Загрузка

Рациональные неравенства

Количество целых чисел, не удовлетворяющих системе неравенств $$-\frac{1}{2}< \frac{1}{x+1}< \frac{1}{2}$$, равно:

Систему неравенств $$f(x)< a$$ и $$f(x)>b$$ можно записать $$\begin{cases} f(x)< a,\\ f(x)> b \end{cases}$$ или как двойное неравенство $$ b< f(x)< a$$.

Умножим неравенство на число $$2$$: 

Заменим его равносильной системой неравенств: 

$$\begin{cases} \frac{2}{x+1}> -1,\\ \frac{2}{x+1}< 1; \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{2}{x+1}+1> 0, \\ \frac{2}{x+1}-1< 0; \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{x+3}{x+1}> 0,\\ \frac{1-x}{x+1}< 0. \end{cases}$$

Решим каждое неравенство методом интервалов:
1) $$\frac{x+3}{x+1}>0$$, откуда $$ x\in (-\infty ;-3)\cup (-1;+\infty )$$ (рис. 7.7);
2) $$\frac{1-x}{x+1}< 0$$, откуда $$ x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$$ (рис. 7.8).
                                              
Запишем решение системы неравенств: 
$$x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$$.
Этому промежутку не принадлежит 5 целых чисел: 
$$-3$$, $$-2$$, $$-1$$, $$0$$ и $$1$$.

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.

Введите ответ в поле

Область определения функции $$y=\sqrt{\frac{x-4}{x^2+2x-24}}$$ имеет вид:

1. Выражение $$\sqrt{f(x)}$$ определено для $$f(x)\geq 0$$.
2. Разложение квадратного трехчлена на множители:
$$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
где $$x_{1}$$ и $$x_2$$ – его корни.

Область определения функции состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству

$$\frac{x-4}{x^2+2x-24}\geq 0$$ или $$\frac{x-4}{(x+6)(x-4)}\geq 0$$,

которое мы будем решать методом интервалов.

Найдем нули функции, записанной в левой части неравенства:

$$x=4$$, $$x\neq -6$$, $$x\neq 4$$.
Согласно рисунку 7.5 запишем: 
$$x\in (-6;4)\cup (4;+\infty )$$.

Дробь $$\frac{x-4}{(x+6)(x-4)}\geq 0$$ сокращать нельзя, так как на координатной прямой потеряем точку $$x=4$$.

Выберите один из вариантов

Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$x^{4}+3x^{2}-10\leq 0$$, равна:

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна $$-p$$, а их произведение равно $$q$$.

Решим неравенство методом интервалов.

  1. Найдем нули функции, решая биквадратное уравнение $$x^{4}+3x^{2}-10=0$$.
    Получим: $$x^{2}=-5$$ , откуда $$x\in \varnothing$$ или $$x^{2}=2$$, откуда $$x=\pm \sqrt{2}$$.
  2. Нанесем эти числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.2).
  3. Так как функция не положительна, то запишем:

    $$x\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$$.

    Найдем длину этого промежутка:

    $$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$.

  1. Решая биквадратное уравнение $$ax^{4}+bx^{2}+c=0$$,

    можно использовать подстановку $$x^{2}=a$$.
  2. Чтобы найти длину промежутка, необходимо из координаты правого конца этого промежутка вычесть координату его левого конца.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$x(x-2)\geq (x-1)^{2}-1$$ имеет вид:

1. Формула квадрата суммы (разности): 
$$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.
2. Решая неравенство, как правило, его заменяют более простым, но равносильным ему неравенством.
3. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

Выполним равносильные преобразования:

$$x^{2}-2x\geq x^{2}-2x+1-1$$,

$$x^{2}-2x-x^{2}+2x\geq 1-1$$,

$$0\geq 0$$.

Получили верное числовое неравенство, которое выполняется для всех $$x\in R.$$

Обозначения числовых множеств:

1) $$R$$ – множество всех действительных чисел;
2) $$Z$$– множество целых чисел;
3) $$N$$ – множество натуральных чисел;
4) $$\varnothing$$ – пустое множество.
Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$x(x-1)^{2}(x+2)^{3}\leq 0$$ равно:

1. Алгоритм решения методом интервалов неравенства вида $$f(x)< 0$$ $$(> ,\leq ,\geq )$$:
1) найдем нули функции, решая уравнение $$f(x)= 0$$;
2) нанесем нули функции на ее область определения;
3) определим знак значений функции на любом промежутке;
4) определим знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый корень уравнения $$f(x)= 0$$ функция меняет знак (при этом учитываем кратность корней);
5) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
2. Число $$k\in N$$ называют кратностью корня $$x_{1}$$ многочлена $$f(x)=(x-x_{1})^{k}(x-x_{2})$$ , а число $$x_{1}$$ — $$k$$-кратным корнем многочлена.
Если $$k=1$$ , то говорят о простом корне многочлена.

Решим данное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули функции $$f(x)=x(x-1)^{2}(x+2)^{3}$$
Получим:
1) $$x_{1}=0$$ (простой корень);
2) $$x_{2}=1$$ (корень кратности 2);
3) $$x_{3}=-2$$ (корень кратности 3).
2. Нанесем эти числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.1).
                                                                          
3. Запишем: $$x\in [-2;0]$$ и $$x=1$$.
Целые решения неравенства: 
$$-2;-1;0;1$$.
4. Найдем среднее арифметическое всех целых решений неравенства: 
$$\frac{-2-1+0+1}{4}=-0,5$$.
1. Для удобства корни четной кратности будем наносить на координатную прямую дважды, а нечетной кратности – один раз.
2. При переходе через корень нечетной кратности функция меняет знак, а при переходе через корень четной кратности – не меняет.
3. Чтобы определить знак значений функции на промежутке, необходимо найти значение функции в любой точке этого промежутка.
Например, определим знак значений функции$$f(x)=x(x-1)^{2}(x+2)^{3}$$ на промежутке$$(1;+\infty )$$:
$$f(2)=2\cdot (2-1)^{2}(2+2)^{3}> 0$$.
4. Решая неравенства вида $$f(x)\leq 0$$ или $$f(x)\geq 0$$ нули функции будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а при решении неравенств вида $$f(x)< 0$$ или $$f(x)> 0$$ – «пустыми».
Выберите один из вариантов

Количество всех целых значений параметра $$a$$, для которых неравенство $$\frac{x^{2}+2ax-2}{x^{2}-x+1}< 2$$ выполняется для любых значений $$x$$, равно:

  1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число или на одну и ту же функцию, положительную на области определения неравенства, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.
  2. Формула разности квадратов:                                                                                                                                                      $$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $$x^{2}-x+1$$. Так как $$D=1-4=-3< 0$$, а ветви параболы направлены вверх, то парабола расположена над осью абсцисс, следовательно, $$x^{2}-x+1> 0$$ для любых значений переменной $$x$$.
Тогда данное неравенство равносильно неравенству:

$$x^{2}+2ax-2< 2(x^{2}-x+1)$$,

$$x^{2}+2ax-2< 2x^{2}-2x+2$$,

$$x^2-2x^2+2ax+2x-2-2<0$$,

$$x^{2}-2ax-2x+4> 0$$,

$$x^{2}-2(a+1)x+4> 0$$.

Последнее неравенство будет выполняться для любых значений $$x$$, если дискриминант квадратичной функции $$f(x)=x^{2}-2(a+1)x+4$$ будет отрицательным:

$$D=4(a+1)^{2}-16< 0$$,

$$(a+1)^{2}-4< 0$$,

$$(a+1-2)(a+1+2)< 0$$,

$$(a-1)(a+3)< 0$$.

Согласно рисунку 7.9 запишем: 
$$a\in (-3;1)$$.

Этому интервалу принадлежит 3 целых числа: 
$$-2,-1$$ и $$0$$.

Так как выражение $$x^{2}-x+1$$ положительное при любом значении переменной $$x$$, то обе части неравенства $$\frac{x^{2}+2ax-2}{x^{2}-x+1}< 2$$ мы умножили на это выражение.

Введите ответ в поле

Сумма середин промежутков (или середина промежутка, если он единственный), которые образуют все решения неравенства $$\frac{4x-8}{x^2+x-6}> 1$$, равна:

  1. Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида $$\frac{f(x)}{g(x)}< 0$$ $$ (>, \leq ,\geq )$$, где $$f(x)$$ и $$g(x)$$ – алгебраические многочлены. Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$.
  2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом смысловой знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
  3. Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна $$-p$$, а их произведение равно $$q$$.

Запишем неравенство в виде $$\frac{f(x)}{g(x)}> 0$$:

$$\frac{4x-8}{x^{2}+x-6}-1> 0$$

$$\frac{4x-8-x^{2}-x+6}{x^{2}+x-6}> 0$$

$$\frac{3x-2-x^{2}}{x^{2}+x-6}> 0$$.
Умножим обе его части на число $$-1$$

$$\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+x-6}< 0$$.
Применим метод интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя функции, записанной в левой части неравенства:

1) $$x^{2}-3x+2=0$$, откуда $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=2$$;

2) $$x^{2}+x-6\neq 0$$, откуда $$x_{1}\neq-3$$, $$x_{2}\neq2$$.

Определим знаки значений функции на полученных промежутках и согласно рисунку 7.3 запишем: $$x\in (-3;1)$$.

                                                                              

Найдем середину этого промежутка: 

$$\frac{-3+1}{2}=-1$$.

  1. Применяя метод интервалов, неравенство всегда необходимо приводить к виду $$f(x)< 0$$ $$(> ,\leq ,\geq )$$.
  2. При решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$$ и $$\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$$ корни числителя будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а корни знаменателя – «пустыми», так как множество решений неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$. А при решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}< 0$$ и $$\frac{f(x)}{g(x)}> 0$$, и корни числителя, и корни знаменателя – «пустыми».
Выберите один из вариантов

Наименьшее целое число, принадлежащее области определения функции $$y=\frac{\sqrt[4]{x+6}}{\sqrt{x^{2}+2x-24}}$$, равно:

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы, тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением.

Область определения функции состоит из всех чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

$$\begin{cases} x+6\geq 0, \\ x^{2}+2x-24> 0. \end{cases}$$

Решим каждое из неравенств:
1) $$x+6\geq 0$$, откуда $$x\geq -6$$;
2) $$x^{2}+2x-24> 0$$, откуда $$x\in (-\infty ;-6)\cup (4;+\infty )$$ (рис. 7.6).
                                                                             
Решение системы неравенств: 
$$(4;+\infty )$$
Наименьшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$5$$.

Число $$4$$ не принадлежит промежутку $$(4;+\infty )$$.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$\frac{x^{2}}{2x^{2}-5x-3}\leq \frac{x-3}{2x+1}$$ имеет вид:

1. Разложение квадратного трехчлена на множители:
$$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – его корни.
2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$,
где $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.
3. Формула квадрата суммы (разности):
$$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.
1. Разложим многочлен $$f(x)=2x^{2}-5x-3$$ на множители:
$$D=25+24=49$$
$$x_{1}=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$$
$$x_{2}=\frac{5+7}{4}=3$$.
Получим:
$$f(x)=22(x+\frac{1}{2})(x-3)$$,
$$f(x)=(2x+1)(x-3)$$ .
2. Запишем неравенство в виде:
$$\frac{x^2}{(2x+1)(x-3)}-\frac{x-3}{2x+1}\leq 0$$,
$$\frac{x^{2}-(x-3)^{2}}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$,
 $$\frac{x^{2}-x^{2}+6x-9}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$,
 $$\frac{6x-9}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$.
3. Нули функции, записанной в левой части неравенства:
$$x=1,5$$; $$x\neq -0,5$$; $$x\neq 3$$.
4. Согласно рисунку 7.4 запишем:
$$x\in (-\infty; -0,5)\cup [1,5; 3)$$.
                                                                                       

При решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$$ корни числителя будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а корни знаменателя – «пустыми», так как множество решений неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$\frac{2x+5}{2}-\frac{1-x}{3}< \frac{8x-7}{6}$$ имеет вид:

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

Умножим обе части неравенства на число $$6$$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:


$$\frac{6\cdot (2x+5)}{2}-\frac{6\cdot (1-x)}{3}< \frac{6\cdot (8x-7)}{6}$$,

$$3\cdot (2x+5)-2\cdot (1-x)< 8x-7$$,

$$6x+15-2+2x< 8x-7$$,

$$6x+2x-8x< -7-15+2$$,

$$0< -20$$.

Получили неверное числовое неравенство, следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Число $$0$$ меньше любого положительного числа, но больше любого отрицательного.

Выберите один из вариантов