1.  Свойство логарифмов:
   $$\textrm{log} _{a}(b\cdot c)=\textrm{log} _{a}b+\textrm{log} _{a}c$$. 
2.  Если уравнение имеет вид $$\textrm{log}_{a} f(x)=\textrm{log}_{a}g(x)$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=g(x)$$ при условии, что:
   $$a>0$$ и $$a\neq 1$$; $$f(x)>0$$, $$g(x)> 0$$. 
3.  Формула суммы (разности) кубов:
   $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$$. 
4.  Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx=c=0$$ находят по формулам:
   $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где дискриминант $$D=b^2-4ac$$ $$\geq 0$$.

1. ОДЗ: $$x>-1$$. 
2. Применяя свойства логарифмов, получим: 
   $$\textrm{lg}(x+1)^2=\textrm{lg}(x^3+1)+\textrm{lg}2$$, $$\textrm{lg}(x+1)^2=\textrm{lg}2(x^3+1)$$, 
   $$(x+1)^2=2(x^3+1)$$, $$(x+1)^2-2(x+1)(x^2-x+1)=0$$, $$(x+1)(x+1-2x^2+2x-2)=0$$, $$(x+1)(2x^2-3x+1)=0$$. 
   Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:  
   1) $$x+1=0$$, откуда $$x=-1\notin$$ ОДЗ;  
   2) $$2x^2-3x+1=0$$, откуда $$D=1$$, $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=0,5$$ (оба корня принадлежат ОДЗ).  
3. Найдем среднее арифметическое корней этого уравнения:  
   $$\frac{1+0,5}{2}=0,75$$.

1.  Свойства логарифмов:

   $$\textrm{log}_{a}b=\frac{1}{\textrm{log}_{b} a}$$; 

   $$\textrm{log}_{a}b^{n}=n\cdot \textrm{log}_{a}b$$; 

   $$\textrm{log}_{a}(b\cdot c)=\textrm{log}_{a}b+\textrm{log}_{a}c$$; 

   $$\textrm{log}_{a}a=1$$.

2.  Определение логарифма: 
$$\textrm{log}_{a}b=c\Leftrightarrow b=a^{c}$$.

1. ОДЗ: $$x>0$$ и $$x\neq 0,2$$. 
2. Выполним преобразования: 
   $$\textrm{log}_{5^{-1}}x+\textrm{log}_{5x}5^2=0$$,
    $$-\textrm{log}_{5}x+2\textrm{log}_{5x}5=0$$, 
   $$-\textrm{log}_{5}x+\frac{2}{\textrm{log}_{5}5x}=0$$, 
   $$-\textrm{log}_{5}x+\frac{2}{\textrm{log}_{5}5+\textrm{log}_{5}x}=0$$, 
   $$\frac{2}{1+\textrm{log}_{5}x}=\textrm{log}_{5}x$$. 
3. Полагая $$\textrm{log}_{5}x=a$$, получим: 
   $$\frac{2}{1+a}=a$$, $$a^2+a-2=0$$, откуда $$a_{1}=-2,$$ $$a_{2}=1$$. 
4. Тогда: 
   1) $$\textrm{log}_{5}x=-2$$, откуда $$x=\frac{1}{25}$$; 
   2) $$\textrm{log}_{5}x=1$$, откуда $$x=5$$. 
5. Разделим больший корень уравнения на меньший его корень: 
   $$5: \frac{1}{25}=5\cdot 25=125$$.

Если аргумент логарифма всегда положительный, а его основание положительное и к тому же не равно $$1$$, то значение логарифма может быть положительным числом, отрицательным числом или числом $$0$$.

Если уравнение имеет вид $$\textrm{log}_{a} f(x)=b$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=a^{b}$$ при условии, что:

 $$a>0$$ и $$a\neq 1$$; $$ f(x)>0$$.

1. ОДЗ: $$\begin{cases} 3+x> 0,\\ \textrm{log}_{2}(3+x)> 0; \end{cases}$$ $$\begin{cases} x> -3,\\3+x>1; \end{cases}$$ $$\begin{cases} x> -3, \\ x> -2; \end{cases}$$ $$x> -2$$. 
2. Решим уравнение:  
   $$\textrm{log}_{2}(3+x)=1$$,  $$3+x=2$$,  $$x=-1$$. 
   Так как $$-1> -2$$, то число $$–1$$ – корень уравнения.

Десятичный логарифм числа $$a$$ записывают $$\textrm{lg} a$$.

1. Если уравнение имеет вид $$f^2(x)$$ $$=a$$, то оно равносильно совокупности уравнений:
   $$f(x)=a$$ и $$f(x)=-a$$ при условии, что $$a\geq 0$$ . 
2.  Если уравнение имеет вид $$\textrm{log}_{a}f(x)=b$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=a^b$$ при условии, что:
   $$a>0$$ и $$a\neq 1$$; $$f(x)>0$$.

1. Решим уравнение $$\textrm{log}^{2}_{3}x=4$$.  ОДЗ: $$x>0$$.  
   Тогда:  
   1) $$\textrm{log}_{3} x =2$$, откуда $$x=3^2=9$$;  
   2) $$\textrm{log}_{3} x =-2$$, откуда $$x=3^{-2}=\frac{1}{9}$$. 
2. Решим уравнение $$\textrm{log}_{3} x^2=2$$.  ОДЗ: $$x\neq 0$$.  
   Тогда, $$x^2=3^2$$, откуда $$x=\pm 3$$.   
3. Найдем произведение всех корней уравнений: 
   $$9\cdot \frac{1}{9}\cdot 3\cdot (-3)=-9$$.

Неравенство $$x^2\geq 0$$ выполняется при $$x\in R$$, а неравенство $$x^2>0$$ выполняется при $$x\in R/ x\neq 0$$.

1. ОДЗ: $$\begin{cases}2x>0,\\x-1>0,\\x-1\neq 1;\end{cases}$$ $$\left\{\begin{matrix} x>0,\\ x>1,\\ x\neq 2; \end{matrix}\right.$$ $$x\in (1;2)\cup (2;+\infty)$$. 
2. Решим уравнение:  
   $$2x=(x-1)^{0}$$, откуда $$2x=1$$, $$x=0,5$$. 
3. Так как число $$0,5$$ не принадлежит ОДЗ, то оно не является корнем этого уравнения.

Элементы множества можно заключать в фигурные скобки.

Например, запись $$\left\{2;5; 6,2; 10\right\}$$ означает, что мы имеем множество чисел: 

$$2$$; $$5$$; $$6,2$$ и $$10$$.

1. Если $$x>0$$, то $$\textrm{log}_{a} x^2 \Leftrightarrow 2 \textrm{log}_{a} x$$.
2. Если $$x\in R/x\neq 0$$, то выражение $$\textrm{log}_{a} x^2$$ не равносильно выражению $$2 \textrm{log}_{a} x$$ (так как при $$x<0$$ выражение $$2 \textrm{log}_{a} x$$ вовсе лишено смысла), но равносильно выражению $$2 \textrm{log}_{a} \left |x \right |$$.
   Следовательно, $$\textrm{log}_{a} x^2 = 2 \textrm{log}_{a} \left |x \right |$$.

1. ОДЗ: $$x>0$$.
2. По свойствам логарифмов:

   $$(\textrm{log}_{2^{-1}}x)^{2}-2\textrm{log}_{2}x-3=0$$,

   $$(-\textrm{log}_{2}x )^{2} -2\textrm{log}_{2}x-3=0$$,

   $$(\textrm{log}_{2}x)^{2} -2\textrm{log}_{2}x-3=0$$.

3. Решая квадратное уравнение относительно $$\textrm{log}_{2}x$$, получим:
   $$\textrm{log}_{2}x=3$$, откуда $$x=8$$ или $$\textrm{log}_{2}x=-1$$, откуда $$x=0,5$$.
4. Найдем полусумму корней уравнения:
   $$\frac{8+0,5}{2}=4,25$$.

Если $$x>0$$, то $$\textrm{log}_{a} x^2$$$$= 2 \textrm{log}_{a} x$$.

Если знак $$x$$ не известен, то $$\textrm{log}_{a} x^2 = 2 \textrm{log}_{a} \left |x \right |$$.

1. Основное логарифмическое тождество:   
   $$a^{\textrm{log}_{a}b}=b$$. 
2. Определение логарифма: 
   $$\textrm{log}_{a}b=c\Leftrightarrow b=a^{c}$$. 
3. Свойство степеней: 
   $$\left (a^n\right )^m=a^{nm}$$.

1. ОДЗ: $$x>0$$. 
2. Выполним преобразования уравнения.
    Так как $$10^{\textrm{lg}4x}=4x$$, то $$2x^{\textrm{log}_{2}x+1}=4x$$, откуда $$x^{\textrm{log}_{2}x+1}=2x$$. 
3. Полагая $$\textrm{log}_{2}x=a$$, а $$x=2^a$$, получим:
   $$(2^{a})^{a+1}=2\cdot 2^a$$, $$2^{a^2+a}= 2^{a+1}$$, $$a^2+a=a+1$$, $$a^2=1$$, $$a=\pm 1$$.
   Тогда, $$x_{1}=2$$, $$x_{2}=\frac{1}{2}$$. 
4. Найдем произведение корней этого уравнения (оба корня принадлежат ОДЗ):
    $$2\cdot \frac{1}{2}=1$$.

Справедливо равенство: 

$$10^{\textrm{lg}b}=b$$.

1.  Свойства логарифмов:
   $$\textrm{log}_{a^{m}}b=\frac{1}{m}\textrm{log}_{a}b$$;
    $$\textrm{log}_{a}b^{m}=m\textrm{log}_{a}b$$.

2.  Если уравнение имеет вид $$\textrm{log}_{a} f(x)=\textrm{log}_{a}g(x)$$ , то оно равносильно уравнению $$f(x)=g(x)$$ при условии, что:
   $$a> 0$$ и $$a\neq 1$$, $$f(x)> 0$$, $$g(x)> 0$$.
3. Квадрат суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$. 
4. Корни квадратного уравнения$$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам: 
   $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где дискриминант $$D=b^2-4ac\geq 0$$.
5. Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение его корней равно $$\frac{c}{a}$$ (при условии, что дискриминант неотрицательный).

1. ОДЗ: $$\frac{2x}{x-1}>0$$. 
2. По свойствам логарифмов: 
   $$\left (\textrm{log}_{7}{\frac{2x}{x-1}}\right )^{\frac{1}{2}}=\textrm{log}_{7^{2}}\frac{x-1}{2x}$$, 
   $${\frac{1}{2}} \textrm{log}_{7}{\frac{2x}{x-1}} ={\frac{1}{2}}\textrm{log}_{7}\frac{x-1}{2x}$$, 
   $$\textrm{log}_{7}\frac{2x}{x-1}=\textrm{log}_{7}\frac{x-1}{2x}$$, 
   $${\frac{2x}{x-1}} =\frac{x-1}{2x}$$. 

3. Тогда: $$4x^2=(x-1)^2$$, $$4x^2=x^2-2x+1$$, $$3x^2+2x-1=0$$, откуда:
   $$D=16$$, $$x_{1}=-1$$, $$x_{2}=\frac{1}{3}$$. 

4. Так как $$x_{2}=\frac{1}{3}$$ не принадлежит ОДЗ, то данное уравнение имеет один корень $$x_{1}=-1$$  и $$(-1)^3=-1$$.

1. Сумму корней уравнения $$3x^2+2x-1=0$$ можно найти по теореме Виета.
   Но мы не воспользовались этой возможностью, так как не были уверены в том, что оба корня принадлежат ОДЗ.
2. Решая уравнение $${\frac{2x}{x-1}} =\frac{x-1}{2x},$$ мы использовали основное свойство пропорции: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow bc=ad$$.

Логарифмическим называют уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, то есть уравнение вида:
$$\textrm{log}_{g(x)} f(x)= \varphi (x)$$, 
где $$f(x)>0$$, $$g(x)>0$$, $$g(x)\neq 1$$.

Функция $$f(x)$$ – аргумент логарифмической функции, а функция $$g(x)$$– ее основание.

Уравнение имеет решение, если:

$$\begin{cases}x^2>0,\\ x+2>0,\\x+2\neq 1;\end{cases}$$ $$\begin{cases}x\neq 0,\\ x>-2, \\ x\neq -1 ;\end{cases}$$ $$ x\in$$ $$(-2;-1)\cup (-1;0)\cup (0;+\infty )$$.

Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание положительное и к тому же не равно числу $$1$$.

1.  Если уравнение имеет вид $$\textrm{log}_{a}f(x)=b$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=a^b$$ при условии, что:
    $$a>0$$ и $$a\neq 1$$; $$f(x)>0$$. 
2.  Определение степени:
    $$\left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^n$$.

1. ОДЗ: $$2x^2>1$$; $$x^2 > 0,5$$; $$\left |x \right |>\sqrt{0,5}$$. 
2. Решим уравнение:  
   $$\textrm{log}_{\frac{1}{2}}(2x^2-1)=-2$$, откуда $$2x^2-1=\left (\frac{1}{2} \right )^{-2}$$, $$2x^2-1=4,$$ $$x=\pm \sqrt{2,5}$$. 
3. Так как оба корня принадлежат ОДЗ, то найдем сумму их квадратов: 
   $$2,5+2,5=5$$.