1.  Формула приведения: если аргумент функции имеет вид $$(180^{\circ}\pm \alpha )$$, то:

   1) ставим знак исходной функции;

   2) функцию переписываем;

   3) $$180^{\circ}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем. 

2.  Формула сложения:
     $$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$$.

1.  Преобразуем аргументы функций и применим формулы приведения:
   $$\frac{\sin 165^{\circ}}{\textrm{tg}195^{\circ}}=\frac{\sin(180^{\circ}-15^{\circ})}{\textrm{tg}(180^{\circ}+15^{\circ})}=\frac{\sin 15^{\circ}}{\textrm{tg}15^{\circ}}$$.
2.   Так как $$\textrm{tg}15^{\circ}=\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}$$, то запишем: 
   $$\frac{\sin 15^{\circ}}{\textrm{tg}15^{\circ}}=\frac{\sin 15^{\circ}\cdot \cos 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}=\cos 15^{\circ}$$.

3.  Применим формулу сложения:

   $$\cos 15^{\circ}=\cos (45^{\circ}-30^{\circ})$$, 

   $$\cos 15^{\circ}=\cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}$$, 

   $$\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$$, 

   $$\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$,

   $$\cos 15^{\circ}=0,25(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$.
   

Так как основной период функции тангенс равен $$180^{\circ}$$, то из аргумента функции $$\textrm{tg}(180^{\circ}+15^{\circ})$$ вычтем $$180^{\circ}$$, не применяя формулу приведения.

1. Тригонометрическое тождество:
   $$\textrm{tg}x\cdot \textrm{ctg}x=1$$.
2. Универсальная тригонометрическая подстановка:
   $$\sin 2x=\frac{2\textrm{tg}x}{1+\textrm{tg}^2x}$$;
   $$\cos 2x=\frac{1-\textrm{tg}^2x}{1+\textrm{tg}^2x}$$.

1. Если $$\textrm{ctg}\alpha =\sqrt{3}$$, то $$\textrm{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$$.
2. Найдем значения $$\sin 2\alpha$$ и $$\cos 2\alpha$$:
   $$\sin 2\alpha =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   $$\cos 2\alpha =\frac{1- \frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$$.
3. Найдем значение данного выражения:
   $$\left (\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right )^2=\left (\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right )^2=1$$.

Выражения $$\textrm{tg}\alpha$$ и $$\textrm{ctg}\alpha$$ взаимно обратные.

1. Основное тригонометрическое тождество:
   $$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$$. 
2. Формула двойного аргумента:
   $$\cos{2x}=\cos^{2}x-\sin^{2}x$$. 
3. Формула приведения. Если аргумент тригонометрической функции имеет вид $$(\pi±\alpha)$$, то:
   1) ставим знак исходной функции;
   2) исходную функцию переписываем;
   3) $$\pi$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.

1. Преобразуем данное выражение.
    Учитывая, что период функции $$y=\cos{x}$$ равен $$2\pi$$, и применяя формулу приведения, получим:
   $$A=\cos(2\alpha-3\pi)=\cos(\pi-2\alpha)=- \cos 2\alpha$$.
   Применим формулу двойного аргумента:
   $$A=-\left(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\right)$$,
   $$A=\left(\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha\right)$$. 
2. Согласно основному тригонометрическому тождеству, найдем значение $$\cos^{2}\alpha$$: $$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$$, $$\cos^{2}\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$. 
3. Найдем значение данного выражения:
   $$A=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$$.

1. Так как функция $$y=\cos{x}$$ четная, то  $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\beta-\alpha)$$. 
2.  Так как функция $$y=\sin{x}$$ нечетная, то $$\sin(\alpha-\beta)=-\sin(\beta-\alpha)$$.

Формулы понижения степени:

1. $$\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$$; 
2. $$\sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$$.

Применяя формулы понижения степени и зная, что $$\cos\beta =0,2$$, получим:
$$A=\frac{0,5(1-\cos\beta )+0,6}{0,5(1+\cos\beta )+0,4}$$,

$$A=\frac{0,5(1-0,2)+0,6}{0,5(1+0,2)+0,4}$$,

$$A=\frac{0,5\cdot 0,8+0,6}{0,5\cdot 1,2+0,4}$$,

$$A=\frac{0,4+0,6}{0,6+0,4}=1$$.

Формулы понижения степени имеют и другое название: формулы половинного аргумента.

1. Формула приведения: если аргумент функции имеет вид $$\left (\frac{\pi }{2}\pm \alpha \right )$$, то:

   1) функцию меняем на кофункцию;

   2) $$\frac{\pi }{2}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем;

   3) ставим знак исходной функции.

2. $$\sin(\alpha \pm 2\pi n)=\sin\alpha$$, $$n\in Z$$.

3. Формулы преобразования отрицательного аргумента:

   $$\sin(-\alpha )=-\sin\alpha$$;

   $$\cos(-\alpha )=\cos\alpha$$.

4. Формула преобразования произведения в сумму:

   $$\sin x\sin y=\frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y))$$.

5. Формула преобразования суммы в произведение:

   $$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$.

1. По формуле приведения получим:

   $$\cos\left (\frac{\pi }{2}+3\alpha \right )=-\sin 3\alpha$$.

2. Учитывая период функции синус, запишем:

   $$\sin (4\pi -2\alpha )=\sin (-2\alpha )=-\sin 2\alpha$$.

3. Согласно формуле преобразования произведения в сумму, получим:

   $$A=2\cos\alpha -2\sin 3\alpha \sin 2\alpha$$,

   $$A=2\cos\alpha -\frac{2}{2}(\cos\alpha -\cos 5\alpha )$$,

   $$A=\cos\alpha +\cos 5\alpha$$.

4. Согласно формуле преобразования суммы в произведение, получим:

    $$A=2\cos 3\alpha \cos (-2\alpha )$$,

   $$A=2\cos 3\alpha \cos 2\alpha$$.

Применяя формулу приведения, мы учли, что аргумент функции косинус $$\left (\frac{\pi }{2}+3\alpha\right )$$ принадлежит второй координатной четверти, а в этой четверти функция косинус отрицательная. Функцию косинус мы заменили на кофункцию, т. е. на функцию синус.

Тригонометрические тождества:

1. $$\textrm{ctg}x=\frac{1}{\textrm{tg}x}$$;  
2. $$1+\textrm{ctg}^2x=\frac{1}{\sin^2x}$$.

Если $$\textrm{tg}x=2$$, то $$\textrm{ctg}x=\frac{1}{2}$$.

Тогда: $$1+\frac{1}{4}=\frac{1}{\sin^2x}$$;   $$\frac{5}{4}=\frac{1}{\sin^2x}$$;

  $$\sin^2x=\frac{4}{5}$$;   $$\sin{x}=\pm \sqrt{0,8}=\pm 2\sqrt{0,2}$$.

Уравнение $$f^2(x)=a$$ при $$a\geq 0$$ равносильно совокупности уравнений: 

$$f(x)=\sqrt{a}$$ или $$f(x)=-\sqrt{a}$$.

1. Формула квадрата суммы:
   $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$. 
2. Формула суммы кубов:
   $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$. 
3. Основное тригонометрическое тождество:
   $$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$$. 
4. Формула двойного аргумента:
   $$2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$$.

1. Применим формулу суммы кубов и основное тригонометрическое тождество:
   $$A=\left(\sin^{2}x+\cos^{2}x\right)\left(\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x+\cos^{4}x\right)$$,
   $$A=\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x+\cos^{4}x$$. 
2. Дополним полученное выражение до квадрата суммы.
   Прибавим и вычтем $$2\sin^{2}x\cos^{2}x$$:
   $$A=\left(\sin^{4}x+2\sin^{2}x\cos^{2}x+\cos^{4}x\right)- 3\sin^{2}x\cos^{2}x$$,
   $$A=\left(\sin^{2}x+\cos^{2}x\right)^{2}- 3\sin^{2}x\cos^{2}x$$,
   $$A=1^{2}- 3\sin^{2}x\cos^{2}x$$. 
3. Применим формулу двойного аргумента:
   $$A=1- 3\cdot\frac{1}{4}\cdot4\sin^{2}x\cos^{2}x$$,
   $$A=1- \frac{3}{4}\left(2\sin{x}\cos{x}\right)^{2}$$,
   $$A=1- \frac{3}{4}\sin^{2}2x$$. 
4. Найдем значение данного выражения:
   $$A=1- \frac{3}{4}\sin^{2}30^{\circ}$$, $$A=1- \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{13}{16}$$.

1. Чтобы дополнить выражение $$a^{2}+ab+b^{2}$$ до квадрата суммы, необходимо прибавить и вычесть $$ab$$:
   $$a^{2}+ab+b^{2}+ab-ab= \left(a^{2}+2ab+b^{2}\right)-ab= \left(a+b\right)^2-ab $$. 
2. Чтобы дополнить выражение $$a^{2}+ab+b^{2}$$ до квадрата разности, необходимо вычесть и прибавить $$2ab$$:
   $$a^{2}+ab+b^{2}-2ab+2ab= \left(a^{2}-2ab+b^{2}\right)+3ab= \left(a-b\right)^{2}-ab $$.

1. Основное тригонометрическое тождество:

   $$\cos^2\alpha +\sin^2\alpha =1$$.

2. Формула двойного аргумента:

   $$\cos 2\alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha$$.

Учитывая, что $$\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$$, получим:
$$\cos 2\alpha =\cos^2\alpha -\sin^2\alpha$$, 

$$\cos 2\alpha =1-\sin^2\alpha -\sin^2\alpha $$,

$$\cos 2\alpha =1-2\sin^2\alpha$$,

$$\cos 2\alpha =1-2\cdot 0,6^2=1-0,72=0,28$$.

Различайте формулы: 

$$\cos^2\alpha +\sin^2\alpha =1$$ и $$\cos^2\alpha -\sin^2\alpha=\cos 2\alpha$$.

Формула сложения: 

$$\textrm{tg}(x\pm y)=\frac{\textrm{tg}x\pm \textrm{tg}y}{1\mp \textrm{tg}x\textrm{tg}y}$$.

Если $$\textrm{ctg}\beta =3$$, то $$\textrm{tg}\beta =\frac{1}{3}$$.

По формуле сложения: 

$$\textrm{tg}(\alpha -\beta )=\frac{-2-\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}$$,

$$\textrm{tg}(\alpha -\beta )=-\frac{7}{3}\cdot \frac{3}{1}=-7$$.

Значения $$\textrm{tg}\alpha$$ и $$\textrm{ctg}\alpha$$ взаимно обратные.

1. Тригонометрическое тождество:
   $$\textrm{tg}\alpha\cdot \textrm{ctg}\alpha=1$$. 
2. Степень с отрицательным показателем:
   $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$. 
3. Формула сокращенного умножения:
   $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$.

1. Так как $$\frac{1}{\textrm{ctg}\alpha}=\textrm{tg}\alpha$$, а $$\frac{1}{\textrm{tg}\alpha}=\textrm{сtg}\alpha$$, то
    $$\textrm{tg}^{-1}\alpha+\textrm{ctg}^{-1}\alpha=\textrm{ctg}\alpha+\textrm{tg}\alpha$$. 
2. Пусть $$\textrm{ctg}\alpha+\textrm{tg}\alpha=x$$. 
   Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим:
   $$\textrm{ctg}^{2}\alpha+2\textrm{ctg}\alpha \textrm{tg}\alpha+\textrm{tg}^{2}\alpha=x^2$$.
   Так как $$\textrm{ctg}\alpha\textrm{tg}\alpha=1$$, а $$\textrm{tg}^{2}\alpha+\textrm{ctg}^{2}\alpha=98$$, то
   $$x^2=98+2$$, $$x^2=100$$, $$x=±10$$. 
3. Поскольку $$\alpha\in(180^{\circ};270^{\circ})$$, то $$\textrm{tg}\alpha>0$$ и $$\textrm{tg}\alpha>0$$.
   Следовательно, $$\textrm{ctg}\alpha+\textrm{tg}\alpha=10$$.

1. Если $$\alpha\in(0^{\circ};90^{\circ})$$, то $$\textrm{tg}\alpha>0$$ и $$\textrm{tg}\alpha>0$$. 
2. Если $$\alpha\in(90^{\circ};1800^{\circ})$$, то $$\textrm{tg}\alpha<0$$ и $$\textrm{tg}\alpha<0$$. 
3. Если $$\alpha\in(180^{\circ};270^{\circ})$$, то $$\textrm{tg}\alpha>0$$ и $$\textrm{tg}\alpha>0$$. 
4. Если $$\alpha\in(270^{\circ};360^{\circ})$$, то $$\textrm{tg}\alpha<0$$ и $$\textrm{tg}\alpha<0$$.