Загрузка

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Имеют смысл следующие из выражений:

  1. $$sin(-2)$$;
  2. $$cos307^{\circ}$$;
  3. $$arcsin(-2,8)$$;
  4. $$arccos\frac{3}{\sqrt{5}}$$;
  5. $$arcctg(-\pi )$$.

Тригонометрические функции и их области определения:

  1. $$y=sinx, D(f):x\in R$$;
  2. $$y=cosx, D(f):x\in R$$;
  3. $$y=tgx, D(f):x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z$$;
  4. $$y=ctgx, D(f):x\neq 0+\pi n,n\in Z$$.

Обратные тригонометрические функции и их области определения:

  1. $$y=arcsinx, D(f):x\in \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$;
  2. $$y=arccosx,D(f):x\in \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$;
  3. $$y=arctgx, D(f):x\in R$$;
  4. $$y=arcctgx, D(f):x\in R$$.
  1. Выражения $$sin(-2)$$, $$cos307^{\circ}$$ и $$arcctg(-\pi )$$ имеют смысл, так как область определения этих функций – любое действительное число.
  2. Выражение $$arcsin(-2,8)$$ не имеет смысла,

    так как $$-2,8\notin \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$.

  3. Выражение $$arccos\frac{3}{\sqrt{5}}=arccos\sqrt{\frac{9}{5}}=arccos\sqrt{1,8}$$ лишено смысла, так как $$\sqrt{1,8}\notin \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$.

Различайте записи: $$sin2^{\circ}$$ и $$sin2$$.

Выберите один из вариантов

Если $$sin\alpha =0,6$$, то значение выражения $$cos2\alpha$$ равно:

  1. Основное тригонометрическое тождество: $$cos^2\alpha +sin^2\alpha =1$$.
  2. Формула двойного аргумента: $$cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$$.

Зная, что $$cos^2\alpha =1-sin^2\alpha$$, запишем:
$$cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha =1-sin^2\alpha -sin^2\alpha =$$

$$=1-2sin^2\alpha =$$$$1-2\cdot 0,6^2=1-0,72=0,28$$.

Различайте формулы: $$cos^2\alpha +sin^2\alpha =1$$ и $$cos^2\alpha -sin^2\alpha=cos2\alpha$$.

Выберите один из вариантов

Если $$tgx=2$$, то значение $$sinx$$ равно:

Тригонометрические тождества:

$$tgx\cdot ctgx=1$$; $$ctgx=\frac{1}{tgx}$$; $$1+ctg^2x=\frac{1}{sin^2x}$$.

Если $$tgx=2$$, то $$ctgx=\frac{1}{2}$$.

Тогда:
$$1+\frac{1}{4}=\frac{1}{sin^2x}$$; $$\frac{5}{4}=\frac{1}{sin^2x}$$; $$sin^2x=\frac{4}{5}$$; $$sinx=\pm \sqrt{0,8}=\pm 2\sqrt{0,2}$$.

Уравнение $$f^2(x)=a$$ при $$a\geq 0$$ равносильно совокупности уравнений: $$f(x)=\sqrt{a}$$ или $$f(x)=-\sqrt{a}$$.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$\frac{sin165^{\circ}}{tg195^{\circ}}$$ равно:

Формула приведения: если аргумент функции имеет вид $$(180^{\circ}\pm \alpha )$$, то:

  1. ставим знак исходной функции;
  2. функцию переписываем;
  3. $$180^{\circ}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.

Формула сложения: $$cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny$$.

  1. Преобразуем аргументы функций и применим формулы приведения: $$\frac{sin165^{\circ}}{tg195^{\circ}}=\frac{sin(180^{\circ}-15^{\circ})}{tg(180^{\circ}+15^{\circ})}=\frac{sin15^{\circ}}{tg15^{\circ}}$$.
  2. Так как $$tg15^{\circ}=\frac{sin15^{\circ}}{cos15^{\circ}}$$, то запишем: $$\frac{sin15^{\circ}}{tg15^{\circ}}=\frac{sin15^{\circ}\cdot cos15^{\circ}}{sin15^{\circ}}=cos15^{\circ}$$.
  3. Применим формулу сложения: $$cos15^{\circ}=cos(45^{\circ}-30^{\circ})=cos45^{\circ}cos30^{\circ}+sin45^{\circ}sin30^{\circ}=$$
    $$=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=0,25(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$.

Так как основной период функции тангенс равен $$180^{\circ}$$, то из аргумента функции $$tg(180^{\circ}+15^{\circ})$$ вычтем $$180^{\circ}$$, не применяя формулу приведения.

Выберите один из вариантов

Если $$tg\alpha =-2$$, а $$ctg\beta =3$$, то значение выражения $$tg(\alpha -\beta )$$ равно:

Формула сложения: $$tg(x\pm y)=\frac{tgx\pm tgy}{1\mp tgxtgy}$$.

Если $$ctg\beta =3$$, то $$tg\beta =\frac{1}{3}$$.

По формуле сложения: $$tg(\alpha -\beta )=\frac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \cdot tg\beta }=\frac{-2-\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=-\frac{7}{3}\cdot \frac{3}{1}=-7$$.

Выражения $$tgx$$ и $$ctgx$$ взаимно обратные.

Выберите один из вариантов

Если $$cos\beta =0,2$$, то значение выражения $$\frac{sin^20,5\beta +0,6}{cos^20,5\beta +0,4}$$ равно:

Формулы понижения степени:

$$cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$$; $$sin^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$$.

Применяя формулы понижения степени и зная, что $$cos\beta =0,2$$, получим:
$$\frac{0,5(1-cos\beta )+0,6}{0,5(1+cos\beta )+0,4}=\frac{0,5(1-0,2)+0,6}{0,5(1+0,2)+0,4}=$$

$$=\frac{0,5\cdot 0,8+0,6}{0,5\cdot 1,2+0,4}=$$$$\frac{0,4+0,6}{0,6+0,4}=\frac{1}{1}=1$$.

Формулы понижения степени имеют и другое название: формулы половинного аргумента.

Выберите один из вариантов

Если $$ctg\alpha =\sqrt{3}$$, то значение выражения $$(\sqrt{3}sin2\alpha -cos2\alpha )^2$$ равно:

  1. Тригонометрическое тождество: $$tgx\cdot ctgx=1$$.
  2. Универсальная тригонометрическая подстановка: $$sin2x=\frac{2tgx}{1+tg^2x}$$; $$cos2x=\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}$$.
  1. Если $$ctg\alpha =\sqrt{3}$$, то $$tg\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$$.
  2. Найдем значения $$sin2\alpha$$ и $$\ cos2\alpha$$:
    $$sin2\alpha =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
    $$cos2\alpha =\frac{1- \frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$$.
  3. Найдем значение данного выражения:
    $$(\sqrt{3}sin2\alpha -cos2\alpha )^2=(\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})^2=1$$.

Выражения $$tg\alpha$$ и $$ctg\alpha$$ взаимно обратные.

Выберите один из вариантов

В результате упрощения выражения $$2cos\alpha -cos(3\alpha +0,5\pi )sin(4\pi -2\alpha )$$ получим:

  1. Формула приведения: если аргумент функции имеет вид $$(\frac{\pi }{2}\pm \alpha )$$, то:

    1. ставим знак исходной функции;
    2. функцию меняем на кофункцию;
    3. $$\frac{\pi }{2}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
  2. $$sin(\alpha \pm 2\pi n)=sin\alpha ,n\in Z$$.

  3. Формулы преобразования отрицательного аргумента:

    $$sin(-\alpha )=-sin\alpha$$; $$cos(-\alpha )=cos\alpha$$.

  4. Формула преобразования произведения в сумму:

    $$sinxsiny=\frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y))$$.

  5. Формула преобразования суммы в произведение:

    $$cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$$.

  1. По формуле приведения получим:

    $$cos(\frac{\pi }{2}+3\alpha )=-sin3\alpha$$.

  2. Учитывая период функции синус, запишем:

    $$sin(4\pi -2\alpha )=sin(-2\alpha )=-sin2\alpha$$.

  3. Согласно формуле преобразования произведения в сумму, получим:

    $$2cos\alpha -2sin3\alpha sin2\alpha =2cos\alpha -\frac{2}{2}(cos\alpha -cos5\alpha )=$$

    $$=cos\alpha +cos5\alpha$$.

  4. Согласно формуле преобразования суммы в произведение, получим:

    $$cos\alpha +cos5\alpha =2cos3\alpha cos(-2\alpha )=2cos3\alpha cos2\alpha$$.

Применяя формулу приведения, мы учли, что аргумент функции косинус $$(\frac{\pi }{2}+3\alpha )$$ принадлежит второй координатной четверти, а в этой четверти функция косинус отрицательная. Функцию косинус мы заменили на кофункцию, т. е. на функцию синус.

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$\frac{ctg(arcsin(-1)-2arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}))}{tg(arcsin(sin150^{\circ})+arccos(cos390^{\circ}))}$$ равно:

Формулы преобразования функций отрицательного аргумента:
$$arcsin(-\alpha )=-arcsin\alpha$$; $$arccos(-\alpha )=\pi -arccos\alpha$$; $$ctg(-\alpha )=-ctg\alpha$$.

Справедливы равенства:
$$ctg(\alpha \pm \pi n )=ctg\alpha$$; $$cos(\alpha \pm 2\pi n)=cos\alpha$$, где $$n\in Z$$.

Если аргумент функции имеет вид $$(\pi \pm \alpha )$$, то:

  1. ставим знак исходной функции;
  2. функцию переписываем;
  3. $$\pi$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.

Равенство $$arcsin(sinx)=x$$ справедливо при $$x\in \begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \end{bmatrix}$$.

Равенство $$arccos(cosx)=x$$ справедливо при $$x\in \begin{bmatrix} 0;\pi \end{bmatrix}$$.

  1. Преобразуем числитель дроби:
    $$ctg(-arcsin1-2(\pi -arccos\frac{\sqrt{3}}{2}))=ctg(-\frac{\pi }{2}-2(\pi -\frac{\pi }{6}))=$$
    $$=$$$$ctg(-\frac{\pi }{2}-2\pi +\frac{\pi }{3})=$$$$ctg(-\frac{\pi }{6}-2\pi )=ctg(-\frac{\pi }{6})=$$

    $$=-ctg(\frac{\pi }{6})=-\sqrt{3}$$.

  2. Преобразуем знаменатель дроби:
    $$tg(arcsin(sin(180^{\circ}-30^{\circ}))+arccos(cos(360^{\circ}+30^{\circ})))=$$
    $$=$$$$tg(arcsin (sin30^{\circ})+arccos (cos30^{\circ}))=$$

    $$=tg(30^{\circ}+30^{\circ})=tg(60^{\circ})=\sqrt{3}$$.

  3. Найдем значение данного выражения:
    $$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-1$$.

Применяя равенства $$arcsin(sinx)=x$$ и $$arccos(cosx)=x$$, следите за тем, чтобы значение переменной $$x$$ удовлетворяло требованиям: $$x\in \begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \end{bmatrix}$$ в первом случае и $$x\in \begin{bmatrix} 0;\pi \end{bmatrix}$$ во втором случае.

Введите ответ в поле

Значение выражения $$8\sqrt{15}sin(2arccos0,25)$$ равно:

  1. Формула двойного аргумента: $$sin2x=2sinxcosx$$.
  2. Основное тригонометрическое тождество: $$sin^2x+cos^2x=1$$.
  1. Полагая $$arccos0,25=\alpha$$, получим $$cos\alpha =0,25$$.
  2. Применяя формулу двойного аргумента, запишем: $$A=8\sqrt{15}sin(2\alpha )=8\sqrt{15}\cdot 2sin\alpha cos\alpha$$.
  3. Найдем $$sin\alpha$$:
    $$sin\alpha =\sqrt{1-cos^2\alpha }$$;
    $$sin\alpha =\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$.
  4. Тогда, $$A=8\sqrt{15}\cdot 2\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{1}{4}=15$$.

В случае подстановки $$arccos0,25=\alpha$$ выражение $$sin\alpha =\pm \sqrt{1-cos^2\alpha }$$ всегда положительное: $$sin\alpha = \sqrt{1-cos^2\alpha }$$.

Введите ответ в поле