Систему неравенств $$f(x)< a$$ и $$f(x)>b$$ можно записать $$\begin{cases} f(x)< a,\\ f(x)> b \end{cases}$$ или как двойное неравенство $$ b< f(x)< a$$.

1. Умножим неравенство на число $$2$$ и заменим его равносильной системой неравенств:
   $$\begin{cases} \frac{2}{x+1}> -1,\\ \frac{2}{x+1}< 1; \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{2}{x+1}+1> 0, \\ \frac{2}{x+1}-1< 0; \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{x+3}{x+1}> 0,\\ \frac{1-x}{x+1}< 0. \end{cases}$$ 
2. Решим каждое неравенство методом интервалов:
   1) $$\frac{x+3}{x+1}>0$$, откуда $$ x\in (-\infty ;-3)\cup (-1;+\infty )$$ (рис. 7);
   2) $$\frac{1-x}{x+1}< 0$$, откуда $$ x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$$ (рис. 8). 
3. Запишем решение системы неравенств:
   $$x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$$.
    Этому промежутку не принадлежит $$5$$ целых чисел:
   $$-3$$, $$-2$$, $$-1$$, $$0$$ и $$1$$.
                               

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.

1. Разложение квадратного трехчлена на множители: 
   $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – его корни. 
2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам: 
   $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$. 
3. Формула квадрата суммы (разности): 
   $$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.

1. Разложим многочлен $$f(x)=2x^{2}-5x-3$$ на множители: 
   $$D=25+24=49$$, $$x_{1}=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$$, $$x_{2}=\frac{5+7}{4}=3$$. 
   Получим: $$f(x)=22(x+\frac{1}{2})(x-3)$$, $$f(x)=(2x+1)(x-3)$$. 
2. Запишем неравенство в виде: 
   $$\frac{x^2}{(2x+1)(x-3)}-\frac{x-3}{2x+1}\leq 0$$, $$\frac{x^{2}-(x-3)^{2}}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$, 
   $$\frac{x^{2}-x^{2}+6x-9}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$,  $$\frac{6x-9}{(2x+1)(x-3)}\leq 0$$. 
3. Найдем нули функции, записанной в левой части неравенства: 
   $$x=1,5$$; $$x\neq -0,5$$; $$x\neq 3$$. 
4. Согласно рисунку 4 запишем решение неравенства:
   $$x\in (-\infty; -0,5)\cup [1,5; 3)$$.

                                                                                       

1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число или на одну и ту же функцию, положительную на области определения неравенства, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.
2. Формула разности квадратов:                                                                                                                                                      $$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$.

1. Рассмотрим квадратный трехчлен $$x^{2}-x+1$$.
   Так как $$D=1-4=-3< 0$$, а ветви параболы направлены вверх, то парабола расположена над осью абсцисс, следовательно, $$x^{2}-x+1> 0$$ для любых значений переменной $$x$$. 
2. Данное неравенство равносильно неравенству:
   $$x^{2}+2ax-2< 2(x^{2}-x+1)$$, $$x^{2}+2ax-2< 2x^{2}-2x+2$$, $$x^2-2x^2+2ax+2x-2-2<0$$, $$x^{2}-2ax-2x+4> 0$$, $$x^{2}-2(a+1)x+4> 0$$. 
3. Последнее неравенство будет выполняться для любых значений $$x$$, если дискриминант квадратичной функции $$f(x)=x^{2}-2(a+1)x+4$$ будет отрицательным:
   $$D=4(a+1)^{2}-16< 0$$, $$(a+1)^{2}-4< 0$$, $$(a+1-2)(a+1+2)< 0$$, $$(a-1)(a+3)< 0$$. 
4. Согласно рисунку 9 запишем: $$a\in (-3;1)$$.
   Этому интервалу принадлежит 3 целых числа: $$-2$$, $$-1$$ и $$0$$.
                                                           

Так как выражение $$x^{2}-x+1$$ положительное при любом значении переменной $$x$$, то обе части неравенства $$\frac{x^{2}+2ax-2}{x^{2}-x+1}< 2$$ мы умножили на это выражение.

1. Алгоритм решения методом интервалов неравенства вида $$f(x)< 0$$ $$(> ,\leq ,\geq )$$: 
   1) найдем нули функции, решая уравнение $$f(x)= 0$$; 
   2) нанесем нули функции на ее область определения; 
   3) определим знак значений функции на любом промежутке; 
   4) определим знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый корень уравнения $$f(x)= 0$$ функция меняет знак (при этом учитываем кратность корней); 
   5) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак. 
2. Число $$k\in N$$ называют кратностью корня $$x_{1}$$ многочлена $$f(x)=(x-x_{1})^{k}(x-x_{2})$$ , а число $$x_{1}$$ — $$k$$-кратным корнем многочлена. 
   Если $$k=1$$ , то имеем простой корень многочлена.

Решим данное неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули функции $$f(x)=x(x-1)^{2}(x+2)^{3}$$:  1) $$x_{1}=0$$ (простой корень); 2) $$x_{2}=1$$ (корень кратности 2); 3) $$x_{3}=-2$$ (корень кратности 3). 
2. Нанесем эти числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 1).                                                                 
                                                                      
3. Запишем решение неравенства: $$x\in [-2;0]$$ и $$x=1$$.  
   Целые решения неравенства: $$-2$$; $$-1$$; $$0$$; $$1$$. 
4. Найдем среднее арифметическое всех целых решений неравенства:
   $$\frac{-2-1+0+1}{4}=-0,5$$.

1. Для удобства корни четной кратности будем наносить на координатную прямую дважды, а нечетной кратности – один раз. 
2. При переходе через корень нечетной кратности функция меняет знак, а при переходе через корень четной кратности – не меняет. 
3. Чтобы определить знак значений функции на промежутке, необходимо найти значение функции в любой точке этого промежутка.
   Например, определим знак значений функции $$f(x)=x(x-1)^{2}(x+2)^{3}$$ на промежутке $$(1;+\infty )$$:
   
   $$f(2)=2\cdot (2-1)^{2}(2+2)^{3}> 0$$. 
4. Решая неравенства вида $$f(x)\leq 0$$ или $$f(x)\geq 0$$ нули функции будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а при решении неравенств вида $$f(x)< 0$$ или $$f(x)> 0$$ – «пустыми».

1. Формула квадрата суммы (разности):
   $$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$. 
2. Решая неравенство, как правило, его заменяют более простым, но равносильным ему неравенством. 
3. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

1. Выполним равносильные преобразования:
    $$x^{2}-2x\geq x^{2}-2x+1-1$$, $$x^{2}-2x-x^{2}+2x\geq 1-1$$, $$0\geq 0$$. 
2. Получили верное числовое неравенство, которое выполняется для всех $$x\in \textrm{R}$$.

1. $$\textrm{R}$$ – множество всех действительных чисел; 
2. $$\textrm{Z}$$– множество целых чисел; 
3. $$\textrm{N}$$ – множество натуральных чисел; 
4. $$\varnothing$$ – пустое множество.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

1. Умножим обе части неравенства на число $$6$$:
   $$\frac{6\cdot (2x+5)}{2}-\frac{6\cdot (1-x)}{3}< \frac{6\cdot (8x-7)}{6}$$,
   $$3\cdot (2x+5)-2\cdot (1-x)< 8x-7$$.
2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
   $$6x+15-2+2x< 8x-7$$, $$6x+2x-8x< -7-15+2$$, $$0< -20$$.
3. Получили неверное числовое неравенство, следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Число $$0$$ меньше любого положительного числа, но больше любого отрицательного.

1. Выражение $$\sqrt{f(x)}$$ определено для $$f(x)\geq 0$$. 
2. Разложение квадратного трехчлена на множители: 
   $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_2$$ – его корни.

1. Область определения функции состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству 
   $$\frac{x-4}{x^2+2x-24}\geq 0$$ или $$\frac{x-4}{(x+6)(x-4)}\geq 0$$. 
2. Решим неравенство методом интервалов. 
   Найдем нули функции, записанной в левой части неравенства: 
   $$x=4$$, $$x\neq -6$$, $$x\neq 4$$. 
   Согласно рисунку 7.5 запишем решение неравенства: 
   $$x\in (-6;4)\cup (4;+\infty )$$.

Дробь $$\frac{x-4}{(x+6)(x-4)}\geq 0$$ сокращать нельзя, так как на координатной прямой потеряем точку $$x=4$$.

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна $$-p$$, а их произведение равно $$q$$.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули функции, решая биквадратное уравнение $$x^{4}+3x^{2}-10=0$$.
   Получим: $$x^{2}=-5$$ , откуда $$x\in \varnothing$$ или $$x^{2}=2$$, откуда $$x=\pm \sqrt{2}$$.
2. Нанесем эти числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 2).
   
3. Так как функция не положительна, то запишем:
   $$x\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$$.
   Найдем длину этого промежутка:
   $$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$.

1. Решая биквадратное уравнение $$ax^{4}+bx^{2}+c=0$$,
   можно использовать подстановку $$x^{2}=a$$.
2. Чтобы найти длину промежутка, необходимо из координаты правого конца этого промежутка вычесть координату его левого конца.

1. Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида $$\frac{f(x)}{g(x)}< 0$$ $$(>, \leq ,\geq )$$, где $$f(x)$$ и $$g(x)$$ – алгебраические многочлены. Множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом смысловой знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
3. Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^{2}+px+q=0$$ равна $$-p$$, а их произведение равно $$q$$.

1. Запишем неравенство в виде $$\frac{f(x)}{g(x)}> 0$$: 
   $$\frac{4x-8}{x^{2}+x-6}-1> 0$$, $$\frac{4x-8-x^{2}-x+6}{x^{2}+x-6}> 0$$, $$\frac{3x-2-x^{2}}{x^{2}+x-6}> 0$$. 
   Умножим обе его части на число $$-1$$: 
   $$\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+x-6}< 0$$. 
2. Применим метод интервалов.
   Для этого найдем нули числителя и знаменателя функции, записанной в левой части неравенства: 
   1) $$x^{2}-3x+2=0$$, откуда $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=2$$; 
   2) $$x^{2}+x-6\neq 0$$, откуда $$x_{1}\neq-3$$, $$x_{2}\neq2$$. 
3. Определим знаки значений функции на полученных промежутках и согласно рисунку 3 запишем:
   $$x\in (-3;1)$$. 
4. Найдем середину этого промежутка: $$\frac{-3+1}{2}=-1$$.

1. Применяя метод интервалов, неравенство всегда необходимо приводить к виду $$f(x)< 0$$ $$(> ,\leq ,\geq )$$.
2. При решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$$ и $$\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$$ корни числителя будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а корни знаменателя – «пустыми», так как множество решений неравенства не должно содержать корней многочлена $$g(x)$$. А при решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)}< 0$$ и $$\frac{f(x)}{g(x)}> 0$$, и корни числителя, и корни знаменателя – «пустыми».

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы, тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением.

1. Область определения функции состоит из всех чисел, удовлетворяющих системе неравенств: 
   $$\begin{cases} x+6\geq 0, \\ x^{2}+2x-24> 0. \end{cases}$$ 
2. Решим каждое из неравенств: 
   1) $$x+6\geq 0$$, откуда $$x\geq -6$$; 
   2) $$x^{2}+2x-24> 0$$, откуда $$x\in (-\infty ;-6)\cup (4;+\infty)$$ (рис. 6). 
3. Решение системы неравенств: $$(4;+\infty )$$. 
   Наименьшее целое число, принадлежащее этому промежутку, равно $$5$$.

                                                                             

Число $$4$$ не принадлежит промежутку $$(4;+\infty)$$.