Тождественные преобразования тригонометрических выражений ИТ
Значение выражения $$\frac{sin165^{\circ}}{tg195^{\circ}}$$ равно:
1. Формула приведения: если аргумент функции имеет вид $$(180^{\circ}\pm \alpha )$$, то:
1) ставим знак исходной функции;
2) функцию переписываем;
3) $$180^{\circ}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
2. Формула сложения:
$$cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny$$.
$$cos15^{\circ}=cos(45^{\circ}-30^{\circ})$$,
$$cos15^{\circ}=cos45^{\circ}cos30^{\circ}+sin45^{\circ}sin30^{\circ}$$,
$$cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$$,
$$cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$,
$$cos15^{\circ}=0,25(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$.
Так как основной период функции тангенс равен $$180^{\circ}$$, то из аргумента функции $$tg(180^{\circ}+15^{\circ})$$ вычтем $$180^{\circ}$$, не применяя формулу приведения.
Значение выражения $$8\sqrt{15}sin(2arccos0,25)$$ равно:
- Формула двойного аргумента:
$$sin2x=2sinxcosx$$.
- Основное тригонометрическое тождество:
$$sin^2x+cos^2x=1$$.
- Полагая $$arccos0,25=\alpha$$, получим:
$$cos\alpha =0,25$$.
- Применяя формулу двойного аргумента, запишем:
$$A=8\sqrt{15}sin(2\alpha )$$,
$$A=8\sqrt{15}\cdot 2sin\alpha cos\alpha$$.
- Найдем $$sin\alpha$$:
$$sin\alpha =\sqrt{1-cos^2\alpha }$$;
$$sin\alpha =\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$. - Тогда, $$A=8\sqrt{15}\cdot 2\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{1}{4}=15$$.
В случае подстановки $$arccos0,25=\alpha$$ выражение $$sin\alpha =\pm \sqrt{1-cos^2\alpha }$$ всегда положительное: $$sin\alpha = \sqrt{1-cos^2\alpha }$$.
Если $$cos\beta =0,2$$, то значение выражения $$\frac{sin^20,5\beta +0,6}{cos^20,5\beta +0,4}$$ равно:
Формулы понижения степени:
$$cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$$;
$$sin^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$$.
Применяя формулы понижения степени и зная, что $$cos\beta =0,2$$, получим:
$$A=\frac{0,5(1-cos\beta )+0,6}{0,5(1+cos\beta )+0,4}$$,
$$A=\frac{0,5(1-0,2)+0,6}{0,5(1+0,2)+0,4}$$,
$$A=\frac{0,5\cdot 0,8+0,6}{0,5\cdot 1,2+0,4}$$,
$$A=\frac{0,4+0,6}{0,6+0,4}=1$$.
Формулы понижения степени имеют и другое название: формулы половинного аргумента.
Имеют смысл следующие из выражений:
1) $$sin(-2)$$;
2) $$cos307^{\circ}$$;
3) $$arcsin(-2,8)$$;
4) $$arccos\frac{3}{\sqrt{5}}$$;
5) $$arcctg(-\pi )$$.
Тригонометрические функции и их области определения:
- $$y=sinx, D(f):x\in R$$;
- $$y=cosx, D(f):x\in R$$;
- $$y=tgx, D(f):x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z$$;
- $$y=ctgx, D(f):x\neq 0+\pi n,n\in Z$$.
Обратные тригонометрические функции и их области определения:
- $$y=arcsinx, D(f):x\in \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$;
- $$y=arccosx,D(f):x\in \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$;
- $$y=arctgx, D(f):x\in R$$;
- $$y=arcctgx, D(f):x\in R$$.
- Выражения $$sin(-2)$$, $$cos307^{\circ}$$ и $$arcctg(-\pi )$$ имеют смысл, так как область определения этих функций – любое действительное число.
- Выражение $$arcsin(-2,8)$$ не имеет смысла, так как $$-2,8\notin \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$.
- Выражение $$arccos\frac{3}{\sqrt{5}}=arccos\sqrt{1,8}$$ лишено смысла, так как $$\sqrt{1,8}\notin \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$.
Различайте записи:
$$sin2^{\circ}$$ и $$sin2$$.
В результате упрощения выражения $$2cos\alpha -cos(3\alpha +0,5\pi )sin(4\pi -2\alpha )$$ получим:
Формула приведения: если аргумент функции имеет вид $$(\frac{\pi }{2}\pm \alpha )$$, то:
1) функцию меняем на кофункцию;
2) $$\frac{\pi }{2}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
3) ставим знак исходной функции;
$$sin(\alpha \pm 2\pi n)=sin\alpha ,n\in Z$$.
Формулы преобразования отрицательного аргумента:
$$sin(-\alpha )=-sin\alpha$$;
$$cos(-\alpha )=cos\alpha$$.
Формула преобразования произведения в сумму:
$$sinxsiny=\frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y))$$.
Формула преобразования суммы в произведение:
$$cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$$.
- По формуле приведения получим:
$$cos(\frac{\pi }{2}+3\alpha )=-sin3\alpha$$.
- Учитывая период функции синус, запишем:
$$sin(4\pi -2\alpha )=sin(-2\alpha )=-sin2\alpha$$.
- Согласно формуле преобразования произведения в сумму, получим:
$$A=2cos\alpha -2sin3\alpha sin2\alpha$$,
$$A=2cos\alpha -\frac{2}{2}(cos\alpha -cos5\alpha )$$,
$$A=cos\alpha +cos5\alpha$$.
- Согласно формуле преобразования суммы в произведение, получим:
$$A=2cos3\alpha cos(-2\alpha )$$,
$$A=2cos3\alpha cos2\alpha$$.
Применяя формулу приведения, мы учли, что аргумент функции косинус $$(\frac{\pi }{2}+3\alpha )$$ принадлежит второй координатной четверти, а в этой четверти функция косинус отрицательная. Функцию косинус мы заменили на кофункцию, т. е. на функцию синус.
Если $$tgx=2$$, то значение $$sinx$$ равно:
Тригонометрические тождества:
$$ctgx=\frac{1}{tgx}$$;
$$1+ctg^2x=\frac{1}{sin^2x}$$.
Если $$tgx=2$$, то $$ctgx=\frac{1}{2}$$.
Тогда:
$$1+\frac{1}{4}=\frac{1}{sin^2x}$$;
$$\frac{5}{4}=\frac{1}{sin^2x}$$;
$$sin^2x=\frac{4}{5}$$;
$$sinx=\pm \sqrt{0,8}=\pm 2\sqrt{0,2}$$.
Уравнение $$f^2(x)=a$$ при $$a\geq 0$$ равносильно совокупности уравнений:
$$f(x)=\sqrt{a}$$ или $$f(x)=-\sqrt{a}$$.
Если $$ctg\alpha =\sqrt{3}$$, то значение выражения $$(\sqrt{3}sin2\alpha -cos2\alpha )^2$$ равно:
- Тригонометрическое тождество:
$$tgx\cdot ctgx=1$$.
- Универсальная тригонометрическая подстановка:
$$sin2x=\frac{2tgx}{1+tg^2x}$$;
$$cos2x=\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}$$.
- Если $$ctg\alpha =\sqrt{3}$$, то $$tg\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$$.
- Найдем значения $$sin2\alpha$$ и $$\ cos2\alpha$$:
$$sin2\alpha =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
$$cos2\alpha =\frac{1- \frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$$. - Найдем значение данного выражения:
$$(\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})^2=1$$.
Выражения $$tg\alpha$$ и $$ctg\alpha$$ взаимно обратные.
Если $$sin\alpha =0,6$$, то значение выражения $$cos2\alpha$$ равно:
- Основное тригонометрическое тождество:
$$cos^2\alpha +sin^2\alpha =1$$.
- Формула двойного аргумента:
$$cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$$.
Учитывая, что $$cos^2\alpha =1-sin^2\alpha$$, получим:
$$cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$$,
$$cos2\alpha =1-sin^2\alpha -sin^2\alpha $$,
$$cos2\alpha =1-2sin^2\alpha$$,
$$cos2\alpha =1-2\cdot 0,6^2=1-0,72=0,28$$.
Различайте формулы:
$$cos^2\alpha +sin^2\alpha =1$$ и $$cos^2\alpha -sin^2\alpha=cos2\alpha$$.
Если $$tg\alpha =-2$$, а $$ctg\beta =3$$, то значение выражения $$tg(\alpha -\beta )$$ равно:
Формула сложения:
$$tg(x\pm y)=\frac{tgx\pm tgy}{1\mp tgxtgy}$$.
Если $$ctg\beta =3$$, то $$tg\beta =\frac{1}{3}$$.
По формуле сложения:
$$tg(\alpha -\beta )=\frac{-2-\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}$$,
$$tg(\alpha -\beta )=-\frac{7}{3}\cdot \frac{3}{1}=-7$$.
Выражения $$tgx$$ и $$ctgx$$ взаимно обратные.
Значение выражения $$\frac{ctg(arcsin(-1)-2arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}))}{tg(arcsin(sin150^{\circ})+arccos(cos390^{\circ}))}$$ равно:
1. Формулы преобразования функций отрицательного аргумента:
$$arcsin(-\alpha )=-arcsin\alpha$$;
$$arccos(-\alpha )=\pi -arccos\alpha$$;
$$ctg(-\alpha )=-ctg\alpha$$.
2. Справедливы равенства:
$$ctg(\alpha \pm \pi n )=ctg\alpha$$,
$$cos(\alpha \pm 2\pi n)=cos\alpha$$,
где $$n\in Z$$.
3. Если аргумент функции имеет вид $$(\pi \pm \alpha )$$, то:
1) ставим знак исходной функции;
2) функцию переписываем;
3) $$\pi$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
4. Равенство $$arcsin(sinx)=x$$ справедливо при $$x\in \begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \end{bmatrix}$$.
5. Равенство $$arccos(cosx)=x$$ справедливо при $$x\in \begin{bmatrix} 0;\pi \end{bmatrix}$$.
- Преобразуем числитель дроби:
$$A=ctg(-arcsin1-2(\pi -arccos\frac{\sqrt{3}}{2}))$$,
$$A=ctg(-\frac{\pi }{2}-2(\pi -\frac{\pi }{6}))$$,
$$A=ctg(-\frac{\pi }{6}-2\pi )$$,
$$A=ctg(-\frac{\pi }{6})=-\sqrt{3}$$.
- Преобразуем знаменатель дроби:
$$B=tg(arcsin(sin(180^{\circ}-30^{\circ}))+arccos(cos(360^{\circ}+30^{\circ})))$$,
$$B=$$$$tg(arcsin (sin30^{\circ})+arccos (cos30^{\circ}))$$,$$B=tg(30^{\circ}+30^{\circ})=tg(60^{\circ})=\sqrt{3}$$.
- Найдем значение данного выражения:
$$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-1$$.
Применяя равенства $$arcsin(sinx)=x$$ и $$arccos(cosx)=x$$, следите за тем, чтобы значение переменной $$x$$ удовлетворяло требованиям: $$x\in \begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \end{bmatrix}$$ в первом случае и $$x\in \begin{bmatrix} 0;\pi \end{bmatrix}$$ во втором случае.