1. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
2. Сумму внутренних углов произвольного выпуклого многоугольника находят по формуле: 
   $$S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, где $$n$$ – число сторон (углов) многоугольника.

1. Внутренний угол правильного треугольника равен: 
   $$180^{\circ}:3=60^{\circ}$$.
2. Внешний угол правильного треугольника равен: 
   $$180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$$.
3. Так как внутренний угол правильного $$n$$-угольника равен $$120^{\circ}$$, то сумма всех его внутренних углов равна: 
   $$120^{\circ}\cdot n=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, 
   откуда $$2\cdot n=3\cdot (n-2)$$, $$2n=3n-6$$, $$n=6$$.

1. Внешний угол многоугольника является смежным с его внутренним углом.
2. Сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$.

1. Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
2. Сумма смежных углов равна $$180{^{\circ}}$$.

1. Пусть $$\angle DBC=x{^{\circ}}$$, тогда $$\angle DBA=2x{^{\circ}}$$ (рис. 1). 
2. Так как сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$, то
   $$x+2x=180$$, откуда $$x=60$$, а $$\angle DBA=120{^{\circ}}$$.
                                                                     

1. Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Эту точку называют вершиной угла (на рисунке 1 точка $$B$$), а лучи – сторонами угла (лучи $$BA$$, $$BD$$ и $$BC$$).
2. Угол можно обозначать тремя прописными буквами так, чтобы буква, обозначающая вершину угла, стояла между двумя другими буквами. Один и тот же угол можно назвать по-разному: например, угол $$ABD$$ или угол $$DBA$$.
                                                                 

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
2. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов: $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза.

1. Так как $$sin\alpha =\frac{a}{c}$$ (где $$a$$ – противолежащий катет, $$c$$ – гипотенуза), то
   $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$, $$\frac{1}{1}=\frac{a}{2}$$, $$a=2$$. 
2. Найдем второй катет:
   $$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$$, $$b=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$. 
3. Найдем квадрат суммы катетов:
   $$(2+\sqrt{8})^{2}=4+4\sqrt{8}+8=12+8\sqrt{2}$$.

1. сумму квадратов катетов: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$; 
2. квадрат суммы катетов: $$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$.

Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos\alpha$$,
где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ – противолежащие им углы (рис. 4).

Пусть $$a=\sqrt{7}$$ см, $$b=2$$ см, $$\alpha =60^{\circ}$$ (рис. 4).

1. $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos\alpha$$; 
2. $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos\beta$$; 
3. $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos\gamma$$.
                                                                        

1. Если две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечь третьей прямой $$c$$ (секущей), то при этом получим две пары внутренних односторонних углов ($$\angle 1$$ и $$\angle 3$$, а также $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$) и две пары внутренних накрест лежащих углов ($$\angle 1$$ и $$\angle 4$$, а также $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$) (рис. 2).
   
   
2. Накрест лежащие углы равны.
3. Сумма внутренних односторонних углов равна $$180^{\circ}$$.

1. Так как $$\angle 1+\angle 4=150^{\circ}$$ , то $$\angle 1=\angle 4=75^{\circ}$$ (рис. 2).
   
   
2. Углы $$\angle 5$$ и $$\angle 6$$ внешние, причем $$\angle 1=\angle 6=75^{\circ}$$ (как вертикальные), $$\angle 5=180^{\circ}-\angle 1=105^{\circ}$$ (как смежные).
3. Тогда, $$\angle 5-\angle 6=105^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$$.

1. Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными полупрямыми сторон другого. 
2. Вертикальные углы равны.

1. Прямым углом называется угол, равный $$90^{\circ}$$.
2. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
3. Если медиана проведена к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы.
4. Сумма углов треугольника равна$$180^{\circ}$$.

1. Пусть $$\angle 1=x^{\circ}$$ , тогда $$\angle 2=2x^{\circ}$$ (рис. 3).
   Так как сумма этих углов равна $$90^{\circ}$$, 
   то $$x+2x=90$$, $$3x=90$$, $$x=30$$.
   
2. По свойству медианы, проведенной к гипотенузе $$AO=CO=5$$.
   Следовательно, треугольник $$AOC$$ – равнобедренный:
   $$\angle CAO=\angle ACO=60^{\circ}$$.
   Тогда и $$\angle AOC=60^{\circ}$$, следовательно, треугольник $$AOC$$ – равносторонний и $$AC=5$$.
3. Рассмотрим треугольник $$ABC$$.
   Так как наименьший из его углов $$\angle ABC=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$$, то наименьшая его сторона – катет $$CA=5$$.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Все углы правильного треугольника равны $$60^{\circ}$$.
3. Против меньшего угла в треугольнике лежит его меньшая сторона.

1. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
2. Сумму внутренних углов произвольного выпуклого многоугольника находят по формуле: $$S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, где $$n$$ – число сторон (углов) многоугольника.

1. Так как $$S_{n}=540^{\circ}$$, то $$540^{\circ}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, $$3= (n-2)$$, $$n=5$$. 
2. Найдем внутренний угол правильного пятиугольника: $$\alpha =\frac{540^{\circ}}{5}=108^{\circ}$$.

Внутренний угол правильного $$n$$-угольника находят по формуле:

  $$\alpha =\frac{180^{\circ}\cdot (n-2)}{n}$$.

1. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
   $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза.
2. Катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы.

1. Так как гипотенуза $$AC=4$$ (рис. 6), то катет $$AC=4:2=2$$ (как катет, который лежит против угла $$30^{\circ}$$).
2. Другой катет найдем из теоремы Пифагора:
   $$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$$, $$BC=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$.
3. Найдем сумму катетов: $$AC+BC=2+2\sqrt{3}$$.
                                                                           

1. сумму квадратов катетов $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$; 
2. сумму катетов $$a+b> c$$.

Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$\frac{a }{\sin\alpha }=\frac{b}{\sin\beta }=\frac{c}{\sin\gamma}$$,
где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ – противолежащие им углы (рис. 4).

Напротив большей стороны треугольника лежит его больший угол.

1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
3. Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с его внутренним углом.

1. Так как сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$, а угол $$ACB$$ (рис. 5) при вершине равен $$90^{\circ}$$, то углы $$CAB$$ и $$CBA$$ при его основании равны:
   $$\left(180^{\circ}-90^{\circ}\right):2=45^{\circ}$$. 
2. Тогда внешний угол $$CBD$$ при основании треугольника равен:
   $$180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$.
                                                                   

Угол при основании равнобедренного треугольника не может быть равен $$90^{\circ}$$, так как треугольник не может иметь два прямых угла.