1. Тригонометрическое тождество: 
   $$\textrm{tg} x\cdot \textrm{ctg} x=1$$. 
2. Если $$\textrm{tg}x=a$$ и $$a\in R$$, то $$x=\textrm{arctg}a+\pi n$$, где $$n\in Z$$.

1. Так как $$\textrm{ctg}\pi x=\frac{1}{\textrm{tg}\pi x}$$, то, полагая $$\textrm{tg}\pi x=a$$, запишем: 
   $$a+\frac{1}{a}-2=0$$, $$a^2-2a+1=0$$, $$(a-1)^2=0$$, откуда $$a=1$$. 
   Тогда, $$\textrm{tg}\pi x=1$$, откуда  $$\pi x=\frac{\pi }{4}+\pi n$$, $$x=0,25+n$$, где $$n\in Z$$. 
2. Так как $$0,5\pi \approx 0,5\cdot 3,14=1,57$$, то отберем корни уравнения на отрезке $$[-1,57;1,57]$$: 
   при $$n=0$$ получим $$x=0,25<1,57$$; 
   при $$n=1$$ получим $$x=1,25<1,57 $$; 
   при $$n=2$$ получим $$x=2,25>1,57$$; 
   при $$n=-1$$ получим $$x=-0,75>-1,57$$; 
   при $$n=-2$$ получим $$x=-1,75<-1,57$$. 
3. Тогда: $$4\cdot (\left |0,25 \right |+\left |1,25 \right |+\left |-0,75 \right |)=9$$.

1. модуль суммы чисел $$a$$ и $$b$$ – это выражение $$\left | a+b \right |$$; 
2. сумму модулей чисел $$a$$ и $$b$$ – это выражение $$\left | a \right |+\left | b \right |$$.

1. Формулы преобразования произведения в сумму:
   $$\sin{x}\sin{y}=\frac{1}{2}\left (\cos(x-y)-\cos(x+y) \right )$$,
   $$\cos{x}\cos{y}=\frac{1}{2}\left (\cos(x-y)+\cos(x+y) \right )$$.
2. Формула преобразования отрицательного аргумента:
   $$\cos(-\alpha )=\cos\alpha$$.
3. Формула преобразования суммы в произведение:
   $$\cos{x}-\cos{y}=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$.
4. Если $$\sin{x}=0$$, то $$x=\pi n$$, где $$n \in Z$$.

1. Применим формулы преобразования произведения в сумму: 
   $$\frac{1}{2}(\cos(-2x)-\cos4x)-\frac{1}{2}(\cos(-2x)+\cos8x)=0$$, 
   $$(\cos2x-\cos4x)-(\cos2x+\cos8x)=0$$, $$\cos2x-\cos4x-\cos2x-\cos8x=0$$, $$\cos4x+\cos8x=0$$. 
2. Применим формулу преобразования суммы в произведение: 
   $$2\cos 6x\cos 2x=0$$. 
3. Решим совокупность уравнений: 
   1) $$\cos6x=0$$, откуда $$6x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, $$x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n }{6}$$, где $$n \in Z$$; 
   2) $$\cos2x=0$$, откуда $$2x=\frac{\pi }{2}+\pi m$$, $$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi m }{2}$$, где $$m \in Z$$. 
4. Отбор корней: 
   1) если $$n=0$$, то $$x=\frac{\pi }{12}$$;  если $$m=0$$, то $$x=\frac{\pi }{4}$$ и $$0<\frac{\pi }{12}<\frac{\pi }{4}$$; 
   2) если $$n=-1$$, то $$x=-\frac{\pi }{12}$$;  если $$m=-1$$, то $$x=-\frac{\pi }{4}$$ и $$-\frac{\pi }{4}<-\frac{\pi }{12}<0$$. 
5. Тогда разность наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения равна: 
   $$\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$$ или $$30^{\circ}$$.

1. $$n$$ рад $$=\frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi }$$; 
2. $$n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi}{180}$$ рад.

Если $$\textrm{tg}x=a$$ и $$a\in R$$, то $$x=\textrm{arctg}a+\pi n$$, где $$n\in Z$$.

1. Выполним преобразования: 
   $$\sqrt{3}\textrm{tg}(0,5x)=3\cdot 1$$, $$\textrm{tg}(0,5x)=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$. 
   Тогда, $$\frac{x}{2}=\textrm{arctg}\sqrt{3}+\pi n$$, $$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+\pi n$$, 
   
   $$x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n$$, где $$n\in Z$$. 
2. Отбор корней:
   при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}-2\pi <0$$;
   при $$n=0$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}$$ или $$x=120^{\circ}$$.

1. Так как мы отбирали последовательные корни уравнения, то $$x=120^{\circ}$$ и есть его наименьший положительный корень. 
2. Справедливы равенства: 
   $$n$$ рад $$=\frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi }$$; 
   $$n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi }{180 }$$ рад.

1. Если аргумент функции имеет вид $$(180^{\circ}\pm \alpha )$$, то: 
   1)  ставим знак исходной функции;  
   2) функцию переписываем; 
   3) $$\pi$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем. 
2. Тригонометрическое тождество: 
   $$\sin^2x+\cos^2x=1$$. 
3. Если $$\cos{x}=a$$ и $$\left |a \right |\leq 1$$, то $$x=\pm arccosa+2\pi n$$, где $$n\in Z$$. 
4. $$\textrm{arccos}(-\alpha )=\pi -\textrm{arccos}\alpha$$.

1. Применим формулы приведения: 
   $$2\sin^2x+3\cos{x}=0$$. 
   Так как $$\sin^2x=1-\cos^2x$$, то: 
   $$2(1-\cos^2x)+3\cos{x}=0$$, 
   $$2-2\cos^2x+3\cos{x}=0$$, 
   $$2\cos^2x+3\cos{x}-2=0$$. 
2. Полагая $$\cos{x}=a$$, получим: 
   $$2a^2-3a-2=0$$, откуда $$D=9+16=25$$, $$a_{1}=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$$, $$a_{2}=\frac{3+5}{4}=2$$.  
3. Решим совокупность уравнений:  
   1) $$\cos{x}=-\frac{1}{2}$$, откуда: $$x=\pm arccos \left (-\frac{1}{2} \right )+2\pi n$$, 
   $$x=\pm \left (\pi -\frac{\pi }{3} \right )+2\pi n$$, $$x= \pm \frac{2\pi }{3} )+2\pi n$$, где $$n\in Z$$; 
   2) $$\cos {x}=2$$, откуда $$x\in \varnothing$$. 
4. Отбор корней на промежутке $$\left (-\pi ;2\pi \right )$$: 
   при $$n=0$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}<2\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}>-\pi$$; 
   при $$n=1$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}+2\pi >2\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi=\frac{4\pi }{3}<2\pi$$; 
   при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}<-\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}-2\pi<-\pi$$. 
   На данном промежутке уравнение имеет три корня: 
   $$\frac{2\pi }{3}$$, $$-\frac{2\pi }{3}$$, $$\frac{4\pi }{3}$$.

1. Имеем однородное уравнение. Разделим его на $$\cos5x\neq 0$$: 
   $$\frac{\sqrt{3}\sin5x}{\cos5x}-\frac{3\cos5x}{\cos5x}=\frac{0}{\cos5x}$$, 
   $${\sqrt{3}\textrm{tg}5x}-3=0$$, $$\textrm{tg}5x= \frac{3}{\sqrt{3}}$$, $$\textrm{tg}5x= \sqrt{3}$$, 
   откуда $$5x=\frac{\pi }{3}+\pi n$$, $$x=\frac{\pi }{15}+\frac{\pi n}{5}$$, где $$n\in Z$$. 
2. Отбор корней: 
   1) при $$n=0$$ получим $$x=\frac{\pi }{15}>0$$; 
   2) при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{\pi }{15}-\frac{\pi }{5}=-\frac{2\pi }{15}<0$$. 
3. Поскольку корни последовательные, то $$x=-\frac{2\pi }{15}$$ – наибольший отрицательный корень уравнения, а число, ему противоположное, равно $$\frac{2\pi }{15}$$.

1. $$\sin(\alpha \pm 2\pi n)=\sin\alpha$$. 
2. $$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$. 
3. Если аргумент функции имеет вид $$\left (\frac{3\pi }{2}\pm \alpha \right )$$, то:
   1) ставим знак исходной функции;
   2) функцию меняем на кофункцию;
   3) $$\frac{3\pi }{2}$$отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем. 
4. Формулы преобразования суммы в произведение:
   $$\sin{x}-\sin{y}=2\sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}$$,
   $$\cos {x}-\cos {y}=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$$. 
5. Если $$\sin{x}=0$$, то $$x=\pi n$$, где $$n \in Z$$.

1. Учитывая период функции синус, запишем: 
   $$\sin(4\pi +4x)=\sin 4x$$. 
2. По формуле приведения получим:
   $$\sin(1,5\pi +4x)=-\cos 4x$$. 
3. Уравнение примет вид: 
   $$\sin2x+\cos2x-\sin4x-\cos4x=0$$, 
   $$(\sin2x-\sin4x)+(\cos2x-\cos4x)=0$$. 
   Применим формулы преобразования суммы в произведение и разложим левую часть уравнения на множители: 
   $$2\sin(-x)\cos3x-2\sin3x\sin(-x)=0$$, 
   $$-2\sin{x}\cos 3x+2\sin 3x\sin{x}=0$$, 
   $$\sin{x}\cos{3x}-\sin{3x}\sin{x}=0$$, 
   $$\sin{x}(\cos 3x-\sin 3x)=0$$. 
   Решим совокупность уравнений: 
   1) $$\sin{x}=0$$, откуда $$x=\pi n$$, где $$n \in Z$$; 
   2) $$\cos 3x-\sin 3x=0$$, $$\textrm{tg}3x=1$$, откуда 
   $$3x=\frac{\pi }{4}+\pi m$$, $$x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi m }{3}$$, где $$m\in Z$$. 
4. Наименьший положительный корень уравнения равен $$\frac{\pi }{12}$$.

Решая совокупность уравнений, необходимо объединять их решения.

1. Тригонометрическое тождество: 
   $$\sin^{2}x+\cos^{2} x=1$$. 
2. Формула двойного аргумента: 
   $$\cos{2x}=\cos^2x-\sin^2x$$. 
3. Формула понижения степени: 
   $$\sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$$. 
4. Если $$\cos{x}=0$$, то $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, где $$n\in Z$$.

1. По формуле двойного аргумента запишем: 
   $$\cos\frac{2x}{3}=\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}$$. 
   Зная, что $$\cos^2\frac{x}{3}=1-\sin^2\frac{x}{3}$$, получим: 
   $$\cos\frac{2x}{3}=1-\sin^2\frac{x}{3} -\sin^2\frac{x}{3} =1-2\sin^2\frac{x}{3}$$. 
   Тогда уравнение примет вид: 
   $$3\sin^2 \frac{x}{3}+1-2\sin^2\frac{x}{3} =\frac{3}{2}$$, $$\sin^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$$. 
2. Понизим степень уравнения: 
   $$\frac{1}{2} \left (1-\cos\frac{2x}{3} \right )=\frac{1}{2}$$. 
   Тогда: $$1-\cos\frac{2x}{3}=1$$, $$\cos\frac{2x}{3}=0$$, откуда
   $$\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, $$\frac{x}{3}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$, 
   $$x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi n}{2}$$, где $$n\in Z$$. 

3. Отбор корней на промежутке $$[-\pi ;\pi ]$$: 
   1) при $$n=0$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}<\pi$$; 
   2) при $$n=1$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{2}>\pi$$; 
   3) при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{2}=-\frac{3\pi }{4}>-\pi$$; 
   4) при $$n=-2$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}-3\pi <-\pi$$. 

4. Найдем среднее арифметическое модулей корней уравнения, принадлежащих промежутку $$[-\pi ;\pi ]$$: 
   $$\frac{\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}}{2}=\frac{3\pi }{4}$$ или $$\frac{3\cdot 180^{\circ}}{4}=3\cdot 45^{\circ}=135^{\circ}$$.

1. $$\sin\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$, откуда:
   $$\frac{x}{3}=(-1)^{n}\textrm{arcsin}\frac{1}{\sqrt{2}}+\pi n$$,
   $$\frac{x}{3}=(-1)^{n}\frac{\pi }{4}+\pi n$$,
   $$x=(-1)^{n}\frac{3\pi }{4}+3\pi n$$; 
2. $$\sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$, откуда:
   $$\frac{x}{3}=(-1)^{n}\textrm{arcsin}\left (-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )+\pi n$$,
   $$\frac{x}{3}=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{4}+\pi n$$,
   $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi }{4}+3\pi n$$.

1. Тригонометрическое тождество: 
   $$\sin^2x+\cos^2x=1$$. 
2. Формула двойного аргумента: 
   $$\sin 2x=2\sin{x}\cos{x}$$. 
3. Однородным уравнение второй степени называют уравнение вида
   $$a\sin^2x+b\sin{x}\cos{x}+c\cos^2x=0$$. 
   Разделив обе его части на $$\cos^2x\neq 0$$, получим: 
   $$\frac{a\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{b\sin{x}\cos{x}}{\cos^2x}+\frac{c\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{0}{\cos^2x}$$ 
   или квадратное уравнение относительно $$\textrm{tg}x$$: 
   $$a\textrm{tg}^2x+b\textrm{tg}x+c=0$$. 
   Решая простейшие уравнения вида $$\textrm{tg}x=a$$, найдем значения переменной $$x$$. 
4. Если $$\textrm{tg}x=a$$, $$a\in R$$, то $$x=\textrm{arctg}a+\pi n$$, где $$n\in Z$$.

1. По формуле двойного аргумента запишем: 
   $$\sin2x=2\sin{x}\cos{x}$$. 
2. Умножая тождество $$\sin^2x+\cos^2x=1$$ на $$2$$, получим: 
   $$2\sin^2x+2\cos^2x=2$$. 
3. Уравнение примет вид: 
   $$5\sin^2x+\cos^2x-2\sin{x}\cos{x}=2\sin^2x+2\cos^2x$$, 
   $$3\sin^2x-\cos^2x-2\sin{x}\cos{x}=0$$. 
4. Разделив обе его части на $$\cos^2x\neq 0$$, получим: 
   $$3\textrm{tg}^2x-2\textrm{tg}x-1=0$$, откуда
   $$D=4+12=16$$, $$\textrm{tg}x=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}$$ и $$\textrm{tg}x=\frac{2+4}{6}=1$$. 
   Тогда, $$x=-\textrm{arctg}\frac{1}{3}+\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{4} +\pi m$$, где $$n\in Z$$, $$m\in Z$$.

Уравнение $$\textrm{tg}x=a$$ всегда имеет решение, так как $$a \in R$$.

1. $$\sin(-\alpha )=-\sin \alpha$$.
2. Если $$\sin{x}=-1$$, то $$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$, где $$n\in \textrm{Z}$$.

Запишем уравнение в виде:  

$$-\sin \left (x-\frac{\pi }{6} \right )=1$$, $$\sin \left (x-\frac{\pi }{6} \right )=-1$$.

Тогда, $$x-\frac{\pi }{6} =-\frac{\pi }{2} +2\pi n$$,

$$x=-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2\pi n$$,

$$x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$$, где $$n\in Z$$.

1. $$\cos(-\alpha )=\cos \alpha$$.
2. Если $$\cos{x}=0$$, то $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, где $$n\in Z$$.

1. Запишем уравнение в виде: 
   $$\cos(2x-60^{\circ})=0$$. 
   Тогда:  $$2x-60^{\circ}=90^{\circ}+180^{\circ}n$$, 
   $$2x=150^{\circ}+180^{\circ}n$$, $$x=75^{\circ}+90^{\circ}n$$, где $$n\in Z$$. 
2. Найдем два последовательных корня уравнения: 
   1) при $$n=-1$$, $$x=75^{\circ}-90^{\circ}=-15^{\circ}$$; 
   2) при $$n=0$$, $$x=75^{\circ}$$. 
3. Найдем сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения: $$-15^{\circ}+75^{\circ}=60^{\circ}$$.

1. $$\pi$$ рад $$=180^{\circ}$$; 
2. $$\frac{\pi }{2}$$ рад $$=90^{\circ}$$.