end{matrix}\right.$$ при $$a\geq 0$$.

Поскольку правая часть данного уравнения положительна, то заменим его совокупностью уравнений: $$8-5x=3$$ или $$8-5x=-3$$. Откуда, $$x=1$$ или $$x=2,2$$ . Тогда, $$1+2,2=3,2$$ .

Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.

Выберите один из вариантов

Сумма модулей корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 15-\left | 2-\left | x \right | \right | \right |=6$$ равна:

$$\left | f(x) \right |=a \Leftrightarrow$$$$\left [\begin{matrix} f(x)=a,\\ f(x)=-a \end{matrix}\right.$$ при $$a\geq 0$$.

Запишем уравнение в виде $$\left | \left | \left | x \right |-2 \right | -15\right |=6$$ .
Поскольку правая часть данного уравнения положительна, то заменим его совокупностью уравнений:
$$\left [\begin{matrix} \left | \left | x \right |-2 \right |-15=6,\hfill\\ \left | \left | x \right |-2 \right |-15=-6; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} \left | \left | x \right |-2 \right |=21,\\ \left | \left | x \right |-2 \right |=9.\hfill \end{matrix}\right.$$
Решим первое уравнение совокупности:
$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |-2=21,\hfill\\ \left | x \right |-2=-21; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |=23,\hfill\\ \left | x \right |=-19; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=\pm 23,\\ x\in \varnothing .\hfill \end{matrix}\right.$$
Решим второе уравнение совокупности:
$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |-2=9,\hfill\\ \left | x \right |-2=-9; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} \left | x \right |=11,\hfill\\ \left | x \right |=-7; \hfill\end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=\pm 11,\hfill\\ x\in \varnothing . \hfill\end{matrix}\right.$$
Найдем сумму модулей корней уравнения:
$$\left | 23 \right |+\left | -23 \right |+\left | 11 \right |+\left | -11 \right |=46+22=68$$.

  1. Справедливо равенство: $$\left | a-b \right |=\left | b-a \right |$$.
  2. Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.
Выберите один из вариантов

Произведение всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 3x-2 \right |=6-x$$ равно:

$$\left | f(x) \right |=g\left ( x \right )\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} f(x)=g\left ( x \right ),\\ f(x)=-g\left ( x \right ) \end{matrix}\right.$$ при $$g\left ( x \right )\geq 0$$.
  1. Уравнение может иметь решение только при условии, что $$6-x\geq 0$$ или $$x\leq 6$$.
  2. Тогда, $$\left [\begin{matrix} 3x-2=6-x,\hfill\\ 3x-2=-6+x; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 4x=8,\hfill\\ 2x=-4; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=2,\hfill\\ x=-2. \end{matrix}\right.$$
  3. Оба корня удовлетворяют условию $$x\leq 6$$. Их произведение равно $$2\cdot \left ( -2 \right )=-4$$ .

Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.

Выберите один из вариантов

Произведение всех различных корней уравнения $$\left | 5x+2x^{2} +3\right |=\left | 1-x^{2} \right |$$ равно:

  1. Свойство модуля: $$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$.
  2. Формула разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$.
  1. Возведем обе части уравнения в квадрат:$$\left ( \left | 5x+2x^{2}+3 \right | \right )^{2}=\left ( \left | 1-x^{2} \right | \right )^{2}$$, $$\left ( 5x+2x^{2}+3 \right )^{2}=\left ( 1-x^{2} \right )^{2}$$, $$\left ( 5x+2x^{2}+3 \right )^{2}-\left ( 1-x^{2} \right )^{2}=0$$.
  2. Применим формулу разности квадратов:
    $$\left ( 5x+2x^{2}+3-1+x^{2} \right )\left ( 5x+2x^{2}+3+1-x^{2} \right )=0$$, $$\left ( 3x^{2}+5x+2 \right )\left ( x^{2}+5x+4 \right )=0$$.
  3. Тогда, $$3x^{2}+5x+2=0$$ $$\left ( D> 0 \right )$$, откуда $$x_{1}=-1$$$$x_{1}=-\frac{2}{3}$$ или $$x^{2}+5x+4=0$$, откуда $$x_{3}=-4$$, $$x_{4}=-1$$.
  4. Произведение всех различных корней уравнения:
    $$-1\cdot \left (-\frac{2}{3} \right )\cdot (-4)=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3}.$$

Произведение корней уравнений $$3x^{2}+5x+2=0$$ $$\left ( D> 0 \right )$$ и $$x^{2}+5x+4=0$$$$\left ( D> 0 \right )$$ можно найти по теореме Виета. Но в данном случае мы не можем применить эту теорему, так как уравнения могут иметь равные (не различные, как оговорено в условии) корни. Так и оказалось в действительности!

Выберите один из вариантов

Сумма квадратов всех действительных корней уравнения $$x^{2}-2\left | x \right |-15=0$$ равна:

Свойства модуля: $$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$ ; $$\left | a \right |\geq 0$$ .

  1. Запишем $$\left | x \right |^{2}-2\left | x \right |-15=0$$. Решая квадратное уравнение относительно $$\left | x \right |$$, получим:
    $$\left | x \right |=5$$ , откуда $$x=\pm 5$$ или $$\left | x \right |=-3$$ , откуда $$x\in \varnothing$$ .
  2. Найдем сумму квадратов корней уравнения: $$5^{2}+(-5)^{2}=50$$ .

Это уравнение можно решать, вводя подстановку: $$\left | x \right |=a$$.

Выберите один из вариантов

Количество корней уравнения $$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |+2x=0$$ равно:

  1. Если уравнение содержит несколько модулей, например, имеет вид $$\left | f_{1}(x) \right |\pm \left | f_{2}(x) \right |=g\left ( x \right )$$, то применяем метод интервалов:
    1. находим нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения

      $$f_{1}(x)=0$$ и $$f_{2}(x)=0$$;

    2. наносим нули функций на ОДЗ уравнения;
    3. раскрываем модули на каждом промежутке;
    4. решаем полученные уравнения;
    5. производим отбор корней на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку.
  2. Правило раскрытия модуля: если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:

$$x-3=0$$ , откуда $$x=3$$ и $$x+2=0$$, откуда $$x=-2$$.

Числа $$-2$$ и $$3$$ разобьют всю координатную прямую на промежутки:

$$(-\infty ;-2]\cup (-2;3]\cup (3;+\infty )$$.

На каждом из этих промежутков раскроем модули и решим полученные уравнения.

  1. На промежутке $$(-\infty ;-2]$$ выражения $$x-3$$ и $$x+2$$ отрицательные. Следовательно, $$-(x-3)+(x+2)+2x=0$$, $$-x+3+x+2+2x=0$$, $$x=-2,5$$.
    Число $$-2,5$$ принадлежит промежутку $$(-\infty ;-2]$$ , а, значит, является корнем уравнения.
  2. На промежутке $$(-2;3]$$ выражение $$x-3$$ отрицательное, а $$x+2$$ – положительное. Следовательно, $$-(x-3)-(x+2)+2x=0$$, $$-x+3-x-2+2x=0$$, $$1=0$$.
    Получили неверное числовое равенство. Значит, на промежутке $$(-2;3]$$ корней нет.
  3. На промежутке $$(3;+\infty )$$ выражения $$x-2$$ и $$x+2$$ положительные. Следовательно, $$(x-3)-(x+2)+2x=0$$, $$x-3-x-2+2x=0$$, $$x=2,5$$.
    Число $$2,5$$ не принадлежит промежутку $$(3;+\infty )$$ и, значит, не является корнем уравнения.
Уравнение имеет один корень: $$x=-2,5$$.

Сравните уравнения:

$$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |+2x=0$$ и $$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |=0$$.

Уравнение $$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |=0$$ можно легко решить, если записать его в виде

$$\left | x-3 \right |=\left | x+2 \right |$$ и возвести обе его части в квадрат:

$$\left | x-3 \right |^{2}=\left | x+2 \right |^{2}$$, $$(x-3)^{2}=(x+2)^{2}$$,

$$x^{2}-6x+9=x^{2}+4x+4$$, $$x=0,5$$.

Уравнение $$\left | x-3 \right |-\left | x+2 \right |+2x=0$$ так решать нельзя, поскольку «мешает» слагаемое $$2x$$.

Такие уравнения решают методом интервалов.

Выберите один из вариантов

Число, обратное удвоенному произведению корней (или корню, если он единственный) уравнения $$\frac{2x+3}{ \left | 6+4x \right |}=5x$$ , равно:

  1. Если уравнение содержит несколько модулей, например, имеет вид $$\left | f_{1}(x)^{} \right |\pm \left | f_{2}(x) \right |=g\left ( x \right )$$, то применяем метод интервалов:
    1. находим нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения

      $$f_{1}(x)=0$$ и $$f_{2}(x)=0$$;

    2. наносим нули функций на ОДЗ уравнения;
    3. раскрываем модули на каждом промежутке;
    4. решаем полученные уравнения;
    5. производим отбор корней на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку.
  2. Правило раскрытия модуля: если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

Запишем: $$\frac{2x+3}{2\cdot \left | 3+2x \right |}=5x$$.

Найдем нуль функции, записанной под знаком модуля:

$$3+2x=0$$, $$x=-1,5$$.
Получим промежутки: $$\left ( -\infty ;-1,5 \right )$$ и $$(-1,5;+\infty )$$.
На каждом из этих промежутков раскроем модули и решим полученные уравнения.

  1. На промежутке $$\left ( -\infty ;-1,5 \right )$$ выражение $$3+2x$$ отрицательное. Следовательно, $$\frac{2x+3}{-2\left ( 2x+3 \right )}=5x$$, $$\frac{1}{-2}=5x$$, $$x=-0,1$$.
    Это число не принадлежит промежутку $$\left ( -\infty ;-1,5 \right )$$ и, значит, не является корнем уравнения.
  2. На промежутке $$\left ( -1,5;+\infty \right )$$ выражение $$3+2x$$ положительное. Следовательно, $$\frac{2x+3}{2(2x+3)}=5x$$, $$\frac{1}{2}=5x$$, $$x=0,1$$.
      Это число принадлежит промежутку $$\left ( -1,5;+\infty \right )$$ и, значит, является корнем уравнения.
      Найдем число обратное корню уравнения: $$\left (\frac{1}{10} \right )^{-1}=10.$$

  1. Число $$-1,5$$ не включено ни в один из промежутков, так как оно обращает в нуль знаменатель дроби.
  2. Числа $$a$$ и $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$ взаимно обратные.
Выберите один из вариантов

Увеличенная в $$12$$ раз сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left | 2x-\left | 3-x \right | -1\right |=3\left | x \right |$$ равна:

  1. Свойство модуля: $$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$.
  2. Если уравнение имеет вид $$\left | f(x) \right |=g\left ( x \right )$$, то оно равносильно

    $$\left [\begin{matrix} f(x)=g\left ( x \right ),\\ f(x)=-g\left ( x \right ) \end{matrix}\right.$$ при $$g\left ( x \right )\geq 0$$.

  3. Формула разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$ .

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$(\left | 2x-\left | 3-x \right | -1\right |)^{2}=(3\left | x \right |)^{2}$$,

$$( 2x-\left | 3-x \right | -1)^{2}=(3 x )^{2}$$,

$$( 2x-\left | 3-x \right | -1)^{2}-(3 x )^{2}=0$$.
Применим формулу разности квадратов:
$$(2x-\left | 3-x \right |-1-3x)(2x-\left | 3-x \right |-1+3x)=0$$,

$$(-\left | 3-x \right |-1-x)(5x-\left | 3-x \right |-1)=0$$,

$$(\left | x-3 \right |+1+x)(-5x+\left | 3-x \right |+1)=0$$,

откуда $$\left | x-3 \right |+1+x=0$$ или $$-5x+\left | 3-x \right |+1=0$$ .
Решим каждое из уравнений.

  1. Уравнение $$\left | x-3 \right |=-1-x$$ (при условии, что $$-1-x\geq 0\Leftrightarrow x\leq -1$$ ) равносильно совокупности уравнений:
    $$\left [\begin{matrix} x-3=-1-x,\\ x-3=1+x; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 2x=2,\\ -3=1; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=1,\\ x\in \varnothing .\end{matrix}\right.$$
    Число $$1$$ не является корнем этого уравнения, так как не удовлетворяет условию $$x\leq -1$$.
  2. Уравнение $$\left | 3-x \right |=5x-1$$ (при условии, что $$5x-1\geq 0$$ ) равносильно совокупности уравнений:
    $$\left [\begin{matrix} x-3=5x-1,\hfill \\ x-3=-5x+1;\hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 4x=-2,\hfill \\ 6x=4; \hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x=-0,5,\hfill \\ x=\frac{2}{3}.\hfill \end{matrix}\right.$$
    Число $$-0,5$$ не является корнем этого уравнения, так как не удовлетворяет условию $$x\geq 0,2$$.
    Число $$\frac{2}{3}$$ является корнем уравнения, так как удовлетворяет условию $$x\geq 0,2$$ .
Следовательно, данное уравнение имеет один корень. Увеличим его в $$12$$ раз: $$\frac{2}{3}\cdot 12=8$$ .

Выражение, записанное под знаком модуля, можно умножать на число $$-1$$. Например, $$\left | 3-x \right |=\left | x-3 \right |$$.

Введите ответ в поле

Сумма координат упорядоченных пар чисел, которые образуют множество решений системы уравнений $$\begin{cases} x-2\left | y \right |=-3, \\ \left | x \right |+y=3, \end{cases}$$ равна:

$$\left | f(x) \right |=g\left ( x \right )$$ равносильно $$\left [\begin{matrix} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x) \end{matrix}\right.$$ при $$g\left ( x \right )\geq 0$$.
  1. Выразим переменную $$x$$ из первого уравнения системы: $$x=2\left | y \right |-3$$ .
  2. Подставим полученное значение $$x$$ во второе уравнение системы:

    $$\left | 2\left | y \right | -3\right |+y=3$$, $$\left | 2\left | y \right | -3\right |=3-y$$.
    При $$y\leq 3$$ запишем: $$\left [\begin{matrix} 2\left | y \right |-3=3-y,\hfill \\ 2\left | y \right |-3=-3+y; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 2\left | y \right |=6-y,\hfill \\ 2\left | y \right |=y. \hfill \end{matrix}\right.$$
    В свою очередь:

    1. при $$y\leq 3$$ запишем: $$\left [\begin{matrix} 2y=6-y,\hfill \\ 2y=-6+y, \hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} y_{1}=2,\hfill \\ y_{2}=-6;\hfill \end{matrix}\right.$$
    2. при $$0\leq y\leq 3$$ уравнение $$2\left | y \right |=y$$ равносильно $$y_{3}=0$$.
  3. Зная, что $$x=2\left | y \right |-3$$ , найдем все значения переменной $$x$$.
    Получим: $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=9$$, $$x_{3}=-3$$.
  4. Найдем сумму координат всех пар чисел, которые образуют решение данной системы уравнений: $$(1+2)+(9-6)+(-3+0)=3$$.

Чтобы решить совокупность уравнений, необходимо решить каждое уравнение и объединить их решения.

Введите ответ в поле