Загрузка

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Площадь фигуры (с точностью до целых), удовлетворяющей неравенствам $$\left | x-1 \right |+\left | y+2 \right |\leq 4$$ и $$(x-1)^2+(y+2)^2\geq 4$$, равна:

1. Если уравнение квадрата имеет вид:  
$$\left | x-a \right |+\left | y-b \right |=\frac{d}{2}$$
то точка $${O}'(a;b)$$ – точка пересечения диагоналей квадрата, а $$d$$ – длина его диагоналей.
2. Если уравнение окружности имеет вид:  
$${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$$
то ее центр находится в точке $${O}'(a;b)$$, а радиус равен $$R$$.
3. Площадь квадрата можно вычислить по формуле: 
$$S=\frac{1}{2}d^2$$
где $$d$$ – длина его диагонали.
4. Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле: 
$$S=\pi R^2$$.
1. Построим квадрат с центром в точке $${O}'(1;-2)$$ и диагональю $$d=8$$ и окружность с центром в точке $${O}'(1;-2)$$ и радиусом $$R=2$$ (рис. 7.13).
                                                                                  
2. Поскольку неравенству $$\left | x-1 \right |+\left | y+2 \right |\leq 4$$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри квадрата, а неравенству $$(x-1)^2+(y+2)^2\geq 4$$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих вне круга, то площадь фигуры, удовлетворяющей этим неравенствам, найдем по формуле: 
$$S=\frac{1}{2}d^2-\pi R^2$$.
Получим: 
$$S=\frac{64}{2}-4\pi$$,
$$S\approx 32-4\cdot 3,14=19,44$$.
3. Округлим полученный результат до целых:
$$19,44\approx 19$$.

  1. Число $$\pi=3,14159...$$ – иррациональное.
  2. Округляя число $$19,44$$, мы учитывали, что первая в группе отбрасываемых цифр
    (цифра $$4$$) меньше $$5$$, следовательно, цифру $$9$$ мы не изменяли.

Введите ответ в поле
Сумма целых чисел, которые не являются решениями неравенства $$\left | 2x-5 \right |> 3$$, равна:

Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq g(x)$$, то оно равносильно совокупности неравенств:

$$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$

Заменим данное неравенство равносильной ему совокупностью неравенств:
$$\left [\begin{matrix} 2x-5> 3, \hfill \\ 2x-5< -3; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 2x> 8, \hfill \\ 2x< 2; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x> 4, \hfill \\ x< 1; \end{matrix}\right.$$$$x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$$.
Найдем сумму целых чисел, которые не являются решениями неравенства:
$$1+2+3+4=10$$.

Чтобы решить совокупность неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства совокупности. Тогда объединение этих множеств и будет решением совокупности.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$\left | 2x^2+x-1 \right |\geq \left | 1-2x^2+3x \right |$$ имеет вид:

1. Свойство модуля: 
$$\left | a \right |^2=a^2$$.
2. Формула разности квадратов: 
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
3. Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам: 
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$
где $$D=b^2-4ac\geq 0$$.
1. Возводя обе части неравенства в квадрат и применяя формулу разности квадратов, получим:
$$\left | 2x^2+x-1 \right |^2\geq \left | 1-2x^2+3x \right |^2$$;
$$(2x^2+x-1)^2\geq (1-2x^2+3x )^2$$;
$$(2x^2+x-1)^2-(1-2x^2+3x )^2\geq 0$$;
$$(2x^2+x-1-1+2x^2-3x)(2x^2+x-1+1-2x^2+3x)\geq 0$$;
$$(4x^2-2x-2)(4x)\geq 0$$;
$$x(2x^2-x-1)\geq 0$$.
2. Найдем нули функции $$f(x)=x(2x^2-x-1)$$: 
1) $$x_1=0$$;
2) $$2x^2-x-1=0$$, откуда: 
$$D=1+8=9$$, $$x_2=\frac{1-3}{4}=-0,5$$, $$x_3=\frac{1+3}{4}=1$$.
3. Согласно рисунку 7.10 запишем решение неравенства: 
$$[-0,5;0]\cup [1;+\infty )$$.
                                                                   

Неравенства $$f(x)\geq g(x)$$ и $$(f(x))^n\geq (g(x))^n$$ равносильны для всех $$n\in N$$ при условии, что функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ неотрицательны.

Выберите один из вариантов

Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$x^2-4\left | x \right |-5\leq 0$$, равна:

1. Свойство модуля: 
$$\left | a \right |^2=a^2$$.
2. Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ равна $$-p$$, а их произведение равно $$q$$.

1. Запишем неравенство в виде: 
$$\left | x \right |^2-4\left | x \right |-5\leq 0$$.
2.Найдем нули функции $$f(x)=\left | x \right |^2-4\left | x \right |-5$$
Получим: $$\left | x \right |=5$$, откуда $$x=\pm 5$$ или $$\left | x \right |=-1$$, откуда $$x\in\varnothing$$.
3. Согласно рисунку 7.11 запишем: $$x\in [-5;5]$$.
                                                                             
4. Найдем длину этого промежутка: 
$$5-(-5)=10$$.

Уравнение $$\left | x \right |^2-4\left | x \right |-5=0$$ является квадратным относительно $$\left | x \right |$$. Решать его можно и вводя подстановку $$\left | x \right |=a$$.

Выберите один из вариантов

Наименьшее составное решение неравенства $$3\left | 2-x \right |-\left | 2x+3 \right |\leq 3x$$ равно:

1. Если неравенство содержит несколько модулей, например, имеет вид $$\left | f_1(x) \right |+\left | f_2(x) \right |\leq g(x)$$, $$(\geq ,<,>)$$, то применяем метод интервалов, следуя алгоритму:
1) находим нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения $$f_1(x)=0$$ и $$f_2(x)=0$$;
2) наносим нули функций на область определения уравнения;
3) раскрываем модули на каждом промежутке и решаем полученные неравенства.
2. Правило раскрытия модуля: если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем, а если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

1. Запишем неравенство в виде $$3\left | 2-x \right |-\left | 2x+3 \right |-3x\leq 0$$ и рассмотрим функцию $$f(x)=3\left | 2-x \right |-\left | 2x+3 \right |-3x$$.

Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:

$$x=2$$ и $$x=-1,5$$.
2. Раскроем модули на каждом из промежутков и решим полученные неравенства.
2.1 На промежутке $$(-\infty ;-1,5]$$ получим $$2-x> 0$$, а $$2x+3< 0$$, следовательно, неравенство примет вид:
$$3(2-x)+(2x+3)-3x\leq 0$$,
$$6-3x+2x+3-3x\leq 0$$,
$$9-6x\leq 0$$,
$$x\geq 1,5$$.
На этом промежутке неравенство решений не имеет.
2.2 На промежутке $$(-1,5;2] $$ получим $$2-x>0$$ и $$2x+3>0$$, следовательно, неравенство примет вид:
$$3(2-x)-(2x+3)-3x\leq 0$$,
$$6-3x-2x-3-3x\leq 0$$,
$$3-8x\leq 0$$,  
$$x\geq \frac{3}{8}$$.
На этом промежутке решение неравенства имеет вид: $$[\frac{3}{8};2]$$.
2.3 На промежутке $$(-2; +\infty] $$ получим $$2-x<0$$, а $$2x+3>0$$, следовательно, неравенство примет вид:
$$-3(2-x)-(2x+3)-3x\leq 0$$,
$$-6+3x-2x-3-3x\leq 0$$,
$$-9-2x\leq 0$$,
$$x\geq -4,5$$.
Решением неравенства является весь промежуток $$(-2; +\infty] $$.
3. Объединив полученные на промежутках решения, запишем: 
$$[\frac{3}{8};+\infty]$$.
Наименьшее составное решение неравенства равно $$4$$.

  1. Простыми называют числа, которые делятся только сами на себя и на число $$1$$.
  2. Составными называют числа, которые можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.
  3. Число $$1$$ не является ни простым, ни составным.

Выберите один из вариантов
Количество всех целых чисел, которые не являются решениями неравенства $$\frac{2+\left | x \right |}{x-2}\leq 6$$, равно:

$$\left | a \right |=a$$, если $$a\geq 0$$ и $$\left | a \right |=-a$$, если $$a<0$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x\leq 0$$, то получим:

$$\frac{2-x}{x-2}-6\leq 0$$; $$-\frac{2-x}{x-2}-6\leq 0$$.
Поскольку на этом промежутке $$2-x\neq 0$$, то сократив дробь на выражение $$2-x$$, получим $$-1-6\leq 0$$. Так как получили верное числовое неравенство $$-7\leq 0$$, не зависящее от переменной $$x$$, то весь промежуток $$(-\infty ;0]$$ является решением данного неравенства.
2. Если $$x>0$$, то получим: 
$$\frac{2+x}{x-2}-6\leq 0$$; $$\frac{2+x-6x+12}{x-2}\leq 0$$; $$\frac{14-5x}{x-2}\leq 0$$.
Применим метод интервалов и согласно рисунку 7.12 запишем решение неравенства на этом промежутке:
$$(0;2)\cup[2,8;+\infty )$$.
                                                                                  
Следовательно, $$(-\infty ;2)\cup [2,8;+\infty )$$ – решение исходного неравенства. 
Только целое число $$2$$ не является решением этого неравенства.

  1. Данное неравенство, хоть и содержит один модуль, но «уединить» его весьма не просто, поэтому мы и решали неравенство методом интервалов.
  2. Всякое неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, можно решать методом интервалов.

Введите ответ в поле

Среднее арифметическое всех целых решений неравенства $$\left | 2x+5 \right |\leq 3$$ равно:

Если неравенство имеет вид: $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств: 

$$\begin{equation*} \begin{cases} f(x) \le \text{$a$},\\ f(x)\ge \text{$-a$}. \end{cases} \end{equation*} $$

Заменим данное неравенство равносильной системой неравенств:
$$ \begin{equation*} \begin{cases} 2x+5 \le \text{$3$},\\ 2x+5\ge \text{$-3$}; \end{cases} \end{equation*} $$$$ \begin{equation*} \begin{cases} 2x \le \text{$-2$},\\ 2x\ge \text{$-8$}; \end{cases} \end{equation*}$$$$ \begin{equation*} \begin{cases} x \le \text{$-1$},\\ x\ge \text{$-4$}; \end{cases} \end{equation*} $$ $$x\in \begin{bmatrix} -4;-1 \end{bmatrix}$$.
Найдем среднее арифметическое целых решений неравенства:
$$\frac{-4-3-2-1}{4}=-2,5$$.

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$\left | x^3-8 \right |> x-2$$ имеет вид:

  1. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |> g(x)$$, то оно равносильно совокупности неравенств: $$\left [\begin{matrix} f(x)> g(x), \hfill \\ f(x)< -g(x). \end{matrix}\right.$$
  2. Формула суммы (разности) кубов:

    $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$.

Заменим данное неравенство равносильной ему совокупностью неравенств: 
$$x^3-8> x-2$$ и $$x^3-8< -(x-2)$$.
Решим первое неравенство: 
$$x^3-8> x-2$$,
$$(x-2)(x^2+2x+4)-(x-2)> 0$$,
$$(x-2)(x^2+2x+4-1)> 0$$,
$$(x-2)(x^2+2x+3)> 0$$.
Так как $$x^2+2x+3> 0$$ (ветви параболы направлены вверх и $$D<0$$), то $$x-2>0$$, $$x>2$$.
Решим второе неравенство: 
$$x^3-8<-(x-2)$$,
$$(x-2)(x^2+2x+4)+(x-2)< 0$$,
$$(x-2)(x^2+2x+4+1)>0$$,
$$(x-2)(x^2+2x+5)<0$$,
$$x-2<0$$,
$$x<2$$.
Запишем решение совокупности данных неравенств:
$$(-\infty ; 2)\cup (2;+\infty )$$.

$$x^2+2x+5>0$$, так как ветви параболы $$y=x^2+2x+5$$ направлены вверх и $$D<0$$.

Выберите один из вариантов

Количество целых чисел, не принадлежащих множеству решений неравенства $$\left | x^2-5 \right |> 25-x^2$$, равно:

Если неравенство имеет вид: $$\left | f(x) \right |\geq g(x)$$, то оно равносильно совокупности неравенств:

$$\left [\begin{matrix} f(x)\geq g(x), \hfill \\ f(x)\leq -g(x). \end{matrix}\right.$$

Заменим данное неравенство равносильной ему совокупностью неравенств: $$\left [\begin{matrix} x^2-5> 25-x^2, \hfill \\ x^2-5< -25+x^2; \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} 2x^2> 30, \hfill \\20< 0;\hfill \end{matrix}\right.$$$$\left [\begin{matrix} x^2> 15, \hfill \\ x \in \varnothing;\hfill \end{matrix}\right.$$ $$\left | x \right |> \sqrt{15}$$;
$$x\in (-\infty ;-\sqrt{15})\cup (\sqrt{15};+\infty )$$.
Множеству решений неравенства не принадлежат целые числа: 

$$-3,-2,-1,0,1,2,3$$.

  1. Чтобы решить совокупность неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства совокупности. Тогда объединение этих множеств и будет решением совокупности.
  2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq g(x)$$, то на функцию $$g(x)$$ не накладываются ограничения.

Выберите один из вариантов

Не имеют решений неравенства: 

1) $$\left | x \right |> 2$$;

2) $$\left | x \right |\geq -2$$;

3) $$\left | x \right |< 0$$;

4) $$\left | x \right |\leq 0$$;

5) $$\left | x \right |\leq -2$$.

Свойство модуля: 

$$\left | f(x) \right |\geq 0$$.


  1. Неравенство $$\left | x \right |> 2$$ имеет решения, так как найдутся положительные числа, превосходящие число $$2$$.
  2. Неравенство $$\left | x \right |\geq -2$$ имеет решения, так как любое положительное число и число $$0$$ больше отрицательного числа.
  3. Неравенство $$\left | x \right |< 0$$ не имеет решений, так как любое положительное число и число $$0$$ не меньше числа $$0$$.
  4. Неравенство $$\left | x \right |\leq 0$$ имеет решение только в том случае, когда $$x=0$$.
  5. Неравенство $$\left | x \right |\leq -2$$ не имеет решений, так как любое положительное число и число $$0$$ больше отрицательного числа.

Следовательно, не имеют решений неравенства $$3$$ и $$5$$.

Различайте неравенства:

1) неравенство $$\left | x \right |\geq a$$ имеет решения при любом значении $$a$$;

2) неравенство $$\left | x \right |\leq a$$ имеет решения только при неотрицательных значениях $$a$$.

Выберите один из вариантов