1. Иррациональными называют неравенства, содержащие переменную под знаком радикала.
2. Верно, то $$\sqrt{x}\geq 0$$.

1. Неравенство $$\sqrt{x}>5$$ имеет решения, так как найдутся положительные числа, которые превосходят число $$5$$.
2. Неравенство $$\sqrt{x}\geq -5$$ имеет решения, так как любое положительное число и число $$0$$ больше отрицательного числа.
3. Неравенство $$\sqrt{x}\leq 0$$ имеет единственное решение – это число $$0$$.
4. Неравенство $$\sqrt{x}< -5$$ не имеет решений, так как любое положительное число и число $$0$$ больше отрицательного числа.
5. Неравенство $$\sqrt{x}< x+2$$ имеет решения, так как $$x+2>0$$ при $$x\geq 0$$.

   Следовательно, не имеет решений только неравенство $$4$$.

Иррациональные неравенства вида $$\sqrt{f(x)}\geq a$$ могут иметь решения и при отрицательной правой части.

Если обе части неравенства не отрицательны на ОДЗ, то, возводя обе его части в квадрат, (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на ОДЗ).

1. ОДЗ:

   $$3x-6\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2$$.

2. Возведем обе части неравенства в квадрат: $$3x-6\leq 9$$, откуда $$x\leq 5$$.
3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in [2;5]$$.
4. Целые решения неравенства: $$2$$, $$3$$, $$4$$ и $$5$$.

Неравенства вида $$\sqrt{f(x)}\leq a$$ имеют решения только при неотрицательной правой части.

Если правая часть неравенства $$\sqrt{f(x)}\geq a$$ отрицательная, то неравенство выполняется при $$f(x)\geq 0$$.

Данное неравенство выполняется на ОДЗ: $$3x+6\geq 0$$, откуда $$x\geq 2$$.

Найдем среднее арифметическое целых не положительных решений неравенства:

$$\frac{-2-1+0}{3}=-1$$.

Число $$0$$ не является положительным и не является отрицательным.

Если обе части неравенства не отрицательны на ОДЗ, то, возводя обе части неравенства в квадрат, (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному неравенству (на ОДЗ).

ОДЗ: \begin{cases} \large \frac{3-x}{x-4} \normalsize \geq 0,\\ x-4>0; \end{cases} \begin{cases} 3-x \geq 0,\\ x-4>0; \end{cases} \begin{cases} x \leq 3,\\ x>4; \end{cases} $$x \in \varnothing.$$

Поскольку ОДЗ – пустое множество, то продолжать решать неравенство не имеет смысла.

1. Неравенство вида $$\sqrt{f(x)} \leq g(x)$$ равносильно системе неравенств \begin{equation*} \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0,\\ f(x)\le g^2(x). \end{cases} \end{equation*}
2. Формула квадрата разности: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$.

1. Решим систему неравенств: \begin{equation*} \begin{cases} 4-x\ge 0,\\ x-2>0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\le4 ,\\ x \ge2; \end{cases} \Leftrightarrow x\in [2,4]. \end{equation*}
2. Возводя обе части данного неравенства в квадрат, получим:

   $$4-x\leq (x-2)^2$$; $$4-x\leq x^2-4x+4$$; $$x^2-3x\geq 0$$; $$x(x-3)\geq 0$$.

   Нули функции $$f(x)=x(x-3)$$: $$x_1=0$$, $$x_2=3$$.

3. Согласно рисунку 7.14 запишем: $$x\in [3;4]$$.
   
4. Найдем середину полученного отрезка: $$\frac{3+4}{2}=3,5$$.

Данное неравенство мы решали на промежутке $$[2;4]$$ (на ОДЗ). Поскольку точка $$x_1=0$$ не принадлежит этому промежутку, то она отсутствует на рисунке.

1. Рассмотрим неравенство вида $$\sqrt{f(x)}\geq g(x)$$. Так как $$g(x)$$ может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения, то возможны два случая:
   1. если правая часть неравенства не отрицательна, то решаем систему неравенств \begin{equation*} \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0,\\ f(x)\ge g^2(x); \end{cases} \end{equation*}
   2. если правая часть неравенства отрицательна, то решаем систему неравенств \begin{equation*} \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x) < 0.\\ \end{cases} \end{equation*}

   Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в каждом случае.

2. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

Решим это неравенство методом интервалов, записав его в виде $$\sqrt{x-2}-4+x> 0$$.

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x-2}-4+x$$.
2. Найдем ее область определения: $$x\geq 2$$.
3. Найдем нули функции, решая уравнение $$\sqrt{x-2}=4-x$$, при условии, что $$4-x\geq 0$$ или $$x\leq 4$$. Получим:

   $$x-2=16-8x+x^2$$; $$x^2-9x+18=0$$, откуда $$x_1=3$$, а $$x_2=6$$

   ($$x_2=6$$ посторонний корень уравнения).

4. Нанесем число $$3$$ на область определения функции и определим знаки её значений на полученных промежутках. Согласно рисунку 7.15 запишем решение неравенства: $$(3;+\infty )$$.
   
5. Запишем целые неотрицательные числа, которые не являются решениями неравенства: $$0$$, $$1$$, $$2$$ и $$3$$.

Неравенства вида $$\sqrt{f(x)}\geq g(x)$$ проще решать методом интервалов, так как в этом случае не приходится решать совокупность систем неравенств.

Если обе части неравенства не отрицательны на ОДЗ, то, возводя обе части неравенства в квадрат, (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному неравенству (на ОДЗ).

1. OДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases} x+3\ge 0,\\ 3-x\ge0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\ge-3 ,\\ x \le3; \end{cases} \Leftrightarrow x\in [-3,3]. \end{equation*} $$

2. Запишем неравенство в виде $$\sqrt{x+3}\leq 1+\sqrt{3-x}$$ и возведем обе его части в квадрат:

   $$x+3\leq 1+2\sqrt{3-x}+3-x$$; $$2\sqrt{3-x}\geq 2x-1$$.

   При условии, что $$x\geq 0,5$$ еще раз возведем неравенство в квадрат:

   $$12-4x\geq 4x^2-4x+1$$; $$11\geq 4x^2$$; $$x^2\leq \frac{11}{4}$$; $$\left | x \right |\leq \frac{\sqrt{11}}{2}\approx 1,6$$.

   Учитывая ОДЗ и то, что $$x\geq 0,5$$, получим: $$x\in [0,5;0,5\sqrt{11}]$$.

Это неравенство также удобнее было бы решать методом интервалов.

Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при $$a\geq 0$$, а выражение $$\sqrt[2n+1]{a}$$ – при $$a\in R$$, где $$n\in N$$.

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt[4]{2x^2+9x-5}\cdot \sqrt[3]{x-5}$$ и найдем ее нули:
   1. $$2x^2+9x-5=0$$, откуда $$D=81+40=121$$; $$x_1=\frac{-9-11}{4}=-5$$, $$x_2=\frac{-9+11}{4}=0,5$$;
   2. $$x-5=0$$, откуда $$x=5$$.
2. ОДЗ: $$2x^2+9x-5\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-5]\cup [0,5;+\infty )$$ (рис. 7.16).
   
3. Нанесем числа $$-5;0,5$$ и $$5$$ на ОДЗ и согласно рисунку 7.17 запишем решение неравенства: $$x\in [5;+\infty )\cup \left \{ -5;0,5 \right \}$$.
   

Решение неравенства образует промежуток $$(5;+\infty )$$, на котором функция положительна (над промежутком стоит знак «+») и точки $$-5;0,5$$ и $$5$$, в которых функция равна нулю (зачерненные точки).

1. Теорема о целых корнях: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2. Следствие: при отыскании целых корней многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмотреть делители свободного члена.

1. Разделим неравенство на число $$2$$. Получим:
   $$\frac{x-1}{2x}+\sqrt{\frac{x-1}{2x}}-2\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x}}>0$$.
2. Запишем функцию:
   $$f(x)=\frac{x-1}{2x}+\sqrt{\frac{x-1}{2x}}-2\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x}}$$.
3. Найдем ее область определения:
   $$\frac{x-1}{2x}\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$$ (рис. 7.18).
   

4. Найдем нули функции. Полагая $$\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x}}=a$$, запишем:

   $$a^4+a^2-2a=0$$, $$a(a^3+a-2)=0$$, откуда $$a=0$$ или $$a^3+2-a=0$$.

   Решим уравнение $$a^3+2-a=0$$. Поскольку число $$1$$ – корень этого уравнения, то разделим уравнение на $$a-1$$:

   
   Найдем остальные корни уравнения $$a^3+a-2=0$$, решая уравнение $$a^2+a+2=0$$. Но так как $$D<0$$, то это уравнение корней не имеет.

   Найдем значения переменной $$x$$:

   1. $$\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x}}=0$$, откуда $$x=1$$;
   2. $$\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x}}=1$$, $$x-1=2x$$, откуда $$x=-1$$.
5. Нанесем нули функции на ее область определения и согласно рисунку 7.19 запишем решение неравенства: $$(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$$.
   
6. Найдем разность наименьшего положительного и наибольшего отрицательного целых решений неравенства: $$2-(-2)=4$$.

1. Если уравнение $$f(x)=0$$ имеет корень $$x=x_0$$, то это уравнение можно разделить на двучлен $$x-x_0$$. Решив полученное в результате деления уравнение, найдем все остальные корни уравнения $$f(x)=0$$.
2. Если бы уравнение $$a^3+a-2=0$$ не имело целых корней, то этим методом мы его решить не смогли бы.

1. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
2. Свойство корня четной степени: $$\sqrt{a^2}=\left | a \right |$$.
3. Правило раскрытия модуля: если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем, а если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.

1. $$D(f):x\in (-\infty ;5)\cup (5;+\infty )$$.
2. Чтобы найти область значений функции, раскроем модуль на двух промежутках:
   1. если $$x<5$$, то $$f(x)=-\frac{x-5}{x-5}$$ или $$f(x)=-1$$;
   2. если $$x>5$$, то $$f(x)=\frac{x-5}{x-5}$$ или $$f(x)=1$$.

   Запишем: $$E(f):y\in \left \{ -1;1 \right \}$$.

   Найдем произведение наименьшего положительного простого числа из области определения и наименьшего числа из области значений функции: $$2\cdot (-1)=-2$$.

Число $$1$$ не является простым и не является составным.