Загрузка

Углы и прямые. Соотношения между углами и сторонами треугольника

Если угол $$DBC$$ в два раза меньше смежного с ним угла $$ABD$$, то градусная мера угла $$DBA$$ равна:

  1. Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
  2. Сумма смежных углов равна $$180{^{\circ}}$$.

Пусть $$\angle DBC=x{^{\circ}}$$, тогда $$\angle DBA=2x{^{\circ}}$$(рис. 8.1).

Решая уравнение $$x+2x=180$$, получим:

$$x=60$$, а $$\angle DBA=120{^{\circ}}$$.
  1. Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Эту точку называют вершиной угла (на рисунке 8.1 точка $$B$$), а лучи – сторонами угла (лучи $$BA$$, $$BD$$ и $$BC$$).
  2. Угол можно обозначать тремя прописными буквами так, чтобы буква, обозначающая вершину угла, стояла между двумя другими буквами. Один и тот же угол можно назвать по-разному: например, угол $$ABD$$ или угол $$DBA$$.
Выберите один из вариантов

Если параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены прямой $$c$$, а сумма внутренних накрест лежащих углов равна $$150^{\circ}$$, то модуль разности внешних углов (в отношении одной из прямых) равен:

  1. Если две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечь третьей прямой $$c$$ (секущей), то при этом получим две пары внутренних односторонних углов ($$\angle 1$$ и $$\angle 3$$, а также $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$) и две пары внутренних накрест лежащих углов ($$\angle 1$$ и $$\angle 4$$, а также $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$) (рис. 8.2).
  2. Накрест лежащие углы равны.
  3. Сумма внутренних односторонних углов равна $$180^{\circ}$$.

  1. Так как $$\angle 1+\angle 4=150^{\circ}$$ , то $$\angle 1=\angle 4=75^{\circ}$$ (рис. 8.2).
  2. Углы $$\angle 5$$ и $$\angle 6$$ внешние, причем $$\angle 1=\angle 6=75^{\circ}$$ (как вертикальные), $$\angle 5=180^{\circ}-\angle 1=105^{\circ}$$ (как смежные).
  3. Тогда, $$\angle 5-\angle 6=105^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$$.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Вертикальные углы равны.

Выберите один из вариантов

Если один из внутренних углов равнобедренного треугольника равен $$90^{\circ}$$, то внешний угол при его основании равен:

  1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника.
  2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  3. Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с его внутренним углом.

Так как сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$, а угол при вершине равен $$90^{\circ}$$, то углы при его основании равны по $$45^{\circ}$$. Тогда внешний угол при основании треугольника равен: $$180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$.

Угол при основании равнобедренного треугольника не может быть равен $$90^{\circ}$$, так как треугольник не может иметь два прямых угла.

Выберите один из вариантов

Если медиана, проведенная из прямого угла треугольника, равна $$5$$ и делит этот угол в отношении $$1:2$$, то наименьшая сторона треугольника равна:

  1. Прямым углом называется угол, равный $$90^{\circ}$$.
  2. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  3. Если медиана проведена к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы.
  4. Сумма углов треугольника равна$$180^{\circ}$$.

  1. Пусть $$\angle 1=x^{\circ}$$ , тогда $$\angle 2=2x^{\circ}$$ (рис. 8.3).
    Так как сумма этих углов равна $$90^{\circ}$$,

    то $$x+2x=90$$ , $$3x=90$$ , $$x=30$$.
  2. По свойству медианы, проведенной к гипотенузе $$AO=CO=5$$.
    Следовательно, треугольник $$AOC$$ – равнобедренный:
    $$\angle CAO=\angle ACO=60^{\circ}$$.
    Тогда и $$\angle AOC=60^{\circ}$$, следовательно, треугольник $$AOC$$ – равносторонний и $$AC=5$$.
  3. Рассмотрим треугольник $$ABC$$:
    так как наименьший из его углов

    $$\angle ABC=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$$,

    то наименьшая его сторона – катет $$CA=5$$.

  1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  2. Все углы правильного треугольника равны $$60^{\circ}$$.
  3. Против меньшего угла в треугольнике лежит его меньшая сторона.

Выберите один из вариантов

Если гипотенуза треугольника, острый угол которого составляет $$30^{\circ}$$, равна $$4$$, то сумма его катетов равна:

  1. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов: $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза.
  2. Катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы.

  1. Катет, который лежит против угла $$30^{\circ}$$, равен $$2$$.
  2. Другой катет найдем из теоремы Пифагора: $$\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$.
  3. Найдем сумму катетов: $$2+2\sqrt{3}$$.

Различайте сумму квадратов катетов $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$ и сумму катетов $$a+b> c$$ ($$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза).

Выберите один из вариантов

Если одна из сторон треугольника равна $$2$$ см, а сторона, лежащая против угла $$60^{\circ}$$, равна

$$\sqrt{7}$$ см, то длина третьей стороны этого треугольника равна:

Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha$$,
где $$a,b,c$$ – стороны, $$\alpha ,\beta ,\gamma$$ – противолежащие им углы (рис. 8.4).

Пусть $$a=\sqrt{7}$$ см, $$b=2$$ см, $$\alpha =60^{\circ}$$(рис. 8.4).

Тогда $$7=4+c^{2}-2\cdot 2\cdot c\cdot cos60^{\circ}$$,
$$c^{2}-2\cdot 2\cdot c\cdot \frac{1}{2}-3=0$$,
$$c^{2}-2c-3=0$$,
откуда $$c=3$$ ( $$c=-1$$ – посторонний корень).

Применяя теорему косинусов, помните, что в записи $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha$$,

$$\alpha$$ – величина угла, противолежащего стороне $$a$$.

Выберите один из вариантов

Если стороны треугольника равны $$8$$ и $$10$$, а угол, лежащий напротив одной из них, равен $$150^{\circ}$$, то синус угла, лежащего напротив другой стороны, равен:

Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$\frac{\alpha }{sin\alpha }=\frac{\beta }{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }$$,
где $$a,b,c$$ – стороны, $$\alpha ,\beta ,\gamma$$ – противолежащие им углы. (рис 8.4).

По теореме синусов запишем:
$$\frac{10}{sin150^{\circ}}=\frac{8}{sinx}$$, $$\frac{5}{0,5}=\frac{4}{sinx}$$, $$sinx=\frac{4\cdot 0,5}{5}=0,4$$.

Напротив большей стороны треугольника лежит его больший угол.

Выберите один из вариантов

Если синус одного из углов прямоугольного треугольника равен $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ , а его гипотенуза равна $$2\sqrt{3}$$ , то квадрат суммы катетов равен:

  1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов: $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза.

  1. Так как $$sin\alpha =\frac{a}{c}$$

    (где $$a$$ – противолежащий катет, $$c$$ – гипотенуза),

    то $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$, $$\frac{1}{1}=\frac{a}{2}$$ , $$a=2$$.
  2. Найдем второй катет:

    $$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$$, $$b=\sqrt{12-4}$$$$=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$.
  3. Найдем квадрат суммы катетов: $$(2+\sqrt{8})^{2}=4+4\sqrt{8}+8=12+8\sqrt{2}$$.

Различайте:

  1. Сумму квадратов катетов $$a$$ и $$b$$ ($$c$$ – гипотенуза): $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$;
  2. Квадрат суммы катетов $$a$$ и $$b$$: $$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$.

Выберите один из вариантов

Если сумма всех внутренних углов правильного n-угольника равна $$540^{\circ}$$, то внутренний угол этого n-угольника (в градусах) равен:

  1. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
  2. Сумму внутренних углов произвольного выпуклого многоугольника находят по формуле: $$S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, где $$n$$ – число сторон (углов) многоугольника.

Так как $$S_{n}=540^{\circ}$$, то

$$540^{\circ}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, $$3= (n-2)$$, $$n=5$$.

Найдем внутренний угол правильного пятиугольника:

$$\alpha =\frac{540^{\circ}}{5}=108^{\circ}$$.

Внутренний угол правильного n-угольника находят по формуле: $$\alpha =\frac{180^{\circ}\cdot (n-2)}{n}$$.

Введите ответ в поле

Если внутренний угол правильного многоугольника равен внешнему углу правильного треугольника, то число сторон этого многоугольника равно:

  1. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
  2. Сумму внутренних углов произвольного выпуклого многоугольника находят по формуле:

    $$S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$,

    где $$n$$ – число сторон (углов) многоугольника.

  1. Внутренний угол правильного треугольника равен:

    $$180^{\circ}:3=60^{\circ}$$.
  2. Внешний угол правильного треугольника равен:

    $$180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$$.
  3. Так как внутренний угол правильного n-угольника равен $$120^{\circ}$$, то сумма всех его внутренних углов равна.
  4. Тогда: $$120^{\circ}\cdot n=180^{\circ}\cdot (n-2)$$,

    $$2\cdot n=3\cdot (n-2)$$,

    $$2n=3n-6$$,

    $$n=6$$.

  1. Внешний угол многоугольника является смежным с его внутренним углом.
  2. Сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$.

Введите ответ в поле