Загрузка

Тригонометрические уравнения

Решение уравнения $$sin \left (\frac{\pi }{6}-x \right )=1$$ имеет вид:

  1. $$sin(-\alpha )=-sin \alpha$$.
  2. Если $$sinx=-1$$ , то $$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$ , где $$n\in Z$$.

Запишем: $$-sin \left (x-\frac{\pi }{6} \right )=1,$$ $$sin \left (x-\frac{\pi }{6} \right )=-1.$$
Тогда, $$x-\frac{\pi }{6} =-\frac{\pi }{2} +2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n,$$ где $$n\in Z$$.

Основной единицей измерения углов считают угол в один градус (обозначают $$1^{\circ}$$).
Наряду с градусной мерой угла, употребляется и радианная мера.
Один радиан равен $$\frac{180}{\pi }$$ градусов, а один градус равен $$\frac{\pi}{ 180}$$ радиан.
Следовательно, $$n$$ рад $$=\frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi },n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi }{180 }$$ рад.

Выберите один из вариантов

Наименьший положительный корень уравнения $$\sqrt{3}tg(0,5x)=3cos0$$ равен:

Если $$tgx=a$$ и $$a\in R$$ , то $$x=arctga+\pi n$$, где $$n\in Z$$.

Выполним преобразования:
$$\sqrt{3}tg(0,5x)=3\cdot 1,$$ $$tg(0,5x)=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} .$$
Тогда, $$\frac{x}{2}=arctg\sqrt{3}+\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+\pi n,$$

$$x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,$$ где $$n\in Z$$.

При $$n=-1$$ получим: $$x=\frac{2\pi }{3}-2\pi <0.$$
При $$n=0$$ получим: $$x=\frac{2\pi }{3}$$ или $$x=120^{\circ}$$.

  1. Так как мы отбирали последовательные корни уравнения, то $$x=120^{\circ}$$ и есть его наименьший положительный корень.
  2. Справедливы равенства: $$n$$ рад $$=\frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi },$$ $$n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi }{180 }$$ рад.
Выберите один из вариантов

Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $$5cos(60^{\circ}-2x)=0$$ равна:

  1. $$cos(-\alpha )=cos \alpha$$.
  2. Если $$cosx=0$$ , то $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$ , где $$n\in Z$$.
  1. Запишем $$cos(2x-60^{\circ})=0$$.
    Тогда, $$2x-60^{\circ}=90^{\circ}+180^{\circ}n,$$ $$2x=150^{\circ}+180^{\circ}n,$$ $$x=75^{\circ}+90^{\circ}n,$$ где $$n\in Z$$.
  2. Найдем два последовательных корня уравнения:
    при $$n=-1$$, $$x=75^{\circ}-90^{\circ}=-15^{\circ}$$;
    при $$n=0$$, $$x=75^{\circ}$$.
  3. Найдем сумму наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения: $$-15^{\circ}+75^{\circ}=60^{\circ}$$ .

Справедливы равенства:

$$\pi$$ рад $$=180^{\circ}$$; $$\frac{\pi }{2}$$ рад $$=90^{\circ}$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое модулей корней уравнения $$3 sin ^{2}\frac{x}{3}+cos\frac{2x}{3}=1,5$$, принадлежащих промежутку $$[-\pi ;\pi ]$$, равно :

  1. Тригонометрическое тождество: $$sin^{2}x+cos^2 x=1$$.
  2. Формула двойного аргумента: $$cos2x=cos^2x-sin^2x$$ .
  3. Формула понижения степени: $$sin^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$$.
  4. Если $$cosx=0$$, то $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, где $$n\in Z$$.
  1. По формуле двойного аргумента запишем:

    $$cos\frac{2x}{3}=cos^2\frac{x}{3}-sin^2\frac{x}{3}$$.

    Зная, что $$cos^2\frac{x}{3}=1-sin^2\frac{x}{3}$$ , получим:

    $$cos\frac{2x}{3}=1-sin^2\frac{x}{3} -sin^2\frac{x}{3} =1-2sin^2\frac{x}{3}$$.

    Тогда уравнение примет вид:

    $$3sin^2 \frac{x}{3}+1-2sin^2\frac{x}{3} =\frac{3}{2}$$ или $$sin^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$$ .


    Понизим степень уравнения: $$\frac{1}{2} \left (1-cos\frac{2x}{3} \right )=\frac{1}{2}$$.
    Тогда: $$1-cos\frac{2x}{3}=1,$$ $$cos\frac{2x}{3}=0$$,
    откуда $$\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{2}+\pi n,$$ $$\frac{x}{3}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},$$ $$x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi n}{2},$$ где $$n\in Z$$.


  2. Отбор корней на промежутке $$[-\pi ;\pi ]$$:
    при $$n=0$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}<\pi ;$$
    при $$n=1$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{2}>\pi ;$$
    при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}-\frac{3\pi }{2}=-\frac{3\pi }{4}>-\pi ;$$
    при $$n=-2$$ получим $$x=\frac{3\pi }{4}-3\pi <-\pi .$$
  3. Найдем среднее арифметическое модулей корней уравнения, принадлежащих промежутку $$[-\pi ;\pi ]$$:
    $$\frac{\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}}{2}=\frac{3\pi }{4}$$ или $$\frac{3\cdot 180^{\circ}}{4}=3\cdot 45^{\circ}=135^{\circ}$$ .

Уравнение $$sin^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$$ можно решить иначе, если заменить его совокупностью уравнений:

  1. $$sin\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ , откуда:

    $$\frac{x}{3}=(-1)^{n}arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}+\pi n,$$ $$\frac{x}{3}=(-1)^{n}\frac{\pi }{4}+\pi n,$$ $$x=(-1)^{n}\frac{3\pi }{4}+3\pi n;$$

  2. $$sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$ , откуда:

    $$\frac{x}{3}=(-1)^{n}arcsin\left (-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )+\pi n,$$ $$\frac{x}{3}=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{4}+\pi n,$$ $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi }{4}+3\pi n.$$

Очевидно, что этот способ решения более трудоемкий, а, следовательно, и не рациональный.

Выберите один из вариантов

Количество корней уравнения $$2sin^2(180^{\circ}+x)-3cos(180^{\circ}-x)=0$$, принадлежащих отрезку $$[0;3\pi ]$$, равно:

  1. Если аргумент функции имеет вид $$(180^{\circ}\pm \alpha )$$ , то:
    1. ставим знак исходной функции;
    2. функцию переписываем;
    3. $$\pi$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
  2. Тригонометрическое тождество: $$sin^2x+cos^2x=1$$ .
  3. Если $$cosx=a$$ и $$\left |a \right |\leq 1$$, то $$x=\pm arccosa+2\pi n$$ , где $$n\in Z$$ .
  4. $$arccos(-\alpha )=\pi -arccos\alpha.$$
  1. Применим формулы приведения и получим:
    $$2sin^2x+3cosx=0$$.

    Так как $$sin^2x=1-cos^2x$$, то запишем:

    $$2(1-cos^2x)+3cosx=0;$$

    $$2-2cos^2x+3cosx=0;$$

    $$2cos^2x+3cosx-2=0.$$

  2. Полагая $$cosx=a$$, запишем: $$2a^2-3a-2=0$$, откуда
    $$D=9+16=25,$$ $$a_{1}=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2},$$ $$a_{2}=\frac{3+5}{4}=2.$$
  3. Решим совокупность уравнений:
    1. $$cosx=-\frac{1}{2}$$ , откуда:

      $$x=\pm arccos \left (-\frac{1}{2} \right )+2\pi n,$$

      $$x=\pm \left (\pi -\frac{\pi }{3} \right )+2\pi n,$$

      $$x= \pm \frac{2\pi }{3} )+2\pi n,$$ где $$n\in Z$$;

    2. $$cos x=2$$ , откуда $$x\in \varnothing$$.
  4. Отбор корней на промежутке $$\left (-\pi ;2\pi \right )$$ :
    при $$n=0$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}<2\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}>-\pi$$;
    при $$n=1$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}+2\pi >2\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi=\frac{4\pi }{3}<2\pi$$;
    при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}<-\pi$$ и $$x=-\frac{2\pi }{3}-2\pi<-\pi$$.

На данном промежутке уравнение имеет три корня:
$$\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}.$$

Если функция, к которой применяем формулу приведения, возведена в четную степень, то она всегда положительна и ее знак определять нет необходимости.
Например, $$sin(180^{\circ}+x) =-sinx,$$ а $$sin^2(180^{\circ}+x) =sin^2x$$.

Выберите один из вариантов

Число, противоположное наибольшему отрицательному корню уравнения $$\sqrt{3}sin 5x-3cos 5x=0$$ , равно:

Однородным уравнением первой степени называют уравнение вида $$asinx+bcosx=0$$.

Разделив его обе части на $$cosx\neq 0$$ , получим:

$$\frac{asinx}{cosx}+\frac{bcosx}{cosx}= \frac{0}{cosx}$$ или $$atgx+b=0$$,

откуда $$tgx=-\frac{b}{a}$$; $$x=-arctg\left (\frac{b}{a} \right )+\pi n,n\in Z.$$

  1. Имеем однородное уравнение. Разделим его на $$cos5x\neq 0$$.
    Получим: $$\frac{\sqrt{3}sin5x}{cos5x}-\frac{{3}cos5x}{cos5x}=\frac{0}{cos5x},$$

    $${\sqrt{3}tg5x}-3=0,$$

    $$tg5x= \frac{3}{\sqrt{3}},$$

    $$tg5x= \sqrt{3},$$

    откуда $$5x=\frac{\pi }{3}+\pi n,$$ $$x=\frac{\pi }{15}+\frac{\pi n}{5},$$ где $$n\in Z$$.

  2. Отбор корней:
    при $$n=0$$ получим $$x=\frac{\pi }{15}>0 ;$$
    при $$n=-1$$ получим $$x=\frac{\pi }{15}-\frac{\pi }{5}=-\frac{2\pi }{15}<0 .$$
  3. Поскольку корни последовательные, то $$x=-\frac{2\pi }{15}$$ – наибольший отрицательный корень уравнения, а число, ему противоположное, равно $$\frac{2\pi }{15}$$.

Однородное уравнение $$asinx+bcosx=0$$ можно разделить и на $$sinx$$ . Тогда будем иметь: $$a+bctgx=0$$.

Выберите один из вариантов

Решение уравнения $$5sin^2x+cos^2x-sin2x=2$$ имеет вид:

  1. Тригонометрическое тождество: $$sin^2x+cos^2x=1$$ .
  2. Формула двойного аргумента: $$sin2x=2sinxcosx$$.
  3. Однородным уравнение второй степени называют уравнение вида $$asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=0$$.
    Разделив обе его части на $$cos^2x\neq 0$$ , получим:

    $$\frac{asin^2x}{cos^2x}+\frac{bsinxcosx}{cos^2x}+\frac{ccos^2x}{cos^2x}=\frac{0}{cos^2x}$$

    или квадратное уравнение относительно $$tgx$$:

    $$atg^2x+btgx+c=0$$ .

    Решая простейшие уравнения вида $$tgx=a$$ , найдем значения переменной $$x$$.

  4. Если $$tgx=a$$ , $$a\in R$$ , то $$x=arctga+\pi n$$, где $$n\in Z$$.
  1. По формуле двойного аргумента запишем:
    $$sin2x=2sinxcosx$$.
  2. Умножая тождество $$sin^2x+cos^2x=1$$ на 2, получим:

    $$2sin^2x+2cos^2x=2$$.

  3. Уравнение примет вид:

    $$5sin^2x+cos^2x-2sinxcosx=2sin^2x+2cos^2x,$$

    $$3sin^2x-cos^2x-2sinxcosx=0$$.

  4. Разделив обе его части на $$cos^2x\neq 0$$ , получим:
    $$3tg^2x-2tgx-1=0$$,
    откуда $$D=4+12=16,$$ $$tgx=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}$$ или $$tgx=\frac{2+4}{6}=1.$$
    Тогда, $$x=-arctg\frac{1}{3}+\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{4} +\pi m$$ , где $$n,m \in Z$$.

Уравнение $$tgx=a$$ всегда имеет решение, так как $$a \in R$$.

Выберите один из вариантов

Наименьший положительный корень уравнения $$sin2x+cos2x-sin(4\pi +4x)+sin(1,5\pi +4x)=0$$ равен:

  1. $$sin(\alpha \pm 2\pi n)=sin\alpha$$.
  2. $$sin(-\alpha)=-sin\alpha$$.
  3. Если аргумент функции имеет вид $$\left (\frac{3\pi }{2}\pm \alpha \right )$$, то:
    1. ставим знак исходной функции;
    2. функцию меняем на кофункцию;
    3. $$\frac{3\pi }{2}$$отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
  4. Формулы преобразования суммы в произведение:
    $$sin x-sin y=2sin \frac{x-y}{2}cos \frac{x+y}{2}$$,
    $$cos x-cos y=-2sin \frac{x+y}{2}sin \frac{x-y}{2}$$.
  5. Если $$sinx=0$$ , то $$x=\pi n$$ , где $$n \in Z$$.
  1. Учитывая период функции синус, запишем:

    $$sin(4\pi +4x)=sin 4x$$.

  2. По формуле приведения получим:

    $$sin(1,5\pi +4x)=-cos 4x$$ .

  3. Уравнение примет вид:

    $$sin2x+cos2x-sin4x-cos4x=0$$,

    $$(sin2x-sin4x)+(cos2x-cos4x)=0$$.

    Применим формулы преобразования суммы в произведение и разложим левую часть уравнения на множители:

    $$2sin(-x)cos3x-2sin3xsin(-x)=0,$$

    $$-2sinxcos3x+2sin3xsinx=0,$$

    $$sinxcos3x-sin3xsinx=0,$$

    $$sinx(cos3x-sin3x)=0.$$

    Решим совокупность уравнений:

    1. $$sinx=0$$ , откуда $$x=\pi n$$ , где $$n \in Z$$;
    2. $$cos3x-sin3x=0,$$ $$tg3x=1$$, откуда

      $$3x=\frac{\pi }{4}+\pi m,$$ $$x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi m }{3},$$ где $$m\in Z$$.

  4. Очевидно, что наименьший положительный корень уравнения равен $$\frac{\pi }{12}$$ .

Решая совокупность уравнений, необходимо объединять их решения.

Выберите один из вариантов

Разность наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения (в градусах) $$sinxsin3x-cos3xcos5x=0$$ равна:

  1. Формулы преобразования произведения в сумму:
    $$sinxsiny=\frac{1}{2}\left (cos(x-y)-cos(x+y) \right )$$,
    $$cosxcosy=\frac{1}{2}\left (cos(x-y)+cos(x+y) \right )$$.
  2. Формула преобразования отрицательного аргумента:
    $$cos(-\alpha )=cos\alpha$$.
  3. Формула преобразования суммы в произведение:
    $$cosx-cosy=-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$$.
  4. Если $$sinx=0$$ , то $$x=\pi n$$ , где $$n \in Z$$.
  1. Применим формулы преобразования произведения в сумму:
    $$\frac{1}{2}(cos(-2x)-cos4x)-\frac{1}{2}(cos(-2x)+cos8x)=0,$$
    $$(cos2x-cos4x)-(cos2x+cos8x)=0,$$
    $$cos2x-cos4x-cos2x-cos8x=0,$$
    $$cos4x+cos8x=0.$$
  2. Применим формулу преобразования суммы в произведение:
    $$2cos6xcos2x=0.$$
  3. Решим совокупность уравнений:
    1. $$cos6x=0$$, откуда $$6x=\frac{\pi }{2}+\pi n,$$ $$x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n }{6},$$ где $$n \in Z$$;
    2. $$cos2x=0$$, откуда $$2x=\frac{\pi }{2}+\pi m,$$ $$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi m }{2},$$ где $$m \in Z$$ .
  4. Отбор корней:
    1. если $$n=0$$ , то $$x=\frac{\pi }{12} ;$$
    2. если $$m=0$$ , то $$x=\frac{\pi }{4}$$ и $$0<\frac{\pi }{12}<\frac{\pi }{4} ;$$
    3. если $$n=-1$$, то $$x=-\frac{\pi }{12};$$
    4. если $$m=-1$$ , то $$x=-\frac{\pi }{4}$$ и $$-\frac{\pi }{4}<-\frac{\pi }{12}<0.$$
  5. Тогда разность наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения равна:
    $$\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$$ или $$30^{\circ}$$.

Справедливы равенства: $$n$$ рад $$=\frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi },$$ $$n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi}{180}$$ рад $$.$$

Введите ответ в поле

Увеличенная в 4 раза сумма модулей корней уравнения $$tg\pi x+ctg\pi x=2$$, по абсолютной величине не превосходящих $$0,5\pi$$, равна:

  1. Тригонометрическое тождество: $$tg x\cdot ctg x=1$$.
  2. Если $$tgx=a$$ и $$a\in R$$, то $$x=arctga+\pi n,$$ где $$n\in Z$$.
  1. Так как $$ctg\pi x=\frac{1}{tg\pi x}$$, то, полагая $$tg\pi x=a$$ , запишем:
    $$a+\frac{1}{a}-2=0,$$ $$a^2-2a+1=0,$$ $$(a-1)^2=0,$$ откуда $$a=1$$.
    Тогда, $$tg\pi x=1$$, а $$\pi x=\frac{\pi }{4}+\pi n,$$ $$x=0,25+n,$$ где $$n\in Z$$.
  2. Так как $$0,5\pi \approx 0,5\cdot 3,14=1,57$$, то отберем корни уравнения на отрезке $$[-1,57;1,57]$$:
    1. при $$n=0$$ получим$$x=0,25<1,57$$ ;
    2. при $$n=1$$ получим $$x=1,25<1,57 ;$$
    3. при $$n=2$$ получим $$x=2,25>1,57;$$
    4. при $$n=-1$$ получим $$x=-0,75>-1,57 ;$$
    5. при $$n=-2$$ получим $$x=-1,75<-1,57 .$$
  3. Тогда: $$4\cdot (\left |0,25 \right |+\left |1,25 \right |+\left |-0,75 \right |)=$$

    $$=4\cdot (0,25+1,25 +0,75 )=4\cdot2,25=9$$.

Различайте:

  1. модуль суммы чисел $$a$$ и $$b$$ – это выражение $$\left | a+b \right |$$ ;
  2. сумму модулей чисел $$a$$ и $$b$$ – это выражение $$\left | a \right |+\left | b \right |$$ .
Введите ответ в поле