Загрузка

Рациональные неравенства

Решение неравенства $$x(x-2)\geq (x-1)^{2}-1$$ имеет вид:

  1. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.
  2. Решая неравенство, как правило, его заменяют более простым, но равносильным ему неравенством.
  3. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

Выполним равносильные преобразования:

$$x^{2}-2x\geq x^{2}-2x+1-1$$,

$$x^{2}-2x-x^{2}+2x\geq 1-1$$,

$$0\geq 0$$.

Получили верное числовое неравенство, которое выполняется для всех $$x\in R.$$

Обозначения числовых множеств:

  1. $$R$$ – множество всех действительных чисел;
  2. $$Z$$– множество целых чисел;
  3. $$N$$ – множество натуральных чисел;
  4. $$\varnothing$$ – пустое множество.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$\frac{2x+5}{2}-\frac{1-x}{3}< \frac{8x-7}{6}$$ имеет вид:

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

Умножим обе части неравенства на число $$6$$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:


$$\frac{6\cdot (2x+5)}{2}-\frac{6\cdot (1-x)}{3}< \frac{6\cdot (8x-7)}{6}$$,

$$3\cdot (2x+5)-2\cdot (1-x)< 8x-7$$,

$$6x+15-2+2x< 8x-7$$,

$$6x+2x-8x< -7-15+2$$,

$$0< -20$$.

Получили неверное числовое неравенство, следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Число $$0$$ меньше любого положительного числа, но больше любого отрицательного.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$x(x-1)^{2}(x+2)^{3}\leq 0$$ равно:

  1. Алгоритм решения методом интервалов неравенства вида $$f(x)< 0$$ $$(> ,\leq ,\geq )$$:
    1. найдем нули функции, решая уравнение $$f(x)= 0$$;
    2. нанесем нули функции на ее область определения;
    3. определим знак значений функции на любом промежутке;
    4. определим знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый корень уравнения $$f(x)= 0$$ функция меняет знак (при этом учитываем кратность корней);
    5. запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
  2. Число $$k\in N$$ называют кратностью корня $$x_{1}$$ многочлена $$f(x)=(x-x_{1})^{k}(x-x_{2})$$ , а число $$x_{1}$$; $$k$$-кратным корнем многочлена.
    Если $$k=1$$ , то говорят о простом корне многочлена.

Решим данное неравенство методом интервалов:

  1. Найдем нули функции $$f(x)=x(x-1)^{2}(x+2)^{3}$$ . Получим:
    1. $$x_{1}=0$$ (простой корень);
    2. $$x_{2}=1$$ (корень кратности 2);
    3. $$x_{3}=-2$$ (корень кратности 3).
  2. Нанесем эти числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.1).
  3. Запишем: $$x\in [-2;0]$$ и $$x=1$$.

    Целые решения неравенства: $$-2;-1;0;1$$.
  4. Найдем среднее арифметическое всех целых решений неравенства: $$\frac{-2-1+0+1}{4}=-0,5$$.

  1. Для удобства корни четной кратности будем наносить на координатную прямую дважды, а нечетной кратности – один раз.
  2. При переходе через корень нечетной кратности функция меняет знак, а при переходе через корень четной кратности – не меняет.
  3. Чтобы определить знак значений функции на промежутке, необходимо найти значение функции в любой точке этого промежутка. Например, определим знак значений функции$$f(x)=x(x-1)^{2}(x+2)^{3}$$ на промежутке$$(1;+\infty )$$ : $$f(2)=2\cdot (2-1)^{2}(2+2)^{3}> 0$$.
  4. Решая неравенства вида $$f(x)\leq 0$$ или $$f(x)\geq 0$$ нули функции будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а при решении неравенств вида $$f(x)< 0$$ или $$f(x)> 0$$ – «пустыми».
Выберите один из вариантов

Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$x^{4}+3x^{2}-10\leq 0$$, равна:

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна $$-p$$, а их произведение равно $$q$$.

Решим неравенство методом интервалов.

  1. Найдем нули функции, решая биквадратное уравнение $$x^{4}+3x^{2}-10=0$$.
    Получим: $$x^{2}=-5$$ , откуда $$x\in \varnothing$$ или $$x^{2}=2$$, откуда $$x=\pm \sqrt{2}$$.
  2. Нанесем эти числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.2).
  3. Так как функция не положительна, то запишем:

    $$x\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$$.

    Найдем длину этого промежутка:

    $$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$.

  1. Решая биквадратное уравнение $$ax^{4}+bx^{2}+c=0$$,

    можно использовать подстановку $$x^{2}=a$$.
  2. Чтобы найти длину промежутка, необходимо из координаты правого конца этого промежутка вычесть координату его левого конца.

Выберите один из вариантов

Сумма середин промежутков (или середина промежутка, если он единственный), которые образуют все решения неравенства $$\frac{4x-8}{x^2+x-6}> 1$$, равна:

  1. Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида $$\frac{f(x)}{g(x)}< 0$$ $$ (>, \leq ,\geq )$$, где $$f(x)$$ и $$g(x)$$ – алгебраические многочлены. Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$.
  2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом смысловой знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
  3. Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна $$-p$$, а их произведение равно $$q$$.

Запишем неравенство в виде $$\frac{f(x)}{g(x)}> 0$$:
$$\frac{4x-8}{x^{2}+x-6}-1> 0$$, $$\frac{4x-8-x^{2}-x+6}{x^{2}+x-6}> 0$$, $$\frac{3x-2-x^{2}}{x^{2}+x-6}> 0$$.
Умножим обе его части на число $$-1$$: $$\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+x-6}< 0$$.
Применим метод интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя функции, записанной в левой части неравенства:

  1. $$x^{2}-3x+2=0$$, откуда $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=2$$;

  2. $$x^{2}+x-6\neq 0$$, откуда $$x_{1}\neq-3$$, $$x_{2}\neq2$$.
Определим знаки значений функции на полученных промежутках и согласно рисунку 7.3 запишем: $$x\in (-3;1)$$.

Найдем середину этого промежутка: $$\frac{-3+1}{2}=-1$$.

  1. Применяя метод интервалов, неравенство всегда необходимо приводить к виду $$f(x)< 0$$ $$(> ,\leq ,\geq )$$.
  2. При решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$$ и $$\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$$ корни числителя будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а корни знаменателя – «пустыми», так как множество решений неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$. А при решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}< 0$$ и $$\frac{f(x)}{g(x)}> 0$$, и корни числителя, и корни знаменателя – «пустыми».
Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$\frac{x^{2}}{2x^{2}-5x-3}\leq \frac{x-3}{2x+1}$$ имеет вид:

  1. Разложение квадратного трехчлена на множители:
    $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – его корни.
  2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам:
    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.
  3. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.
  1. Разложим многочлен $$2x^{2}-5x-3$$ на множители:
    $$D=25+24=49$$,
    $$x_{1}=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$$, $$x_{2}=\frac{5+7}{4}=3$$.
    Запишем: $$2x^{2}-5x-3=2(x+\frac{1}{2})(x-3)=(2x+1)(x-3)$$ .
  2. Запишем неравенство в виде:

    $$\frac{x^2}{(2x+1)(x-3)}-\frac{x-3}{2x+1}\leq 0$$, $$\frac{x^{2}-(x-3)^{2}}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$,

    $$\frac{x^{2}-x^{2}+6x-9}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$, $$\frac{6x-9}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$.
  3. Нули функции, записанной в левой части неравенства:

    $$x=1,5$$; $$x\neq -0,5$$; $$x\neq 3$$.
  4. Согласно рисунку 7.4 запишем: $$x\in (-\infty; -0,5)\cup [1,5; 3)$$.

При решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$$ корни числителя будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а корни знаменателя – «пустыми», так как множество решений неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$.

Выберите один из вариантов

Область определения функции $$y=\sqrt{\frac{x-4}{x^2+2x-24}}$$ имеет вид:

  1. Выражение $$\sqrt{f(x)}$$ определено для $$f(x)\geq 0$$ .
  2. Разложение квадратного трехчлена на множители:
    $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_2$$ – его корни.

Область определения функции состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству

$$\frac{x-4}{x^2+2x-24}\geq 0$$ или $$\frac{x-4}{(x+6)(x-4)}\geq 0$$,

которое мы будем решать методом интервалов.

Найдем нули функции, записанной в левой части неравенства:

$$x=4$$, $$x\neq -6$$, $$x\neq 4$$.
Согласно рисунку 7.5 запишем: $$x\in (-6;4)\cup (4;+\infty )$$.

Дробь $$\frac{x-4}{(x+6)(x-4)}\geq 0$$ сокращать нельзя, так как на координатной прямой потеряем точку $$x=4$$.

Выберите один из вариантов

Наименьшее целое число, принадлежащее области определения функции $$y=\frac{\sqrt[4]{x+6}}{\sqrt{x^{2}+2x-24}}$$, равно:

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы, тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением.

Область определения функции состоит из всех чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

$$\begin{cases} x+6\geq 0, \\ x^{2}+2x-24> 0. \end{cases}$$

Решим каждое из неравенств:
  1. $$x+6\geq 0\Leftrightarrow x\geq -6$$;
  2. $$x^{2}+2x-24> 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-6)\cup (4;+\infty )$$ (рис. 7.6).
Решение системы неравенств: $$(4;+\infty )$$ . Наименьшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$5$$.

Число $$4$$ не принадлежит промежутку $$(4;+\infty )$$.

Выберите один из вариантов

Количество целых чисел, не удовлетворяющих системе неравенств $$-\frac{1}{2}< \frac{1}{x+1}< \frac{1}{2}$$, равно:

Систему неравенств $$f(x)< a$$ и $$f(x)>b$$ можно записать $$\begin{cases} f(x)< a,\\ f(x)> b \end{cases}$$ или как двойное неравенство $$ b< f(x)< a$$.

Умножим неравенство на число $$2$$ и заменим его равносильной системой неравенств: $$-1< \frac{2}{x+1}< 1\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{2}{x+1}> -1,\\ \frac{2}{x+1}< 1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{2}{x+1}+1> 0, \\ \frac{2}{x+1}-1< 0 \end{cases}\Leftrightarrow$$$$\begin{cases} \frac{x+3}{x+1}> 0,\\ \frac{1-x}{x+1}< 0. \end{cases}$$

Решим каждое неравенство методом интервалов:
  1. $$\frac{x+3}{x+1}> 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-3)\cup (-1;+\infty )$$ (рис. 7.7);
  2. $$\frac{1-x}{x+1}< 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$$ (рис. 7.8).
Запишем решение системы неравенств: $$x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$$.
Этому промежутку не принадлежит $$5$$ целых чисел: $$-3$$, $$-2$$, $$-1$$, $$0$$ и $$1$$.

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.

Введите ответ в поле

Количество всех целых значений параметра $$a$$, для которых неравенство $$\frac{x^{2}+2ax-2}{x^{2}-x+1}< 2$$ выполняется для любых значений $$x$$, равно:

  1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число или на одну и ту же функцию, положительную на области определения неравенства, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.
  2. Формула разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $$x^{2}-x+1$$. Так как $$D=1-4=-3< 0$$, а ветви параболы направлены вверх, то парабола расположена над осью абсцисс, следовательно, $$x^{2}-x+1> 0$$ для любых значений переменной $$x$$.
Тогда данное неравенство равносильно неравенству:

$$x^{2}+2ax-2< 2(x^{2}-x+1)$$,

$$x^{2}+2ax-2< 2x^{2}-2x+2$$,

$$x^2-2x^2+2ax+2x-2-2<0$$,

$$x^{2}-2ax-2x+4> 0$$,

$$x^{2}-2(a+1)x+4> 0$$.

Последнее неравенство будет выполняться для любых значений $$x$$, если дискриминант квадратичной функции $$f(x)=x^{2}-2(a+1)x+4$$ будет отрицательным.

Запишем:

$$D=4(a+1)^{2}-16< 0$$,

$$(a+1)^{2}-4< 0$$,

$$(a+1-2)(a+1+2)< 0$$,

$$(a-1)(a+3)< 0$$.

Согласно рисунку 7.9 запишем: $$a\in (-3;1)$$.

Этому интервалу принадлежит $$3$$ целых числа: $$-2,-1$$ и $$0$$.

Так как выражение $$x^{2}-x+1$$ положительное при любом значении переменной $$x$$, то обе части неравенства $$\frac{x^{2}+2ax-2}{x^{2}-x+1}< 2$$ мы умножили на это выражение.

Введите ответ в поле