1. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
   $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза.
2. Катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы.

1. Так как гипотенуза $$AC=4$$ (рис. 6), то катет $$AC=4:2=2$$ (как катет, который лежит против угла $$30^{\circ}$$).
2. Другой катет найдем из теоремы Пифагора:
   $$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$$, $$BC=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$.
3. Найдем сумму катетов: $$AC+BC=2+2\sqrt{3}$$.
                                                                           

1. сумму квадратов катетов $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$; 
2. сумму катетов $$a+b> c$$.

1. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
2. Сумму внутренних углов произвольного выпуклого многоугольника находят по формуле: $$S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, где $$n$$ – число сторон (углов) многоугольника.

1. Так как $$S_{n}=540^{\circ}$$, то $$540^{\circ}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, $$3= (n-2)$$, $$n=5$$. 
2. Найдем внутренний угол правильного пятиугольника: $$\alpha =\frac{540^{\circ}}{5}=108^{\circ}$$.

Внутренний угол правильного $$n$$-угольника находят по формуле:

  $$\alpha =\frac{180^{\circ}\cdot (n-2)}{n}$$.

1. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
2. Сумму внутренних углов произвольного выпуклого многоугольника находят по формуле: 
   $$S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, где $$n$$ – число сторон (углов) многоугольника.

1. Внутренний угол правильного треугольника равен: 
   $$180^{\circ}:3=60^{\circ}$$.
2. Внешний угол правильного треугольника равен: 
   $$180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$$.
3. Так как внутренний угол правильного $$n$$-угольника равен $$120^{\circ}$$, то сумма всех его внутренних углов равна: 
   $$120^{\circ}\cdot n=180^{\circ}\cdot (n-2)$$, 
   откуда $$2\cdot n=3\cdot (n-2)$$, $$2n=3n-6$$, $$n=6$$.

1. Внешний угол многоугольника является смежным с его внутренним углом.
2. Сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$.

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
2. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов: $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза.

1. Так как $$sin\alpha =\frac{a}{c}$$ (где $$a$$ – противолежащий катет, $$c$$ – гипотенуза), то
   $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$, $$\frac{1}{1}=\frac{a}{2}$$, $$a=2$$. 
2. Найдем второй катет:
   $$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$$, $$b=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$. 
3. Найдем квадрат суммы катетов:
   $$(2+\sqrt{8})^{2}=4+4\sqrt{8}+8=12+8\sqrt{2}$$.

1. сумму квадратов катетов: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$; 
2. квадрат суммы катетов: $$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$.

1. Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
2. Сумма смежных углов равна $$180{^{\circ}}$$.

1. Пусть $$\angle DBC=x{^{\circ}}$$, тогда $$\angle DBA=2x{^{\circ}}$$ (рис. 1). 
2. Так как сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$, то
   $$x+2x=180$$, откуда $$x=60$$, а $$\angle DBA=120{^{\circ}}$$.
                                                                     

1. Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Эту точку называют вершиной угла (на рисунке 1 точка $$B$$), а лучи – сторонами угла (лучи $$BA$$, $$BD$$ и $$BC$$).
2. Угол можно обозначать тремя прописными буквами так, чтобы буква, обозначающая вершину угла, стояла между двумя другими буквами. Один и тот же угол можно назвать по-разному: например, угол $$ABD$$ или угол $$DBA$$.
                                                                 

1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
3. Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с его внутренним углом.

1. Так как сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$, а угол $$ACB$$ (рис. 5) при вершине равен $$90^{\circ}$$, то углы $$CAB$$ и $$CBA$$ при его основании равны:
   $$\left(180^{\circ}-90^{\circ}\right):2=45^{\circ}$$. 
2. Тогда внешний угол $$CBD$$ при основании треугольника равен:
   $$180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$$.
                                                                   

Угол при основании равнобедренного треугольника не может быть равен $$90^{\circ}$$, так как треугольник не может иметь два прямых угла.

1. Прямым углом называется угол, равный $$90^{\circ}$$.
2. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
3. Если медиана проведена к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы.
4. Сумма углов треугольника равна$$180^{\circ}$$.

1. Пусть $$\angle 1=x^{\circ}$$ , тогда $$\angle 2=2x^{\circ}$$ (рис. 3).
   Так как сумма этих углов равна $$90^{\circ}$$, 
   то $$x+2x=90$$, $$3x=90$$, $$x=30$$.
   
2. По свойству медианы, проведенной к гипотенузе $$AO=CO=5$$.
   Следовательно, треугольник $$AOC$$ – равнобедренный:
   $$\angle CAO=\angle ACO=60^{\circ}$$.
   Тогда и $$\angle AOC=60^{\circ}$$, следовательно, треугольник $$AOC$$ – равносторонний и $$AC=5$$.
3. Рассмотрим треугольник $$ABC$$.
   Так как наименьший из его углов $$\angle ABC=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$$, то наименьшая его сторона – катет $$CA=5$$.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Все углы правильного треугольника равны $$60^{\circ}$$.
3. Против меньшего угла в треугольнике лежит его меньшая сторона.

1. Если две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ пересечь третьей прямой $$c$$ (секущей), то при этом получим две пары внутренних односторонних углов ($$\angle 1$$ и $$\angle 3$$, а также $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$) и две пары внутренних накрест лежащих углов ($$\angle 1$$ и $$\angle 4$$, а также $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$) (рис. 2).
   
   
2. Накрест лежащие углы равны.
3. Сумма внутренних односторонних углов равна $$180^{\circ}$$.

1. Так как $$\angle 1+\angle 4=150^{\circ}$$ , то $$\angle 1=\angle 4=75^{\circ}$$ (рис. 2).
   
   
2. Углы $$\angle 5$$ и $$\angle 6$$ внешние, причем $$\angle 1=\angle 6=75^{\circ}$$ (как вертикальные), $$\angle 5=180^{\circ}-\angle 1=105^{\circ}$$ (как смежные).
3. Тогда, $$\angle 5-\angle 6=105^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$$.

1. Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными полупрямыми сторон другого. 
2. Вертикальные углы равны.

Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$\frac{a }{\sin\alpha }=\frac{b}{\sin\beta }=\frac{c}{\sin\gamma}$$,
где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ – противолежащие им углы (рис. 4).

Напротив большей стороны треугольника лежит его больший угол.

Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos\alpha$$,
где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ – противолежащие им углы (рис. 4).

Пусть $$a=\sqrt{7}$$ см, $$b=2$$ см, $$\alpha =60^{\circ}$$ (рис. 4).

1. $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos\alpha$$; 
2. $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos\beta$$; 
3. $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos\gamma$$.